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3.3 勾股定理的简单应用
第3章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理的简单应用
知识点
勾股定理的简单应用
知1－讲
1
1. 勾股定理的应用范围
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.
知1－讲
2. 勾股定理应用的常见类型
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
知1－讲
知1－讲
特别解读
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1. 从实际问题中抽象出几何图形;
2. 确定要求的线段所在的直角三角形;
3. 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系;
4. 求得结果.
知1－讲
特别提醒
若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线(如作三角形的高)构造直角三角形.
知1－练
例 1
一架长5 m 的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚3 m，若梯子的顶端下滑1 m，则梯足将滑动( )
A. 0.5 m B.1 m C. 2 m D. 3 m
解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角三角形的问题求解.
知1－练
解：根据题意，建立如图3.3 -1所示的模型，
BB1的长即为所求.
∵在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，AB＝5 m，BC＝3 m，
∴ AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16.
∴ AC＝＝4(m).
知1－练
∵在Rt△A1B1C中，∠A1CB1＝90°，
A1C＝AC－AA1＝4－1＝3(m)，A1B1＝5 m，
∴ B1C2＝A1B12－A1C2＝52－32＝16. ∴ B1C＝＝4(m).
∴ BB1＝B1C－BC＝4－3＝1(m).
答案：B
知1－练
解题通法
此题首先根据题意建立数学模型，然后利用直角三角形的三边之间的关系和一些隐含条件(如：墙与地面垂直、梯子的长度不变等)来解决问题.
知1－练
[期中·常州武进区] 某台风经过常州后，给当地造成了巨大损失. 如图3.3-2，一棵垂直于地面并且高9 m的树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6 m处，求这棵树在离地面多高处被折断.
例 2
知1－练
解题秘方：根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，利用勾股定理建立方程即可求解.
知1－练
解：设这棵树在离地面x m处被折断，即BC＝x m，所以
AB＝(9－x) m.
因为∠ACB＝90°，
所以由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，即62＋x2＝(9－x)2，
解得x＝2.5.
故这棵树在离地面2.5 m处被折断.
知1－练
解法提醒
解本题需要利用勾股定理建立方程模型，关键是根据已知条件合理设出未知数，得到直角三角形的三边长.
知1－练
例 3
如图3.3-3， 在Rt△ABC中，∠C＝90 °，AM是中线，MN⊥AB， 垂足为N. 求证：AN2－BN2＝AC2.
知1－练
思路导引：
知1－练
证明：∵ MN⊥AB，∴在Rt△AMN中，AN2＝AM2－MN2；
在Rt△BMN中，BN2＝MB2－MN2.
∴ AN2－BN2＝AM2－MN2－(MB2－MN2)＝AM2－MB2.
在Rt△AMC中，∵∠C＝90°，∴ AM2－MC2＝AC2.
又∵ AM是中线，∴ MC＝MB.
∴ AM2－MB2＝AC2. ∴ AN2－BN2＝AC2.
知1－练
教你一招
证明线段之间的关系，关键在于等线段的代换，利用代换将“毫无关系”的线段通过勾股定理联系起来.
知1－练
[期末·盐城盐都区]如图3.3-4，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
例 4
知1－练
解题秘方：紧扣线段垂直平分线的性质作出辅助线，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用勾股定理求出线段CE的长．
知1－练
证明：如图3.3 -4，连接BE.
∵ D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴ DE垂直平分AB，∴ AE＝BE．
又∵ AE2－CE2＝BC2，
∴ BE2－CE2＝BC2，即BE2＝BC2＋CE2．
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.
(1)求证：∠C＝90°；
知1－练
解：在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，DE＝6，BD＝8，
由勾股定理，得62＋82＝BE2，则BE＝10. ∴AE＝BE＝10.
设CE＝x，则AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16．
在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2；
在Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2．
∴ 162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8. ∴ CE＝2.8．
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
知1－练
技巧点拨
利用勾股定理求线段的长是勾股定理的一个重要应用，当题目中没有直角三角形时，需要作辅助线构造直角三角形.
勾股定理的简单应用
勾股定理的应用
建模
几何问题
实际问题
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