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5.1 变量与函数
第5章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
常量与变量
函数
函数的表示
函数自变量的取值范围
知识点
常量与变量
知1－讲
1
常量与变量的定义：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量.
知1－讲
说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量. 如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.
知1－讲
特别提醒
变量、常量与字母的指数没有关系，如y＝100－2x2中，x，y是变量，而不能说x2是变量.
知1－练
例 1
指出下列问题中的变量与常量：
(1)汽车以80 km/h 的速度匀速行驶，行驶距离为s km，行驶时间为t h；
(2)一个盛满30 t 水的水箱，每小时流出0.5 t 水，记流水时间为t(h)，水箱里的剩余水量为Q(t)；
(3)用总长20 m 的篱笆围成一个长方形场地，记长方形的一边长为a(m)，面积为S(m2).
知1－练
解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识.
解：(1)t，s是变量；80是常量.
(2)t，Q是变量；0.5，30是常量.
(3)a，S是变量；20是常量.
知1－练
特别提醒
判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中的数值是否发生改变.
在一个变化过程中，变量和常量可能不止一个.
知2－讲
知识点
函数
2
1. 函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量．
知2－讲
说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)；
(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系.
知2－讲
2. 函数值：对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值.
说明：(1)函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.
(2) 一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值.
知2－讲
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同.
知2－练
下列变量之间的关系不是函数关系的是(　　)
A. 一天中气温和时间之间的关系
B. |y|＝x中的y与x的关系
C. 速度一定，汽车行驶的路程与时间之间的关系
D. 正方形的周长与面积之间的关系
例 2
知2－练
解题秘方：用“三看法”判断一个关系是不是函数关系：
一看 是否在一个变化过程中
二看 是否存在两个变量
三看 每当自变量取定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应
知2－练
解：A. 时间与气温是两个变量，且对于时间的每一个值，气温都有唯一确定的值与它对应，它们之间是函数关系；
B. 当x>0时，给定一个x的值，y都有两个值与之对应，所以|y|＝x中y与x的关系不是函数关系；
C. 路程与时间是两个变量，且对于时间的每一个值，路程都有唯一确定的值与它对应，它们之间是函数关系；
知2－练
D. 正方形的周长与面积是两个变量，且对于正方形的周长的每一个值，面积都有唯一确定的值与它对应，它们之间是函数关系．
答案：B
知2－练
特别提醒
判断两个变量是否具有函数关系，只需看它们是否符合定义中的 “三要素”即可，但要注意对于自变量x取不同的数值，与之对应的y的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可．
知2－练
已知池中有800 m3的水，每小时抽水50 m3．
(1)用关系式表示池中剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的关系.
(2)6 h 后池中还有多少水？
(3)几小时后池中还有200 m3的水？
例 3
知2－练
解题秘方：已知自变量的值求函数值时，可直接代入求值；已知函数值求自变量的值时，可代入函数值通过解方程求自变量的值.
知2－练
解：(1)由题意得Q＝800－50t．
(2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500．
故6 h后池中还有500 m3的水.
(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12．
故12 h后池中还有200 m3的水．
知2－练
方法点拨
求函数值及自变量值的方法：
1. 当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值.
2. 当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0时，x＝±1.
知3－讲
知识点
函数的表示
3
1. 一般地，函数可以用下面三种方法表示
(1)用表达式表示：如y＝1－x，y＝30t等，像这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式叫作函数表达式.
(2)用表格表示：把自变量的取值写在第一行，对应的函数值写在第二行.
知3－讲
(3)用图象表示：把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象.
知3－讲
2. 函数的三种表示方法的优缺点
表示 方法 优点 缺点
表达式 比较简洁，方便计算 从函数表达式很难直观地看出自变量与函数的变化规律，而且有些函数关系不能用表达式法表示出来
知3－讲
续表
表示 方法 优点 缺点
列表 函数值与自变量的关系一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
图象 很直观，可以看到变化趋势 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值
知3－讲
特别提醒
1. 函数的三种表示方法可以互相转化，在应用中，要根据三种表示方法的特点，选用适当的表示方法，或者三种方法结合起来使用.
2. 并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来. 如气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而无法用表达式法表示.
知3－练
某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图5.1-1 所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路
程s(m)与时间t(min)之间
的关系.
例 4
知3－练
下列说法错误的是( )
A. 学校离他家500 m，从出发到学校，王老师共用了25 min
B. 王老师吃早餐用了10 min
C. 王老师吃完早餐后的平均速度是100 m/min
D. 王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢
知3－练
解题秘方：紧扣“图象上特殊点的坐标表示的两变量的数据”信息，进行相关计算.
解：A. 由图象可知，他家与学校的距离为1 000 m，从家出发到学校，王老师共用了25 min，故该选项说法错误；
B. 王老师从家出发10 min 后开始用早餐，到20 min 结束，花了20－10＝10(min)，故该选项说法正确；
知3－练
C. 吃完早餐以后的速度是(1 000－500)÷(25－20)＝100(m/min)，故该选项说法正确；
D. 王老师吃早餐前步行的速度是500÷10＝50(m/min)，吃完早餐以后的速度是100 m/min，100 >50，故该选项说法正确．
答案：A
知3－练
解法提醒
从函数图象中获取信息时，首先要弄清楚横轴、纵轴分别表示什么，再对图象进行分析.
本题需要先读懂题意，结合图象得到点的坐标表示的实际意义，然后通过路程、时间、速度三者之间的关系，即可轻松地解决问题.
知4－讲
知识点
函数自变量的取值范围
4
1. 确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.
知4－讲
2. 不同类型的函数自变量取值范围的确定
类型 特征 举例 取值范围
整式型 等式右边是关于自 变量的整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数
分式型 等式右边是关于自 变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数
知4－讲
续表
类型 特征 举例 取值范围
开 方 型 算术平 方根式 型 等式右边是关于自变量的算术平方根的式子 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0的数
立方根 式型 等式右边是关于自变量的立方根的式子 y＝ 全体实数
知4－讲
续表
类型 特征 举例 取值范围
幂型 等式右边是关于自 变量的0指数幂 (或负整数指数幂) y＝(x－2)0， y＝2(x－3)－1 使底数不为0的实数
复合 型 含有上述两种或多 种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分
知4－讲
特别提醒
自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.
知4－练
求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝3x＋7； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝＋.
例 5
解题秘方：紧扣“不同类型的函数自变量取值范围的确定”进行解答.
解：(1)因为函数关系式右边是整式，所以x的取值范围为全体实数.
(2)由题意得x－4≥0，解得x ≥ 4，所以x的取值范围是x ≥ 4.
(3)由题意得解得x ≥ －2 且x ≠ 0，
所以x的取值范围是x ≥ －2且x ≠ 0.
知4－练
(4)由题意得解得x＝，
所以x的取值范围是x＝.
知4－练
知4－练
解法提醒
求自变量取值范围的过程，其实就是解不等式或不等式组的过程.
知4－练
点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为22 cm的蜡烛，点燃10 min，变短4 cm. 设点燃x min 后，还剩y cm. y是x的函数吗？如果是，求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围.
例 6
解题秘方：根据等量关系求关系式，根据x的实际意义求自变量的取值范围.
解：由题意可知，每点燃1 min，蜡烛变短0.4 cm，
所以y＝22－0.4x.
蜡烛全部燃烧完用时22÷0.4＝55(min)，
所以自变量的取值范围是0 ≤ x ≤ 55.
知4－练
知4－练
特别提醒
自变量的取值范围不仅要使所列函数表达式有意义，还要使实际问题有意义.
变量与函数
函数
常量
变量
自变量
函数值
表示方法

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