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5.2 一次函数的概念
第5章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
一次函数与正比例函数的定义
用数量变化的关系求一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式
知识点
一次函数与正比例函数的定义
知1－讲
1
1. 一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
2. 正比例函数的定义：特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k ≠ 0)叫作x的正比例函数.
知1－讲
3. 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数y＝kx(k ≠ 0）是一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
知1－讲
特别解读
一次函数y＝kx＋b的结构特征：
1. k ≠ 0；
2. 自变量x的次数是1；
3. 常数项b可以是任意实数.
知1－练
例 1
下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－2x2； (2)y＝； (3)y＝3x2－x(3x－2)；
(4)x2＋y＝1；(5)y＝－.
解题秘方：紧扣一次函数与正比例函数的结构特征识别.
知1－练
解：(1)因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数.
(2)因为y＝＝x＋，k＝，b＝，所以y＝是一次函数，但不是正比例函数.
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
先化简，再判断
知1－练
(4)x2＋y＝1 ，即y＝1－x2.
因为x的次数是2，所以x2＋y＝1不是一次函数.
(5)因为y＝－中的－不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，
所以它不是一次函数.
综上，(2)(3)是一次函数，(3)是正比例函数.
知1－练
技巧点拨
判断函数是不是一次函
数的方法
知2－讲
知识点
用数量变化的关系求一次函数表达式
2
求一次函数表达式时，先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题意中的等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数.
知2－讲
特别提醒
列一次函数表达式类似于列方程，找出等量关系是关键，同时要注意自变量的取值范围.
知2－练
甲、乙两地相距720 km，现有一列高铁从乙地出发，以300 km/h 的速度向甲地行驶. 设t(h)表示高铁行驶的时间，y(km)表示高铁与甲地的距离．
例 2
解题秘方：根据速度、路程和时间的关系，得出y与t之间的关系式，再根据一次函数的定义和各个变量的意义解题.
知2－练
(1)写出y与t之间的关系式，并判断y是否为t的一次函数；
解：根据题意，高铁与乙地的距离为300 t km.
∵甲、乙两地相距720 km，
∴ y与t之间的关系式为y＝720－300t．
∴ y是t的一次函数．
知2－练
(2)该高铁从乙地到甲地需要行驶多长时间？
解：将y＝0代入y＝720－300t，得720－300t＝0，
解得t＝2.4，∴该高铁从乙地到甲地需要行驶2.4 h．
知2－练
技巧点拨
1. 解本题的关键是探求两个变量之间的相等关系，得出关于t与y的方程，然后用含t的代数式表示y．
2. 求高铁从乙地到甲地需要行驶多长时间，只要求出y＝0 时t的值即可.
知3－讲
知识点
用待定系数法求一次函数表达式
3
1. 待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法.
知3－讲
2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤
(1)设：设出含有待定系数的函数表达式；
(2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出待定的系数；
(4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式中.
知3－讲
上面的步骤可表示如下：
知3－讲
特别提醒
在正比例函数y＝kx中，只有一个待定系数k，只需要一个除(0，0) 外的条件即可求出k的值；在一次函数 y＝kx＋b中，有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出k和b的值.
知3－练
根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为( )
例 3
x －2 0 1
y 3 p 0
A. 1 B. －1 C. 3 D. －3
解题秘方：紧扣待定系数法求函数表达式的步骤求解.
知3－练
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
由表中对应值可知，当x＝－2时，y＝3 ；当x＝1时，y＝0，
由此得到解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1.
当x＝0时，y＝(－1)×0＋1＝1 ，即p的值为1 .
答案：A
知3－练
思路导引
y是x的一次函数→设表达式为y＝kx＋b→将两组值代入表达式→列出方程组→求出k与b的值→写出函数表达式
知3－练
[中考·陕西]经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径
(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数．已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m.
例 4
知3－练
解题秘方：紧扣“这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数”，用待定系数法求解.
知3－练
解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k ≠ 0).
根据题意，得解得
∴ y与x之间的函数表达式为y＝25x＋15.
(1)求y与x之间的函数表达式.
知3－练
解：当x＝0.3时，y＝25×0.3＋15＝22.5．
答：当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m.
(2)当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
知3－练
解法提醒
根据题中信息，利用待定系数法确定函数表达式，当已知自变量的取值时，利用函数表达式便可求出相对应的函数值.
一次函数的概念
一次函数
正比例函数
定义
函数表达式

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