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5.3 一次函数的图象与性质
第5章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
正比例函数的图象及画法
正比例函数的性质
一次函数的图象及画法
一次函数的图象特征和性质
知识点
正比例函数的图象及画法
知1－讲
1
1. 描点法画函数图象的一般步骤
步骤 描述 注意
列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌
知1－讲
续表
步骤 描述 注意
描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确
连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点
知1－讲
2. 正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y＝kx.
知1－讲
函数表达式 y＝kx(k>0) y＝kx(k<0)
函数图象
图象经过的象限 一、三 二、四
知1－讲
3. 正比例函数图象的画法：由于两点可以确定一条直线，所以，在画正比例函数的图象时，只需描出图象上除原点以外的另一个点，就可以画出函数的图象．
知1－讲
特别提醒
1. 画函数图象时注意自变量的取值范围，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈.
2. 列表时，注意自变量的取值不应使函数值太大或太小.
3. 有些正比例函数的图象因自变量的取值范围所限， 并不是一条完整的直线，如正比例函数y＝2x(x ≥ 0) 的图象就是一条射线.
知1－讲
特别解读
正比例函数y＝kx(k ≠ 0) 中，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小， 直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓 .
知1－练
例 1
在同一直角坐标系中，画出函数y＝5x，y＝x的图象.
解题秘方：按“两点法：(0，0)和(1，k)”作图.
知1－练
解：列表如下：
x 0 1
y＝5x 0 5
y＝x 0 1
描点、连线，如图5.3-1 所示.
知1－练
解题技巧
画正比例函数y＝kx的图象时， 若k为整数，则通常取点(0，0) 和(1，k)；若k为小数或分数，则一般取自变量与函数值均为整数的点，这样画出的图象更准确.
知1－练
如图5.3-2，三个正比例函数的图象分别对应表达式：
① y＝ax，② y＝bx，③ y＝cx. 将a，
b，c按从小到大的顺序排列，并用
“<”连接，正确的是(　　)
A．aC．b例 2
知1－练
解题秘方：紧扣“正比例函数y＝kx的图象经过点(1，k)”比较比例系数的大小.
解：如图5.3-2 所示，a<0答案：D
知1－练
另解
根据三个函数图象所在象限可得a<0，b>0，c>0， 再根据直线越陡，|k| 越大，得b>c，故a知2－讲
知识点
正比例函数的性质
2
k>0 k<0
走势 从左向右呈上升趋势 ( ) 从左向右呈下降趋势
( )
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
知2－练
已知正比例函数y＝(2m＋4)x.
(1)m为何值时，函数图象经过第一、第三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？
解题秘方：根据正比例函数的图象和性质列出不等式或方程求解.
例 3
知2－练
解：(1)根据题意，得2m＋4>0，解得m>－2.
∴ m>－2时，函数图象经过第一、第三象限.
(2)根据题意，得2m＋4<0，解得m<－2 .
∴ m<－2 时，y随x的增大而减小.
(3)根据题意，得2m＋4＝3，解得m＝－．
∴ m＝－时，点(1，3)在该函数的图象上.
知2－练
特别提醒
对于正比例函数y＝kx(k ≠ 0)，k的符号、图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知其一则知其二，即
知2－练
已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1_____y2(填“>”“<”或“=”).
例 4
解题秘方：已知函数表达式及其图象上的点的横坐标，比较点的纵坐标的值的方法有三种：(1)代入法：准确，但需要计算；(2)图象法：直观形象，但需要画图；(3)性质法：得结论快，但若对性质不熟则易错.
＞
知2－练
解：(方法一)把点A，点B的坐标分别代入y＝3x，
当x＝－1时，y1＝3×(－1)＝－3；
当x＝－2时，y2＝3×(－2)＝－6.
∵ －3>－6，∴ y1>y2.
知2－练
(方法二)画出正比例函数y＝3x的图象，在函数图象上标出点A，点B，如图5.3-3.
∵点A在点B的上方，
∴ y1>y2.
知2－练
(方法三)根据正比例函数的增减性来比较函数值的大小.
根据正比例函数的性质可知，当k>0时，y随x的增大而增大.
∵ －1 >－2，∴ y1>y2.
知2－练
解题通法
比较函数值大小的方法：
一是代入法，即直接代入函数表达式中求出对应的函数值进行比较；
二是画出函数图象，直接观察图象比较大小；
三是利用函数的增减性比较函数值的大小.
知3－讲
知识点
一次函数的图象及画法
3
1. 一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的图象是一条直线.
2. 一次函数的图象与正比例函数图象的关系：一般地，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
知3－讲
3. 一次函数图象的画法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－，0)画直线.
知3－讲
特别解读
由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0) 所经过的象限；反之，由直线y＝kx＋b(k，b是常数，
k ≠ 0)所经过的象限也可以确定k，b的符号.
知3－练
在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)y1＝2x－1； (2)y2＝2x； (3)y3＝2x＋2.
例 5
解题秘方：按“两点法”的画图步骤画图.
知3－练
解：列表如下：
x 0 1
y1 －1 1
x 0 1
y2 0 2
x 0 1
y3 2 4
知3－练
描点、连线，即可得到它们的图象，如图5.3-4 所示.
在画y1＝2x－1和y3＝2x＋2的图象时，也可以将y2＝2x的图象分别向下平移1个单位长度和向上平移2个单位长度得到
知3－练
解题技巧
画一次函数图象时的选点原则：
(1)为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点，即(0，b)和(－，0)；
(2)尽可能取横、纵坐标都是整数的点.
知3－练
已知一次函数y＝－3x＋m的图象经过点(－2，7)，则下列点在该函数图象上的是(　　)
A. (0，－3) B. (2，5)
C. (－3，10) D. (－1，－2)
例 6
解题秘方：先根据点(－2，7)的坐标求出函数表达式，再将各选项中点的横坐标代入函数表达式求出相应的y值，看与点的纵坐标是否相等．
知3－练
解：把点(－2，7)的坐标代入一次函数y＝－3x＋m中，得 7＝6＋m，解得m＝1，∴一次函数的表达式为y＝－3x＋1 .
A 选项中，∵当x＝0 时，y＝1 ≠ －3，∴此点不在函数图象上；B选项中，∵当x＝2时，y＝－6＋1＝－5 ≠ 5，∴此点不在函数图象上；C选项中，∵当x＝－3时，y＝9＋1＝10，∴此点在函数图象上；D选项中，∵当x＝－1时，y＝3＋1＝4 ≠ －2，∴此点不在函数图象上．
答案：C
知3－练
方法点拨
判断点是否在函数图象上的基本方法：
将横坐标代入函数表达式中，看函数值是否与纵坐标相等，若相等，则该点在函数图象上；若不相等，则该点不在函数图象上.
知4－讲
知识点
一次函数的图象特征和性质
4
一次函数的图象特征和性质
函数表达式 y＝kx＋b(k>0) y＝kx＋b(k<0) 函数图象 b>0 b<0 b>0 b<0
知4－讲
续表
函数表达式 y＝kx＋b(k>0) y＝kx＋b(k<0) 图象经过的 象限 b>0 b<0 b>0 b<0
一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
函数变化趋势 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
知4－讲
特别解读
k决定一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的增减性，b决定函数图象与y轴的交点位置.
知4－练
[月考·扬州苏东坡中学]在函数y＝(－k2－1)x＋3的图象上有A(1，y1)，B(－1，y2)，C(－2，y3)三个点，则将y1，y2，y3用“<”连接起来为__________．
例 7
解题秘方：先判断－k2－1的正负性，再根据一次函数的性质比较函数值大小即可．
解：∵ k2 ≥ 0，∴ －k2－1 <0，∴ y随x的增大而减小.
∵ 1 >－1 >－2，∴ y1y1知4－练
解法提醒
对于一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)来说，k的符号，函数图象的上升或下降趋势，函数的增减性这三者有如影随形的关系，知其一，便可知其他两个.即：
知4－练
已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－m)．
(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若其图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围.
例 8
知4－练
思路导引：
解：(1)∵ y随x的增大而减小，∴ 2m＋4<0，解得m<－2.
(2)∵图象经过第一、二、三象限，
∴解得－2 知4－练
知4－练
知识储备
一次函数的图象所经过的象限由k，b的符号共同决定：
(1)k>0，一次函数的图象一定经过第一、三象限；k<0，一次函数的图象一定经过第二、四象限.
(2)b>0，直线与y轴交于正半轴；b<0，直线与y轴交于负半轴；b=0，直线过原点.
知4－练
[期末·南京大学附属中学]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b(k ≠ 0)上，当x1y1，且kb>0，则在直角坐标系内，该直线大致是( )
例 9
知4－练
解题秘方：先根据一次函数的性质，结合kb>0 ，得到k，b的正负情况，然后根据一次函数的图象的特征判断直线y＝kx＋b经过哪几个象限．
知4－练
解：∵ 点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b(k ≠ 0)上，
当x1y1，∴ k>0．
又∵ kb>0，∴ b>0. ∴直线经过第一、二、三象限．
答案：A
知4－练
解题通法
识别一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象，需要先判断k和b的正负性，然后根据k和b的正负性确定图象经过的象限，即可确定一次函数的图象.其中判断k和b的正负性是解题的关键.
一次函数的图象与性质
正比例函数与
一次函数
画法
位置
图象
性质
y随x的增
大而增大
k>0
y随x的增
大而减小
k<0

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