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5.4 用一次函数解决问题
第5章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
建立一次函数模型解实际应用题
利用一次函数解决实际问题的常见类型
知识点
建立一次函数模型解实际应用题
知1－讲
1
利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题. 常见类型如下：
(1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解；
知1－讲
(2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题.
知1－讲
特别提醒
应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.
知1－练
例 1
由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司(简称DeepSeek)开发的AI大模型在全球范围内掀起了一股热潮. 据悉，DeepSeek 训练一个AI 模型时，初始数据量为2 000 条，每增加100 条数据，训练时间延长3 min. 假设总数据量为x 条(x>2 000)，训练时间为 y min．
知1－练
(1)求y关于x的函数关系式；
解：根据题意得y＝3×＝0.03x－60(x>2 000).
解题秘方：根据题目中的等量关系列出函数关系式；
知1－练
(2)若训练的总时间为45 min，求使用的数据总量．
解：当y＝45时，45＝0.03x－60，
解得x＝3 500．
答：若训练的总时间为45 min，使用的数据总量为 3 500条.
解题秘方：将y＝45代入函数关系式求解即可．
知1－练
方法点拨
利用一次函数解决问题，关键是理解题意，分析实际问题中变量与变量之间的关系，并用一次函数表示这种变化关系，然后利用一次函数的相关知识解决实际问题.
知2－讲
知识点
利用一次函数解决实际问题的常见类型
2
一次函数是刻画现实世界中数量间关系的最为简单的一个模型，其应用非常广泛，如天平、杠杆、弹簧秤以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的实例.
知2－讲
利用一次函数的图象还可以解决如利润最大、成本最小、话费最少、运费最省以及是否合算等问题，这些问题我们都可以利用一次函数的图象和性质进行求解.
知2－练
甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元，现两家商店都搞促销活动：甲商店规定，每买一副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定，所有商品9折优惠. 某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒(不少于4盒)，设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元.
例 2
知2－练
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式(不必写出x的取值范围)；
思路导引：
解：根据题意得y1＝10x＋60，y2＝9x＋90.
知2－练
(2)试说明在哪家商店买购所需商品比较便宜.
思路导引：
知2－练
解：在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如图5.4-1所示. 两函数图象交于点(30，360).
知2－练
由图5.4-1可知，当4≤ x<30时，y2>y1；
当x＝30时，y1＝y2；当x>30时，y1>y2.
所以当4≤ x<30时，在甲商店
购买所需商品比较便宜；
当x＝30时，在甲、乙两家商
店购买所需商品的费用相同；
当x>30时，在乙商店购买所需商品比较便宜.
知2－练
另解
由y1＝y2，得10x＋60＝9x+90，解得x＝30；
由y1>y2，得10x＋60>9x＋90，解得x>30；
由y1所以，当x＝30 时，在甲、乙两家商店购买所需商品的费用相同；
当x>30时，在乙商店购买所需商品比较便宜；
当4 ≤ x<30时，在甲商店购买所需商品比较便宜.
知2－练
技巧点拨
根据图象比较函数值大小的方法：
要说明在哪家购买比较便宜，即比较y1与y2的大小，可借助图象进行求解.两个函数图象在同一平面直角坐标系中，当取相同的自变量时，下方的图象对应的函数的函数值小，上方的图象对应的函数的函数值大，交点处的函数值相等.
知2－练
在一条直线上依次有A，B，C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛，设该海巡船
行驶x(h)后，与B岛的距离为y(km)，
y与x之间的函数关系如图5.4-2
所示.
例 3
知2－练
解题秘方：结合图象信息用待定系数法求函数的表达式. 理解几个关键点的实际意义是解题的关键.
知2－练
(1)A，C 两岛间的距离为______km，a＝______；
(2)求y与x的函数表达式，并解释图中点P的坐标所表示的实际意义；
85
1.7
解：当0≤x≤0.5时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.
∵函数图象经过点(0，25)，(0.5，0)，
∴解得∴ y＝－50x＋25.
知2－练
当0.5∵函数图象经过点(0.5，0)，(1.7，60)，
∴解得∴ y＝50x－25.
综上，y＝
点P的坐标所表示的实际意义为经过0.5 h后海巡船到达B岛.
知2－练
(3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15 km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长.
解：由－50x＋25＝15，解得x＝0.2，
由50x－25＝15，解得x＝0.8.
∵ 0.8－0.2＝0.6(h)，
∴该海巡船能接收到该信号的时间为0.6 h.
知2－练
技巧点拨
对于分段函数而言，在不同自变量的取值范围内对应着不同的表达式，分清每段的意义是解题的关键，分清“拐点”既是前一段的终点，又是后一段的起点.要特别注意自变量取值范围的划分，解决实际问题时，关键是看在哪一范围内.
知2－练
如图5.4-3，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，运动到点A时停止. 设点P经过的路程为x，以点A，
P，D为顶点的三角形的面积为y.
试确定y与x之间的函数表达式.
例 4
知2－练
解题秘方：动点在不同位置时，三角形的底边和高不同，分别用含自变量的式子表示出来，再根据三角形面积公式求对应的表达式即可.
知2－练
解：当点P在AD(包括D点)上时(0≤x≤4)，A，P，D三点不能组成三角形；
当点P在CD(不包括C，D两点)上时(4y＝2x－8；
知2－练
当点P在BC(包括B，C两点)上时(8≤x≤12)，A，P，D三点能组成三角形，且其面积y＝×4×4＝8；
当点P在AB(不包括A，B两点)上时(12知2－练
当x＝16时，点P恰好回到点A，此时A，P，D三点不能组成三角形.
所以y与x之间的函数表达式为y＝
知2－练
解题通法：由几何中的动点问题求函数表达式的策略
求解有关动点问题中的函数表达式，要注意分类讨论思想的应用. 当自变量在不同的取值范围内时，对应的函数表达式可能不同，这时就要对自变量的取值范围进行分类，分别求解其对应的函数表达式，最后综合在一起.
知2－练
图解
当点P在CD(不包括C，D两点)上时：
S△ADP＝AD·PD＝×4×(x－4)＝2x－8；
当点P在BC(包括B，C两点)上时：
S△ADP＝×4×4＝8；
知2－练
当点P在AB(不包括A，B两点)上时：
S△ADP＝ AD·PA＝×4×(16－x)＝32－2x.
用一次函数解决问题
用一次函数
解决问题
列函数表达式
画函数图象
方法
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几何动点问题

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