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15.3平行四边形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（ ）
A．155° B．170° C．105° D．145°
3．如图，在中，，，，以B为圆心为半径画弧交平行四边形的对边分别于F、E，再以C为圆心为半径画弧恰好交边于E点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直
5．如图，等腰梯形ABCD下底与上底的差恰好等于腰长，DE∥AB．则∠DEC等于（　　　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
6．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
7．如图，在平行四边形ABCD中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
8．已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（　　）
A．6 B．5
C．4.5 D．与AP的长度有关
9．在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交点落在原点处，已知点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是(　　)
A．22 B．20
C．22或20 D．18
11．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　
A．13 B．17 C．20 D．26
12．ABCD的四个内角度数的比∠A：∠B：∠C：∠D可以是（ ）
A．2：3：3：2 B．2：3：2：3 C．1：2：3：4 D．2：2：1：1
二、填空题
13．已知：平行四边形一边，它的长是周长的，则 ．
14．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝ ．

15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为 ．
16．如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A运动至点A停止，设运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间的关系如图2所示，则平行四边形ABCD的周长为 ．
图1 图2
17．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为 ．
三、解答题
18．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．试说明：四边形ABOE、四边形DCOE也是平行四边形．
19．已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：．
20．如图，中，于E，于F，，求的周长．
21．如图所示，已知平行四边形的两条对角线交于点，过点作直线分别交，的反向延长线于点，，求证：．
22．(1)问题发现：
如图（1），和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系：______；（直接填写结果）
(2)操作探究：
如图（2），将图中的绕点顺时针旋转（），I小题中线段与线段的数量关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图（2）给出的情形进行证明；
(3)解决问题：
将图（1）中的绕点顺时针旋转，若，在备用图中画出旋转图形，并判断以、、、四个点为顶点的四边形的形状.（不写证明过程）
23．如图，已知点E，C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)试判断：四边形的形状，并证明你的结论．

24．已知：如图，A、E、F、B 四点在同一直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．
求证：CF=DE．
《15.3平行四边形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B C B A B C
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
2．C
【详解】试题分析:先根据旋转的性质得到AB=AB′，∠BAB′=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB′B=75°，然后根据平行四边形的性质得
AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．
解：∵ ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′′，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）=75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣75°=105°．
故选C．
考点：旋转的性质；平行四边形的性质．
3．A
【分析】如图所示，连接，二者交于O，证明是等边三角形，，得到，， ，进而推出，，再证明，则，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，二者交于O，
由作图方法可知，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，， ，
∴，，
∵，
∴（等底同高），
∴，
∴
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定，扇形面积，证明，得到是解题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
故选：D
5．B
【详解】试题解析：∵DE∥AB，AD∥BC,
∴四边形ABED为平行四边形,
∴AD=BE,
∵BC-AD=AB=EC,
∵等腰梯形ABCD,
∴AB=DC=EC,
∴为等边三角形,
∴∠DEC=60°.
故选B．
6．C
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵ ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
7．B
【分析】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据平行四边形的定义与性质即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
∴由平行四边形的定义知：图中的四边形AEOH，四边形HOFD，四边形EBNO，四边形ONCF，四边形AEFD，四边形EBCF，四边形ABNH，四边形HNCD，四边形ABCD都是平行四边形，共9个．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握判定与性质是关键．
8．A
【分析】作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而可得出EF=AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．
【详解】解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠BQD=∠AEP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，
在△APE和△BDQ中，
，
∴△APE≌△BDQ（AAS），
∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，
∴四边形PEDQ是平行四边形，
∴EF=EQ，
∵EB+AE=BE+BQ=AB，
∴EF=AB，
又∵等边△ABC的边长为12，
∴EF=6．
故选A.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE⊥AB作辅助线构成全等的三角形.
9．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系． 要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A和点C关于原点对称，即可求解．
【详解】解：∵在平行四边形中，点A和点C关于原点对称，点A的坐标为，
∴点C的坐标为．
故选：B．
10．C
【详解】试题解析：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
如图，

①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选C．
考点：平行四边形的性质．
11．B
【分析】由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，，，
的周长．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
12．B
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质即可得到结果．
在平行四边形中，两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则只有B选项符合要求．
故选B．
考点：本题考查的是平行四边形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对角相等．
13． 24 12
【分析】由四边形是平行四边形，可得，又由它的长是周长的，即可求得其周长，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的长是周长的，
∴的长是周长的，
∴的周长为：，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形每组对边平行且相等，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．2
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
15．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM=BQ，PQ+BQ最小值即为PN的长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM=BQ，
∴PQ+BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN=，
∴PQ+BQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出PQ+BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
16．14
【分析】根据函数图象可知，当在上运动时，的面积逐渐增大，当时，点运动到点，当时，运动到点，据此即可求解．
【详解】解：根据函数图象可知，当是，点在上运动，当时，点在上运动，
，
平行四边形ABCD的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，动点的函数图象，数形结合是解题的关键．
17．110°
【详解】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠CAB=20°，因BE⊥AB，可得∠EBA=90°，所以∠2=∠EBA+∠CAB=90°+20°=110°．
18．见解析
【详解】试题分析：因为 ABCD，OB=OD，又AODE是平行四边形，AE=OD，所以AE=OB，又AE∥OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE是平行四边形．同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形．
试题解析：∵ ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴OB=OD，
又∵四边形AODE是平行四边形，
∴AE∥OD且AE=OD，
∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
同理可证，四边形DCOE也是平行四边形.
19．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据两条直线平行，内错角相等，即可得．先证明，即可得到．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
20．40
【分析】本题考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质，根据平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
21．见解析
【分析】根据平行四边形的性质可证，由此即可求解．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全的三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）；（2）（1）中结论仍成立；（3）详见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，根据旋转的性质可得∠BAE＝∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）根据题意作图，根据等腰三角形及旋转的特点证明即可求解．
【详解】（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴AE AB＝AD AC，
∴BE＝CD；
（2）（1）中结论仍成立，理由：
∵和都是等腰直角三角形，，
，，
由旋转的性质得，，
在与中，，
∴
∴.
（3）画图如下：
∵，△AED是等腰直角三角形，
∴AC=CD,AC⊥DE
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=CD,AB⊥AC
∴
则以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形.
【点睛】此题是四边形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解（2）的关键是判断出△BAE≌△CAD，解（3）的关键是画出示意图；综合性较强，难度中等．
23．(1)证明见解析
(2)四边形是平行四边形，证明见解析．
【分析】（1）根据平行线得出，求出，根据推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出，推出，得出平行四边形，推出，，推出，，根据平行四边形的判定推出即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
（2）四边形的形状是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定．熟记相关定理，并能依据图形得出等量关系是解题关键．
24．证明见解析.
【分析】根据HL证△ACE与△BDF全等，推出CE=DF，证出CE∥DF，得出四边形ECFD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可证明结论．
【详解】∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF， 即 AF =BE．
∵AC⊥CE，BD⊥DF，
∴∠ACE=∠BDF=90°，
在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中
∴Rt△ACE≌Rt△BDF，
∴CE=DF，∠AEC=∠BFD，
∴∠CEF=∠DFE，
∴CE∥DF，
∴四边形 DECF 是平行四边形，
∴CF=DE．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定，平行线的判定，难度中等．利用三角形全等来证明线段相等是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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