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15.4特殊的平行四边形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　）
A． B．2 C． D．1
2．下列性质中是矩形和菱形共有的性质是（ ）．
A．相邻两角都互补 B．相邻两边都相等
C．对角线是对称轴 D．对角线垂直且相等
3．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．13
4．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形
C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
6．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是（ ）
A．105度 B．112.5度 C．120度 D．135度
8．如图，已知，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线，分别交，于点E，D，连接；③过C作交于点F，连接．则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2km，则M，C之间的距离是（ ）
A．0.8km B．1.6km C．2.0km D．3.2km
二、填空题
13．如图所示，在中，，，，、的平分线交于点，于，于，则四边形的面积是 ．

14．木工师傅做一个宽，高的矩形木框，为稳固起见，制作时需要在对角顶点间加一根木条，则木条的长为 ．
15．，．
（1）如图①，若，则 °；
（2）如图①，若，，则 ；
（3）如图②，是边上的中线，若，则 ；
（4）如图③，于点，若，，则的长为 ．
16．如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则 ；若的面积等于1，则的值是 ．
17．如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12．当BD＝ 时，□ABCD是菱形．
三、解答题
18．如图，在四边形中，平分．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)过点作，交的延长线于点，若
①求菱形的面积．
②求四边形的周长．
19．将一长方形纸片按图的方式折叠，BC，BD为折痕，则的度数为多少？
20．（2017 重庆模拟）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN．
21．图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
(1)填空：______，点的坐标是（______，______）；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒．
①当时，的面积是______．
②在点，运动过程中，当时请直接写出此时的值______．
22．如图，在中，为对角线，于点，交于点，交于点，连接，．请你探究当点满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.试判断四边形AECF的形状，并证明.
24．综合与实践
如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，．
(1)与的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由．
《15.4特殊的平行四边形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A A B B C C D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解，从而可得答案.
【详解】解： 矩形纸片ABCD，
由折叠可得：
同理：
故选：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.
2．A
【详解】试题分析：根据矩形、菱形的性质依次分析各项即可判断．
矩形相邻两角都互补，对角线相等；菱形相邻两角都互补，相邻两边都相等，对角线是对称轴，对角线垂直；则矩形和菱形共有的性质是相邻两角都互补，
故选A.
考点：本题考查的是矩形、菱形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质，注意性质中的异同点．
3．D
【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC=（cm），
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD=（cm），
所以菱形的边长=（cm）．
故选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
4．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，利用矩形的性质和菱形的性质即可求解，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解决此题的关键．
【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键；根据矩形的几种判定方法进行判定即可．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意；
B、由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；
C、根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①，
．
，
在正方形中，，，
．
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
又，，
．
即，故②正确；
③过点作的延长线于点，如图，
，，
．
又，
．
，
．
，
，
即点到直线的距离为，故③错误；
④，，
在中，，
，故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性比较强，得出，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
7．B
【分析】由AC是正方形的对角线，可得AC平分∠BCD，∠ACD=∠ACB=45°，由∠DCE=∠BCD=90°，可求∠ACE=135°，由AC=CE，可求∠E=，利用三角形外角∠AFC=112.5°．
【详解】解：∵AC是正方形的对角线，
∴AC平分∠BCD，且∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+90°=135°，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAE=，
∴∠AFC=∠FDE+∠E=90°+22.5°=112.5°．
故选择B．
【点睛】本题考查正方形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，掌握正方形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质是解题关键．
8．C
【分析】先根据作图①得直线是线段的垂直平分线，从而得到，，根据作图③得到，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，结合即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：由作图①得直线是线段的垂直平分线，
∴，，
由作图③得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟知菱形的判定定理，根据题意得到直线是线段的垂直平分线是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
为直角三角形，
则，
又于点，于点，
四边形为矩形，
，
当时，最小，即此时有最小值，
，
即，
，
故选：C
10．D
【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
11．B
【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴点A与点C关于BD对称，
连接AE交BD于点P，连接PC，
则PE＋PC＝PA＋PC＝AE，
∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，
∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，
∴BE＝1，AB＝2，
过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠EBG＝60°，
∴BG＝，EG＝，
在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，
∴AE＝，
∴△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，
∴△PCE的周长的最小值为＋1，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键．
12．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，代入求出即可．
【详解】∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=AB，
∵AB=3.2km，
∴CM=1.6km，
故选：B．
【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB是解题的关键．
13．1
【分析】过点作于，根据矩形的判定可得四边形为矩形，根据角平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，设，，根据勾股定理求得，推得，即可求得，即可求解．
【详解】解：过点作于，

∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵、的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为正方形，
设，则，
在中，，
∴，
，
∴，
即，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理，解题关键在于作辅助线，利用角平分线的性质判断线段相等．
14．
【分析】矩形定形后，分成两个直角三角形，根据勾股定理求此木条的长即可．
【详解】解：由勾股定理，得此木条的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题关键是熟记勾股定理．
15． 70 12 10 9.6
【分析】（1）直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答．
（2）运用勾股定理列式计算，即可作答．
（3）斜边上的中线等于斜边的一半，据此列式计算，即可作答．
（4）先运用勾股定理列式计算，再结合等面积法进行列式计算，即可作答．
本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴
故答案为：70；
（2）∵
∴，
故答案为：12
（3）∵，是边上的中线，
∴
∴
故答案为：10；
（4）∵，，
∴
∵于点
∴
则
∴
则的长为
故答案为：
16． 60
【分析】由正方形的性质证明，即可得到，再由可得，即可求出．设，表示出的面积，解方程即可．
【详解】∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
设
∴
∴
∵的面积等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案为：60；．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．16
【解析】略
18．(1)见解析
(2)①，②
【分析】(1)根据平行线的性质可知角相等，再根据角相等即可求得边平行且相等，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求得结论；
(2) ①根据余角的性质可知角相等，再根据勾股定理求出，最后根据面积关系求出四边形的面积；②根据①的结果直角求出四边形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形 是菱形．
（2）解：①∵菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
② ∵，，，
∴四边形的周长：，
【点睛】本题考查了菱形的判定性质，余角的性质，勾股定理，正确运用菱形判定和性质是解题的关键．
19．90°
【分析】根据折叠的性质得到∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，再根据平角的定义有∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，易得∠A′BC+∠E′BD=180°×=90°，则∠CBD=90°．
【详解】因为一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
所以∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，
所以∠A′BC+∠E′BD=180°×=90°，
即∠CBD=90°．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．
20．（1）8 ；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：
（1）由已知条件先证：∠ACP=∠APC=67.5°，可得AP=AC=，再由S△ACP=APCD计算即可；
（2）由已知条件先证：△PDC≌△FBC，可得：CP=CF；在CN上截取NH=FN，连接BH，证△AMB≌△BHC可得：BM=HC，由此可得CF=CH+HF=BM+2FN，从而可得结论.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，CF平分∠ACB，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4，
∴AP=4，
∴S△APC=AP CD=；
（2）∵在△PDC和△FBC中： ，
∴△PDC≌△FBC，
∴CP=CF.
在CN上截取NH=FN，连接BH
∵FN=NH，且BN⊥FH，
∴BH=BF，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠1=∠5=22.5°，
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°，
∴∠HBC=∠BAM=45°，
在△AMB和△BHC中：，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM，
∴CF=BM+FH=BM+2FN，
∴CP=BM+2FN．
21．(1)-3，8，6
(2)见解析
(3)①9②或
【分析】（1）代入C点坐标求出k的值，再根据线段平行于轴，交直线于点，得出D点的纵坐标为6，代入反比例函数解析式求解即可；
（2）先通过点的坐标求出OA=CD，再根据题意得出，即可证明；
（3）①作CH⊥OD与H，设H的坐标为，由勾股定理得，算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可求解；
②先确定四边形CPAQ是矩形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算即可．
【详解】（1）直线经过点，
，
，
线段平行于轴，交直线于点，
D点的纵坐标为6，
，
，
点的坐标是，
故答案为：，8，6；
（2）由（1）知，点的坐标为，
∵直线与轴交于点A，
∴点A的坐标为，
∵点的坐标为，
，
∴，
又∵线段平行于轴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）①作CH⊥OD与H，
点在直线上，
设H的坐标为，
，
由勾股定理得，，
即，
解得或8（舍去），
，
，
时，，
，
故答案为：9；
②由（2）知，四边形是平行四边形，
OD与AC互相平分，
又点P、Q的运动速度相同，
PQ与AC互相平分，
四边形CPAQ是平行四边形，
当时，
四边形CPAQ是矩形，
，
当时，，
当时，，
当P、Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，点，运动过程中，当时，t的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．当点是的中点时，四边形是菱形．理由见解析.
【分析】当O是AC的中点时，四边形AFCE是菱形；根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据全等三角形的判定和性质求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：当点是的中点时，四边形是菱形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型．
23．四边形AECF为菱形；证明见解析.
【分析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠2，由O是AC中点可得AO=CO，利用AAS可证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，根据中垂线的性质可得AF=CF，AE=CE，进而可证明AF=CF=AE=CE，即可得四边形AECF为菱形.
【详解】四边形AECF为菱形.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O是AC中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴AF=CF=AE=CE
∴平行四边形AECF为菱形.
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质及菱形的判定，熟练掌握判定定理及性质是解题关键.
24．(1)；
(2)，理由见解析；
(3)是等腰三角形理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质和，证，进而得到直接．
（2）方法一：过点作于点，于点，再根据正方形到的性质证明即可解答．
方法二：利用正方形的性质证出，再证，进而根据等角对等边得．
（3）利用直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】（1）解：；
证明：∵四边形是正方形
∴∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOB=90°
∵
∴∠AOE=∠BOF
∴（ASA）
（2）解：方法一：
，理由如下：
过点作于点，于点
∵四边形是正方形∴，，平分，
∴，
∵，∴
∴
∵∴
∴
在和中，
∴
∴．
在和中，
∴∴
∴
方法二：，理由如下：
在正方形中，，，平分
∴
在和中，
∴
在四边形中，，
∵
∴
∴
∴
（3）解：是等腰三角形理由如下：
在中，点是的中点，∴
在中，点是的中点，∴
∴
∴是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，数量掌握相关知识是解本题的关键．
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