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15.5三角形中位线定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　）

A．1 B． C． D．
2．已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连接各边中点的三角形的周长为（ ）
A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm
3．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为【 】
A．5 B．10 C．20 D．40
6．如图所示，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．如图，ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A． B．1 C． D．7
8．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，菱形的对角线相交于点，点分别为边中点，连接．若，则菱形的周长为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E为AD的中点，连接OE、OC、CE，若BC＝12，CD＝5，则△COE的周长为（ ）
A．12 B． C．21 D．
12．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
二、填空题
13．如图，在中，D、E、F分别是的中点．若的面积为3，则的面积为 ．
14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若AC＝4，则EF的长是 ．
16．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，若，且，则的长为 ．
17．如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是 .
三、解答题
18．取任意一张三角形纸片，你能把它剪成四个全等的三角形吗？说明你的方法，并画出示意图．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F．
(1)求证：EO=OF；
(2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．
20．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.
(1)求证：BE=EF；
(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.
21．如图所示，已知四边形，，点F在的延长线上，连接交于E，E刚好为的中点．
(1)求证：；
(2)若点B为线段的中点，且，求的长．
22．如图，、分别是不等边三角形（即）的边、的中点，是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？并说明理由．
23．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结．
(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积；
(3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围．
24．已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
《15.5三角形中位线定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C D A A C D
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N．

∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：C．
2．D
【详解】如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，
故选D．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，
；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，，，
且，
四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
故选：C．
5．C
【详解】由已知，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，根据三角形中位线定理，得AB、BC、AC分别是FE、DF、DE的两倍．因此，由△DEF的周长为10，得△ABC的周长为20．故选C．
6．D
【分析】延长到点F，使，连接AF，过点作于点H，根据DE平分的周长， D为中点，推出，得到，推出是的中位线．得到，，根据三角形外角性质和等边对等角，， =1，得到，推出，推出，得到．
【详解】延长到点F，使，连接AF，过点作于点H，
平分的周长，且D为中点

是的中位线．
，
， =1，
，
∴，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线，等腰三角形，三角形外角，含30°角的直角三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含30°角的直角三角形边的性质．
7．A
【分析】先证明△AGC是等腰三角形，再利用中线的性质计算即可；
【详解】解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴BG＝1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE＝CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF＝BG＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线和中线的性质，准确计算是解题的关键．
8．A
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
9．C
【分析】连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，证明△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根据三角形中位线的定义及性质求出MN．
【详解】解：如图，连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，
∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，
∴BCEH，
∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM，
∵BM=MH，
∴△BRM≌△HEM(AAS)，
∴RM=EM，BR=EH=2，
∵EFAB，
同理可得△APN≌△FEN，
∴PN=EN，AP=EF=2，
∴BP=AB-AP=6-2=4，
在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2，
∴42+22=PR2，
∴PR=2，
∵RM=EM，PN=EN，
∴MN是△PRE的中位线，
∴MN=PR=，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形及平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定义和性质，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
10．D
【分析】根据中位线的性质可求的长度，根据菱形的性质，勾股定理可求的长，由此即可求解．
【详解】解：∵点分别为边中点，
∴是的中位线，且，
∴，则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∴菱形的周长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，中位线的性质，勾股定理的综合，掌握菱形的菱形，三角形中位线的性质，勾股定理求边长等知识的综合是解题的关键．
11．D
【分析】由勾股定理可求BD，由中位线，中线的性质求OE、EC，进而可求△COE的周长；
【详解】解：在矩形ABCD中，，
∴，
∵点O是BD的中点，
∴，
∵点E为AD的中点，
∴，，
∴，
∴△COE的周长为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用、中位线的性质、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
12．B
【分析】由菱形的性质先证明再求解 从而可得到答案．
【详解】解：菱形ABCD中，对角线相交于点O，E是的中点，
菱形ABCD的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解题的关键．
13．/0.75
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
由三角形的中位线定理得到，继而四边形均为平行四边形，则，即可求解．
【详解】解：∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∴四边形均为平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
14．10.5
【分析】将求GE+FH的最大值转化为GH-EF的值，因为EF是△ABC的中位线，EF=，AB的长度不变，所以只要GH的长最大即可，当GH为直径时，其长度最大.
【详解】如图，连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°．
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA=OB=AB=7．
∵E、F是AC、BC的中点，
∴EF==3.5．
∵GE+FH=GH－EF，EF为定值，∴要使GE+FH最大，即要GH最大．
∴当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和三角形的中位线的性质.将求GE+FH的最大值转化为求GH-EF的最大值，是解题的关键.
15．2
【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC=BD=4，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF=BD=2，
故答案为:2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．
16．4
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度较大．根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，根据菱形的性质得到，再由勾股定理得出的长，从而得到答案．
【详解】解：如图，设和相交于点O．
∵E、F、G、H分别是边，，，的中点，
∴分别是的中位线，分别是的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴
，
∴．
故答案为：4．
17．3
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=AB=4，
∴EF=DE-DF=7-4=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
18．见解析
【分析】先取的三边的中点D、E、F，连接、、，即可得出答案．
【详解】解：如图，方法为：取的三边的中点D、E、F，连接、、，沿、、剪开，即可得出四个全等的三角形，
理由如下：
∵D，E，F分别为，，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和三角形的中位线，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，通过此题培养了学生的思维能力和动手操作能力．
19．(1)见解析
(2)四边形AEBF是矩形，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得CE=BE，∠AEB=90°，由三角形的中位线定理可得EO∥AC，由直角三角形的性质和平行线的性质可证OE=OF；
（2）由矩形的判定可得结论．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，
∴CE=BE，∠AEB=90°，
∵点O是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，EO=AO=BO，
∴EO∥AC，
∴∠EFA=∠FAD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠FAB，
∴∠FAB=∠EFA，
∴OF=AO，
∴OE=OF；
（2）解：四边形AEBF是矩形，理由如下：
如图，
∵AO=BO，EO=FO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵∠AEB=90°，
∴四边形AEBF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．(1)证明见解析；(2)结论仍然成立；(3)
【分析】(1)利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论;
(2)由中位线的性质、平行线的性质,等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明
【详解】(1)证明：∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC
∵DE是中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE平分∠ABC，AE=EC
∴∠EBC=∠ABC=
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠F
∵∠CEF+∠F=∠ACB=，
∴∠F=，
∴∠EBC=∠F，
∴BE=EF
(2)结论仍然成立.
∵DE是由中位线平移所得；
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=，
∴ΔADE是等边三角形，
∴DE=AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵AE=CF，
∴DE=CF
∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=，
∴∠FCE=∠EDB，
∴ΔBDE≌ΔECF，
∴BE=EF
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用三线合一证明得出结论
21．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用平行线的性质，可得，即可求证；
（2）根据三角形中位线的性质，可得，由（1）可得，则
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵为的中点，点B为线段的中点，
∴为的中位线，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
22．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出，，，，从而得出，，即可证得四边形是平行四边形；
（2）由四边形是菱形，可得，再根据三角形中位线的性质可得，，从而得出．
【详解】（1）证明：∵D、E分别是边、的中点．
∴，，
∵点G、F分别是、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∵D是的中点，点G、F分别是、的中点，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握．
（1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可；
（2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得；
（3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是．
【详解】（1）证明：∵是的中位线，
∴是中点，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形；
（2）解：如图2，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为2；
（3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合），
∴，
随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形，
，
而，
，
，
，
．
24．见解析
【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，进而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据条件∠BAC=90°，证得平行四边形AEDF是矩形即可得出结论．
【详解】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
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