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(共55张PPT)
2.3 实数
第2章 实数的初步认识
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
无理数
无理数的估算
实数及其分类
实数与数轴的关系
实数的性质
实数的运算
知识点
无理数
知1－讲
1
1. 无理数的概念
定义 特征 常见形式
无限不循环小数叫作无理数 ①小数； ②位数无限； ③形式为不循环 1. 含有根号，且被开方数开方开不尽，如：，等；2. 含有π的一类数，如：π，π，1＋π 等；3. 以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如：0.121 121 112…(每相邻两个2 之间依次多一个1)等
知1－讲
2. 无理数与有理数的区别
有理数 无理数
本质 可以化为分数形式 不能化为分数形式
表现形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数
3. 无理数分为正无理数和负无理数.
知1－讲
特别警示
1. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2. 某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数.
知1－练
例 1
[模拟· 宿迁]在数－，，0.333…，，，，0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0)中，
无理数有(　　)
A. 2 个　　　B. 3 个　　　C. 4 个　　　D. 5 个
知1－练
解题秘方：根据无理数的三种常见形式去辨析.
解：＝5，＝3 ，因此－， 0.333… ，，是有理数；，，0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间依次多一个0)是无理数，共3 个．
答案：B
知1－练
特别提醒
对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后的结果进行分类，不能只要看到用根号表示的数就认为其是无理数.
知2－讲
知识点
无理数的估算
2
求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法.
“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.
知2－讲
用夹逼法估计近似值的一般步骤：
确定整数 部分 n为正整数，若n2确定小数 部分 m，n为正整数，若(n＋)2 的十分位为m，依此类推，判断出其他数位上的值，判断到比要求的精确度多一位，然后四舍五入即可
知2－讲
特别解读
利用夹逼法估计小数部分时，通常先比较被开方数与上步所估计范围中间值的平方的大小进行初步判断，如：估计1<<2后，先通过比较1.52与a的大小进行初步范围的确定.
知2－练
已知a，b为两个连续整数，且a<例 2
解题秘方：找出与7最接近的两个整数平方数，确定7的算术平方根的范围.
解：用夹逼法来求整数a与b的值. 因为a，b为连续整数，a<所以a＝2，b＝3 . 所以a＋b＝5.
5
知2－练
方法点拨
根据算术平方根的定义，若m2知2－练
比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与3.75.
解题秘方：紧扣算术平方根的估算方法，通过估算比较两组数的大小.
例 3
知2－练
解：(1)因为 <2，所以－1 <1 .
所以<.
(2)因为 > ＝20，
所以> ＝＝3.75，即>3.75.
知2－练
技巧点拨
利用放缩法比较大小，找出离得最近的有理数，简单运算后即可判断.
知3－讲
知识点
实数及其分类
3
1. 定义：有理数和无理数统称为实数.
特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立；
(2)引入无理数后，我们认识的数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们研究问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行.
知3－讲
2. 分类
(1)按定义分类
实数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
知3－讲
(2)按性质分类：
实数
知3－讲
特别提醒
1. 实数的分类有不同的方法，但无论用哪一种分类的方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏.
2. 0既不是正实数也不是负实数.
3. 我们通常把0和正实数统称为非负数，把0和负实数统称为非正数.
知3－练
把下列各数填入相应的括号内：－，－，，，－，0，－π，－，－4.0，
3.101 001 000 1…(相邻的两个1之间依次多一个0).
有理数：{ … }；
无理数：{ … }；
整数：{ … }；
例 4
知3－练
分数：{ … }；
正实数：{ … }；
负实数：{ … }.
解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，应注
意先把一些数进行化简再判断，如－＝2.
知3－练
解：有理数: {－，，－，0，－，－4.0，…};
无理数: {－，，－π，3.101 001 000 1…(相邻的两个1 之间依次多一个0)，… }；
整数：{－，0，… }；
分数：{－，，－，－4.0，…}；
知3－练
正实数：{，，－，3.101 001 000 1…(相邻的两个1之间依次多一个0)，… }；
负实数：{－，－，－π，－，－4. 0，…}.
知3－练
解法提醒
一化简，二判断.所有的有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，而无理数只能化成无限不循环小数.
知3－练
特别警示
对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或者化简，然后根据化简结果进行分类，但是往括号里面填数时一定要填原数，而不能填化简后的数.
知4－讲
知识点
实数与数轴的关系
4
1. 实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应.
“一一对应”包含着两层含义：
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
(2)数轴上的每一个点都表示一个实数.
知4－讲
2. 利用数轴比较实数的大小：数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
3. 数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示：若点A、点B在数轴上表示的实数分别为x1，x2，则AB＝ |x1－x2|.
知4－讲
特别提醒
1. 在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近似位置；
2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
知4－练
如图2.3-1，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点E(点E在点A的右侧)，则点E所表示的数为________.
例 5
1＋
知4－练
解题秘方：先计算出AB的长度，然后结合数轴判断.
解：∵正方形ABCD的面积为7，AB＝AE，
∴ AE＝AB＝.
∵点A表示的数为1，
∴点E所表示的数为1＋.
知4－练
方法点拨
在数轴上表示无理数与－时，以为半径作弧，该弧与正半轴的交点表示，与负半轴的交点表示 .
知4－练
[月考·常州武进区]实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图2.3-2 所示，这四个数中最大的是( )
A. a　　　　B. b　　　　C. c　　　　D. d
例 6
知4－练
解题秘方：紧扣“数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大”比较大小.
解：结合数轴可知，a答案：D
知4－练
方法总结
利用数轴比较实数的大小简单直观，根据点的位置即可判断出大小关系.
知5－讲
知识点
实数的性质
5
1. 相关概念
概念 性质
相反数 实数a的相反数是－a 若a，b互为相反数，
则a＋b＝0
倒数 实数a(a ≠ 0)的倒数是 若a，b互为倒数，则ab＝1
绝对值 数轴上表示实数a的点到原点的距离 |a|＝
知5－讲
2. 运用法则比较实数的大小
(1)定义法：正数大于0，0大于一切负数.
(2)性质法：两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小.
知5－讲
特别提醒
在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
知5－练
求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)；(2)－；(3)；(4)2－.
例 7
解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数、绝对值.
解：(1)的相反数是－，倒数是，绝对值是；
(2)－的相反数是，倒数是－，绝对值是；
(3)＝，它的相反数是－，倒数是，绝对值是；
(4)2－的相反数是－2，倒数是，绝对值是2－.
知5－练
知5－练
方法点拨
1. 求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“－”
2. 求一个数的绝对值时，首先要判断所求数的符号，然后根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0”写出这个数的绝对值.
知6－讲
知识点
实数的运算
6
1. 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算，非负实数还可以进行开平方运算. 有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
知6－讲
2. 实数的运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba；乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.
知6－讲
特别提醒
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到：
1. 一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；
2. 二“用”——运用运算律或公式；
3. 三“查”——检查过程和结果是否正确.
知6－讲
3. 运算种类
运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方
运算结果 和 差 积 商 幂 方根
知6－讲
4. 用计算器求算术平方根或立方根的步骤
(1)用计算器求一个正数a的算术平方根：①按 ON (开机键)；②在计算器上依次按以下各键： , 显示的结果即为a的算术平方根；
(2)用计算器求一个有理数a的立方根：① 按 ON (开机键)；②在计算器上依次按以下各键： ，显示的结果即为a的立方根.
知6－讲
特别提醒
不同型号的计算器按键顺序有可能不同，应注意先阅读使用说明书，再按使用说明进行计算.
知6－练
用计算器计算：
(1)；(2).
例 8
解题秘方：紧扣用计算器求算术平方根、立方根的方法依次按键，求出结果即可．
解：(1)依次按以下各键： ，计算器显示的结果为24.269 322 2，所以 ≈ 24.269 322 2.
(2)依次按以下各键： ，计算器显示的结果为－7.459 035 926，
所以≈－7.459 035 926.
知6－练
知6－练
特别警示
利用计算器求一个数的算术平方根与立方根时，不同计算器的按键顺序是不同的；要特别注意计算器的型号和按键顺序.
知6－练
计算(要求(1)(2)用计算器计算)：
(1)＋2.34－π；(2)(＋)×(－1)；
(3)(＋＋)×.
例 9
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
知6－练
解：(1)依次按以下各键：
，计算器显示的结果为0.316 441 335，即≈ 0.316 441 335；
(2)依次按以下各键：
，计算器显示的结果为1.031 397 601，
即(＋)×(－1)≈ 1.031 397 601；
(3)(＋＋)× ＝(－6＋＋4)×10＝－0.5×10＝－5.
知6－练
知6－练
方法总结
实数的运算，有能开得尽方的按照实数混合运算的顺序计算，开不尽方的用计算器计算.
实数
实数
与数轴的关系
有理数
定义
无理数
性质
运算
估算
用计算器计算

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