资源简介

(共31张PPT)
2.1 平方根
第2章 实数的初步认识
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
算术平方根
平方根
平方根的性质
知识点
算术平方根
知1－讲
1
1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根. a的算术平方根记为，读作“根号a”.
规定：0 的算术平方根是0，即＝0.
知1－讲
特别解读：(1)算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a ≥ 0；
②算术平方根是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1 .
知1－讲
2. 性质
(1)正数的算术平方根是一个正数；
(2)0的算术平方根是0；
(3)负数没有算术平方根；
(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
知1－讲
拓宽视野
1. 两个重要公式：
(1)()2＝a(a≥0)；
(2)＝|a|＝
知1－讲
2. ()2，的区别与联系：
()2
区 别 运算 顺序 先求算术平方根，再平方 先平方，再求算术平方根
a的取值范围 a ≥ 0 任何数
联系 当a ≥ 0 时，()2＝
知1－练
例 1
求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)； (3)0.81； (4)108.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.
知1－练
解：(1)因为82＝64，所以64的算术平方根＝8；
(2)因为()2＝，所以的算术平方根＝；
(3)因为0.92＝0.81，所以0.81的算术平方根＝0.9；
(4)因为(104)2＝108，所以108的算术平方根＝104 .
知1－练
特别解读
求一个数的算术平方根必须明确两点：
1. 这个数是非负数；
2. 求出的算术平方根(结果)必须是非负数.
知1－练
计算：(1)()2；(2)；(3).
例 2
解题秘方：根据()2＝a(a ≥ 0)，＝|a|计算.
解：(1)()2＝7；
(2)＝||＝；
(3)＝|－0.1 |＝0.1 .
知1－练
另解
(2)＝＝；
(3)＝＝0.1.
知2－讲
知识点
平方根
2
1. 平方根的定义：一般地，如果x2＝a(a ≥ 0)，那么x叫作a 的平方根，也称为二次方根.
2. 如果x2＝a，那么(－x)2＝x2＝a. 所以x和－x都满足x2＝a，即x 和－x都是a的平方根，记为±＝±x.
知2－讲
3. 开平方
(1)定义：求一个数的平方根的运算叫作开平方.
(2)开平方和加、减、乘、除、乘方一样，指的是一种运算，平方根是开平方运算的结果.
运算 加 减 乘 除 乘方 开平方
结果 和 差 积 商 幂 平方根
知2－讲
(3)平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫作幂，开平方的结果叫作平方根. 我们可以用平方运算来验证开平方的结果是否正确.
知2－讲
特别解读
1. 求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根.
2. (a ≥ 0)实际上是省略了中的2，2叫作根指数.
知2－练
求下列各数的平方根：
(1)36；(2)0.062 5；(3)2； (4)3.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定平方根．
例 3
知2－练
解：(1)因为62＝36，所以36的平方根±＝±6；
(2)因为0.252＝0.062 5，
所以0 .062 5的平方根±＝±0.25；
(3)因为2＝，()2＝，所以2的平方根±＝±；
(4)3的平方根是±.
知2－练
特别提醒
如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平方根；如果一个正数a不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a的平方根表示成±(a＞0).
知3－讲
知识点
平方根的性质
3
1. 平方根的性质
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
(2)0 的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
知3－讲
2. 平方根、算术平方根的区别与联系
平方根 算术平方根
区 别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个
表示方 法不同 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为
取值范 围不同 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数
知3－讲
续表
平方根 算术平方根
联 系 具有包 含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外) 存在条 件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0的平方根与算术平方根都是0
知3－讲
特别解读
如果a为正数，那么a有两个平方根±，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是－ .
知3－讲
特别提醒
，－，±(a ≥ 0)的区别
－ ±
表示的意义 a的正的平方根 a的负的平方根 a的负的平方根
知3－练
(1)一个正数的两个平方根是2a－1和a－5，则这个正数是多少？
(2)已知2a－1与－a＋2 是m的平方根，求m的值.
例 4
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
知3－练
解：(1)根据题意，得(2a－1)＋(a－5)＝0，解得a＝2，
所以这个正数是(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9.
(2)根据题意，分以下两种情况：①当2a－1 ＝－a＋2 时，a＝1，所以m＝(2a－1)2＝(2×1－1)2＝1；
② 当(2a－1)＋(－a＋2)＝0 时，a＝－1，
所以m＝(2a－1)2＝[2×(－1)－1]2＝(－3)2＝9.
综上可知，m的值为1或9.
知3－练
解法提醒
1. 正数有两个平方根，它们互为相反数，根据互为相反数的两数和为0，列方程先求出未知数的值，再根据平方根的定义求这个正数的值.
2.已知a，b是m的平方根，则有a=b或a+b=0.
知3－练
求下列各式中的x：
(1)x2＝361；(2)81x2－49＝0；(3)(3x－1)2＝(－5)2.
例 5
解题秘方：若x2＝a(a ≥ 0)，则x＝±，利用此式求x的值.
知3－练
解：(1)因为x2＝361，所以x＝±＝±19.
(2)整理81x2－49＝0 ，得x2＝，所以x＝±＝±.
(3)因为(3x－1)2＝(－5)2，所以3x－1＝±5.
当3x－1＝5 时，x＝2；当3x－1 ＝－5 时，x＝－.
综上所述，x＝2 或x＝－.
知3－练
方法点拨
利用平方根的性质解方程的一般步骤：
转化 x2＝a(a≥0) (x＋b)2＝a(a ≥0) (cx＋b)2＝a (a ≥ 0，c ≠ 0)
开平方 x＝± x＋b＝± cx＋b＝±
解一元一次方程 x＝－b或 x＝－－b x＝或
x＝
平方根
平方根
算术平方根
定义
开平方
性质
运算

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