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3.1 勾股定理的探究
第3章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理
勾股定理的证明
知识点
勾股定理
知1－讲
1
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2＋b2＝c2.
知1－讲
2. 勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2；b2＝c2－a2.
3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.
知1－讲
特别提醒
1. 勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.
2. 利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边.
知1－练
例 1
如图3.1-2，已知直角三角形的两边长，求第三边的长.
知1－练
解题秘方：先根据图形判断第三边是直角边还是斜边，再用勾股定理求解.
解：(1)根据勾股定理，得62＋82＝x2，即x2＝100.
所以x＝＝10.
(2)根据勾股定理，得52＋y2＝132，即y2＝144.
所以y＝＝12.
知1－练
解法提醒
在一个直角三角形中，已知两条边长，若求斜边，则直接利用勾股定理的公式；若求直角边，则利用勾股定理的变形公式.
知2－讲
知识点
勾股定理的证明
2
1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的.
知2－讲
2. 著名证法举例
方法 图形 证明
“赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c2. 又因为大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝c2
知2－讲
续表
方法 图形 证明
刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c2. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a2＋b2，所以a2＋b2＝c2
知2－讲
续表
方法 图形 证明
加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2＋ab. 又因为S＝ab＋ab＋c2＝c2＋ab，所以a2＋b2＝c2
知2－讲
续表
方法 图形 证明
毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c2＋4×ab，由图②得大正方形的面积＝a2＋b2＋4×ab，比较两式易得a2＋b2＝c2
在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理
知2－讲
特别解读
通过拼图证明命题的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→得出命题结论.
知2－练
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法. 如图3.1-3，火柴盒的一个侧面ABCD倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.
请利用四边形BCC′D′的面积证
明勾股定理：a2＋b2＝c2.
例 2
知2－练
解题秘方：紧扣“总面积等于各部分面积之和”进行验证.
整个图形的面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和.
知2－练
证明：由题意得C′D′＝CD＝AB＝a，D′A＝DA＝CB＝b，
AC′＝AC＝c，Rt△ABC≌ Rt△AB′C′，四边形BCC′D′为直角
梯形，∴∠BAC＝∠B′AC′，S梯形BCC′D′＝(BC＋C′D′)·BD′＝. ∴∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. ∴ S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ab＋c2＋ab＝. ∴＝，即a2＋b2＝c2.
知2－练
详解
Rt△AB′C′是火柴盒侧面ABCD中的Rt△ABC倒下后得到的，Rt△ABC的形状、大小未改变，只是位置由Rt△ABC改变为Rt△AB′C′，所以Rt△AB′C′≌Rt△ABC.
勾股定理的探究
勾股定理
证明
拼图法
面积法
条件
直角三角形
结论
三边平方关系

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