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4.2 图形变换与坐标变化
第4章 平面直角坐标系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平移与坐标变化
轴对称与坐标变化
特殊位置的点的坐标特征
知识点
平移与坐标变化
知1－讲
1
1. 点的横坐标、纵坐标的变化与平移方向、平移距离的 关系
当一个点沿着与y轴平行的方向移动，它的横坐标不变；沿着与x轴平行的方向移动，它的纵坐标不变.
知1－讲
2. 点的平移与坐标变化的关系
平移前点的 坐标 平移的方向、 距离(a>0) 平移后点 的坐标 规律
(x，y) 右，a (x＋a，y) 右加左减横坐标；
上加下减纵坐标
左，a (x－a，y) 上，a (x，y＋a) 下，a (x，y－a)
知1－讲
特别解读
根据点的平移情况可以判断平移后点的坐标变化情况; 反过来，根据点的坐标变化情况，也可以判断点平移的方向与距离.
知1－练
例 1
在平面直角坐标系中，将点M(5，2)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是( )
A. (8，4) B. (3，5)
C. (2，0) D. (2，3)
知1－练
解题秘方：根据平移的方向和平移的距离确定点的坐标.
解：点M(5，2)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点的坐标是(5－3 ，2－2)，即(2 ，0)．
答案：C
知1－练
方法提醒
平移中点的坐标变化规律：
右移(左移)横坐标加(减)，纵坐标不变；上移(下移)纵坐标加(减)，横坐标不变．
知1－练
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图4.2-1 所示，点A′的坐标是
(－2，2)，现将△ABC平移，
使点A平移到点A′，点B′，
C′分别是点B，C的对应点.
例 2
知1－练
解题秘方：根据一对对应点的坐标可确定图形平移的方向和平移的距离，图形边上的点和图形内部的点平移方式相同.
知1－练
解：△A′B′C′如图4.2-1 所示.
B′(－4，1)，C′(－1，－1).
(1)请画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′，C′的坐标；
知1－练
(2)试说明△ABC经过怎样的平移得到△A′B′C′；
(3)若△ABC内部一点P的坐标为(a，b)，则平移后点P的对应点P′的坐标是_____________.
解：将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A′B′C′(平移方式不唯一).
(a－5，b－2)
知1－练
方法点拨
图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系：
(1)因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上各点坐标的变化情况；
(2)平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以根据图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况.
知2－讲
知识点
轴对称与坐标变化
2
1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律
(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)点(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a，－b).
知2－讲
2. 关于与坐标轴平行的直线对称的点的坐标规律(拓展)
(1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点的坐标为(2m－a，b)；
(2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点的坐标为(a，2n－b).
3. 在平面直角坐标系中画由轴对称变换得到的图形的方法
(1)计算——计算已知图形中特殊点的对称点的坐标；
(2)描点——根据对称点的坐标描点；
(3)连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形.
知2－讲
特别解读
1. 关于坐标轴对称的点的规律可简记为：横对称，横同纵反；纵对称，纵同横反. 即关于谁对称谁不变.
2. 关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值分别相同，这是因为一对对称点到对称轴的距离相等.
知2－练
已知点A(2a＋b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋4b)2 025的值.
解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出方程组求解即可.
例 3
知2－练
解：∵点A，B关于x轴对称，∴
解得故a，b的值分别为－3，－5.
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
知2－练
解：∵点A，B关于y轴对称，
∴解得
∴(4a＋4b)2 025＝(－7＋6)2 025＝(－1)2 025＝－1.
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋4b)2 025的值.
知2－练
知识储备
若点P1 (a1，b1)，P2(a2，b2)关于x轴对称，则a1＝a2，b1＋b2＝0；若点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)关于y轴对称，则 a1＋a2＝0，b1＝b2.
知2－练
如图4.2-2，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－4，0)，B(－1，1)，
C(－1，3)，D(－3，4)，
请分别画出与四边形ABCD
关于x轴和y轴对称的图形，
并写出对称图形顶点的坐标.
例 4
知2－练
解题秘方：利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，作出四边形ABCD四个顶点关于x轴、y轴的对称点，然后连接各对称点即可.
知2－练
解：如图4.2-2，四边形ABCD关
于x轴和y轴对称的图形分别为
四边形A′B′C′D′与四边形A1B1C1D1.
∵ 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(－4 ，0)，B(－1，1)，
C(－1，3)，D(－3，4)，
知2－练
∴根据关于坐标轴对称的点的坐
标特征可得A′(－4，0)，B′(－1，
－1)，C′(－1，－3)，D′(－3，
－4)，A1(4，0)，B1(1，1)，
C1(1，3)，D1(3，4).
知2－练
方法点拨
画轴对称图形的方法：
(1)找准对称轴和特殊点的位置；
(2)画特殊点关于对称轴的对称点：有坐标系时，可以利用轴对称的性质描出各对称点，也可以先计算出对称点的坐标，再描出对称点；
(3)按照原图形的顺序将对称点顺次连接起来.
知3－讲
知识点
特殊位置的点的坐标特征
3
点的位置 点的横、纵
坐标的关系
在象限角平分线上 在第一、三象限的角平分线上 相等
在第二、四象限的角平分线上 互为相反数
在垂直于坐标轴的直线上 在垂直于x轴的直线上 横坐标相等
在垂直于y轴的直线上 纵坐标相等
知3－讲
特别解读
若两个点的横坐标相同，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相同，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值.
知3－练
已知平面直角坐标系内的不同两点A(3，a－1)，
B(b＋1，－2).
(1)若点A在第一、三象限的角平分线上，求a的值；
(2)若点B在第二、四象限的角平分线上，求b的值；
(3)若直线AB平行于y轴，且AB＝5，求a，b的值.
例 5
解题秘方：分别根据特殊位置的点的坐标特征列出以a，b为未知数的方程，求出a，b的值.
知3－练
解：(1)∵点A在第一、三象限的角平分线上，
∴ a－1＝3. ∴ a＝4 .
(2)∵点B在第二、四象限的角平分线上，
∴ b＋1＝2. ∴ b＝1.
(3)∵直线AB平行于y轴，且AB＝5，
∴ b＋1＝3，|(a－1)－(－2)|＝5. ∴ b＝2，a＝4或a＝－6.
知3－练
方法点拨
解答这类问题的基本方法是根据特殊位置的点的坐标特征列方程求解.
知3－练
易错警示
(3)中线段AB的长等于A，B两点纵坐标的差的绝对值，一定不要忘记“绝对值”
图形变换与坐标变化
点
的
坐
标
横坐标相等，
纵坐标互为
相反数
横坐标互为
相反数， 纵
坐标相等
x轴
y轴
轴对称
平移
x轴
y轴
右加
左减
上加
下减

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