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4.1 点的位置与坐标系
第4章 平面直角坐标系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平面直角坐标系
点的坐标
平面直角坐标系中点的坐标特征
建立合适的平面直角坐标系
知识点
平面直角坐标系
知1－讲
1
1. 定义：如图4.1-1，平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系.
知1－讲
2. 相关概念： 水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O称为原点. 如图4.1-1 所示.
知1－讲
特别解读
1. 平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直.
2. 一般情况下，两坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同.
知1－练
例 1
下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(　　)
解题秘方：根据平面直角坐标系的定义去识别.
B
知1－练
特别解读
辨识平面直角坐标系的“三要素”：
1. 两条数轴；2.共原点；3.互相垂直.
知2－讲
知识点
点的坐标
2
1. 点的坐标：过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别是a，b，有序实数对(a，b)称为点P的坐标，a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标．
知2－讲
2. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系
(1)坐标平面内任意一点，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点的坐标)和它对应；
(2)任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点(即坐标为(x，y)的点)和它对应.
知2－讲
特别解读
点到坐标轴的距离:
平面直角坐标系中，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值.
知2－练
如图4.1-2，写出点A，B，C，D，E，F，G，O的坐标.
例 2
知2－练
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，读垂足表示的数的方法求点的坐标.
解：由图4.1-2 可知：A(3，4)，B(－6，4)，C(－5，－2)，D(－5，2)，E(0，3)，F(2，0)，G(－4 ，0)，O(0，0).
知2－练
方法点拨
确定点的坐标的方法：
从该点向x轴作垂线 从该点向y轴作垂线
↓ ↓
垂足表示的数为横坐标 垂足表示的数为纵坐标
(横坐标，纵坐标)
知2－练
请你在图4.1-3 所示的平面直角坐标系中，描出以下各点：A(3，2)，B(0，3)，C(－1，－2)，D(2，－1).
例 3
知2－练
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，过数轴上表示点的坐标的数的点作垂线，两垂线的交点即为所求的点.
解：描出的点A，B，C，D如图4.1-3 所示.
知2－练
方法点拨
确定点的坐标描点的方法：
在x轴上找到表示横坐标的点 在y轴上找到表示纵坐标的点
↓ ↓
过该点作x轴的垂线 过该点作y轴的垂线
两垂线的交点即为所求
知3－讲
知识点
平面直角坐标系中点的坐标特征
3
1. 象限：如图4.1-4，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成的四个区域称为象限，
按逆时针顺序分别记为第一、
二、三、四象限.
知3－讲
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
点(a，b)的位置 横、纵坐标的符号特征 图示
在 象 限 内 第一象限 (+，+)，即a＞0，b＞0
第二象限 (－，+)，即a＜0，b＞0 第三象限 (－，－)，即a＜0，b＜0 第四象限 (+，－)，即a＞0，b＜0
横、纵坐标的符号共同决定点所在的象限
知3－讲
续表
点(a，b)的位置 横、纵坐标的符号特征 图示
在 坐 标 轴 上 x 轴 正半轴 (+，0)，即a＞0，b=0
负半轴 (-，0)，即a＜0，b=0 y 轴 正半轴 (0，+)，即a=0，b＞0 负半轴 (0，-)，即a=0，b＜0 原点 (0，0)，即a=0，b=0
纵坐标为0
横坐标为0
原点既在x轴上，又在y轴上
知3－讲
特别解读
既可以根据点的位置判断其横、纵坐标的符号特征；也可以由点的横、纵坐标的符号特征判断点所处的位置.
知3－练
[期末·无锡经开区]在平面直角坐标系中，有一点P (a－1，2a)．
例 4
解题秘方：紧扣平面直角坐标系中点的坐标特征解答.
知3－练
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点P在第二象限，求a的取值范围．
解：∵点P在x轴上，∴ 2a＝0，解得a＝0 .
∴ a－1＝0 －1＝－1，∴ P(－1 ，0)
∵点P在第二象限，
∴解得0 知3－练
方法点拨
解答这类问题的基本方法是根据坐标轴上或各象限内的点的坐标特征列方程或不等式(组)求解.
知4－讲
知识点
建立合适的平面直角坐标系
4
建立平面直角坐标系的一般步骤
(1)选择一个适当的点为原点；
(2)过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴；
(3)根据具体问题确定单位长度.
知4－讲
特别解读：
(1)坐标轴的方向通常取水平方向为x轴，竖直方向为y轴；
(2)平面直角坐标系变化时，坐标平面内各点的坐标也发生变化，但各点之间的相对位置并不会发生变化.
知4－讲
特别说明
1. 建立平面直角坐标系时，尽量保证关键点的坐标都是整数；
2. 建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同.
知4－练
如图4.1-5，长方形ABCD的长AB＝5，宽BC＝3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点A，B，C，D的坐标.
例 5
知4－练
解题秘方：建立适当的平面直角坐标系，然后根据长方形的长AB＝5，宽BC＝3，写出四个顶点的坐标.
解：建立平面直角坐标系如图4.1-5所示(建立坐标系方法不唯一)，A(0，3)，B(5，3)，C(5，0)，D(0，0).
知4－练
方法点拨
几何图形中建立适当的平面直角坐标系的方法：
(1)使图形中尽量多的点在坐标轴上；
(2)以某些特殊线段所在的直线为x轴或y轴；
(3)若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同，则可以将此直线作为x轴或y轴；
(4)以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0).
知4－练
[期末·镇江]如图4.1-6是某校的平面示意图，图中的
小方格都是边长为1 个单位长度的
正方形，建立平面直角坐标系，
得到体育馆的坐标为(－2，－1)，
艺术楼的坐标为(－4，0)，教学
楼和实验楼的位置都在格点上．
例 6
知4－练
解题秘方：根据已知点坐标得出原点位置，建立平面直角坐标系，进而得出答案．
解：建立平面直角坐标系如图4.1-6
所示．
知4－练
(1)在图中画出符合题意的平面直角坐标系xOy；
解：∵小丽的位置对应着坐标(3，－2)，教学楼的位置对应着坐标(0，2)，
故小丽到教学楼的距离为＝5．
知4－练
(2)若小丽的位置对应着坐标(3，－2)，求小丽到教学楼的距离．
知4－练
特别提醒
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的平面直角坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上或落在原点附近.
点的位置与坐标系
平面直角
坐标系
点的
坐标
构成
坐标轴
象限

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