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第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
课时2 切线的判定及内切圆
1.圆的切线的判定；
2.三角形的内切圆. （重点、难点）
学习目标
新课导入
1.直线和圆有哪些位置关系？
相交、相切、相离
2.切线的性质是什么？
性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：如图所示，
∵直线l切☉O于T，∴OT⊥l.
新课讲解
　　如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线
l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O
有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
l
O
A
新课讲解
例
如图，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4， 点C 在线段AB 的延长线上， 点D 在⊙ O 上， 连接CD， 且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线.
分析：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线.
新课讲解
证明：连接OD.
由题意可知CD=OD=OA= AB=2.
∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2.
∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD.
又点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线.
新课讲解
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的
切线.
新课讲解
已知：△ABC(如图).
求作： ⊙ I，使它与△ ABC的三边都相切.
新课讲解
作法：
1.作∠B ， ∠C的平分线BE和CF,交点为I，如图.
2.过I作BC的垂线，垂足为D.
3.以I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
新课讲解
定义：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切
圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，
叫做三角形的内心．
新课讲解
图形 ⊙O的名称 △ABC的名称 圆心O的确定 “心”的性质 “心”的位置
△ABC的内切圆 ⊙O的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 一定在三角形内部
课堂小结
切线的三种判定方法：
(1)定义；
(2)数量关系；
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线．
在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定
方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．
当堂小练
1.如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是(　　)
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ AC；④DE是⊙O的切线．
A．1 B．2
C．3 D．4
D
当堂小练
2.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
B
拓展与延伸
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
拓展与延伸
如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.
∵PN与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PN.
∵点O在∠MPN的平分线上，
OB⊥PM，
∴OB＝OA.
∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径．
∴PM为⊙O的切线．
证明：
1.(北师9下P93、人教9上P101)如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：AB是☉O的切线.
证明：如图，连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在☉O上，
∴AB是☉O的切线.
答案图
课后练习
2.(北师9下P93、人教9上P100改编)如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，∠A＝68°，则∠BPC的度数为
　 　.
　124°　
3.(北师9下P105、人教9上P99)已知△ABC，用尺规作△ABC的内切圆☉O.
图略(提示：作∠B和∠C的平分线，它们相交于点O，过点O作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD长为半径作☉O即可)
4.(人教9上P102改编)(2024西藏)如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上两点，BD平分∠ABC，BC的延长线与过点D的直线交于点H，且BH⊥DH.求证：DH是☉O的切线.
证明：连接半径OD.
∵BD平分∠ABH，∴∠ABD＝∠HBD，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠HBD＝∠ODB，∴OD∥BH，
又∵BH⊥DH，∴OD⊥DH，
∵点D在☉O上，∴DH是☉O的切线.
小结：通过平行证垂直
5.(北师9下P95、人教9上P103)如图，☉O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则☉O的半径是　 　.
　2 cm　
6.如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作☉O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA.
(1)求∠DOA的度数；
(2)求证：ED是☉O的切线.
(1)解：∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠ODB.
∵∠DBA＝50°，∴∠DOA＝2∠DBA＝100°.
(2)证明：如图，连接OE.
在△EAO与△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO(SSS)，∴∠EDO＝∠EAO，
∵∠BAC＝90°，∴∠EDO＝90°，
又点D在☉O上，∴ED是☉O的切线.
(2)求证：ED是☉O的切线.
小结：通过全等或等量代换证垂直
7.如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交☉O于点D，连接OD.BD是☉O的切线吗？为什么？
解：BD是☉O的切线，理由如下：
∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADB＝180°－30°－30°＝120°，
∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠ODB＝120°－30°＝90°，即OD⊥BD.
∵点D在☉O上，∴BD是☉O的切线.
小结：通过直接计算证垂直
8.(北师9下P107、人教9上P100)如图，已知△ABC的内切圆☉O的半径为r，△ABC的周长为l，则△ABC的面积S＝
___________.
lr　
★9. 0.50 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.
(1)求证：CD与☉O相切；
(2)若☉O的半径为，求正方形ABCD的边长.
(1)证明：如图，连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，
∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.
∵ON⊥CD，∴CD与☉O相切.
(2)若☉O的半径为，求正方形ABCD的边长.
(2)解：设正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a.
∵∠OCM＝∠ACB，∠OMC＝∠B＝90°，
∴△COM∽△CAB，，
，解得a＝＋1.
∴正方形ABCD的边长为＋1.
小结：公共点未知问题，作垂线，得d=r，证垂直.
请完成课本本节对应习题
布置作业
谢谢大家

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