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绝密★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1 z. 已知复数 z在复平面内对应的点为 (3,4)，则
| z |
5 5 i 5 5 i 3 4 4 3A. B. C. i D. i
3 4 4 3 5 5 5 5
2． 已知向量 a ( 1,2)， b (x, 1)，若 a b ，则 x
A. 2 B. 1 C.1 D. 2
3. 已知等差数列{an}满足 a2 3， a3 1，则 a5
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4 1. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边在射线 y x(x ≥
2
0)上，则 tan 2
3 4
A. B.1 C. D. 2
4 3
x2
5. 以抛物线C : y 的焦点为圆心，且与C 的准线相切的圆截直线 y x所得弦长为
4
A. 2 B. 2 2 C. 7 D. 14
6. 圆锥的轴截面是腰长为3 2 的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为
A. 6 B. 9 C. 6 2 D.9 2
数学试题 第 1页（共 4页）
7. 在△ABC 中，D为 BC上一点，且 AD平分 BAC ，若 AB 3，AC AD 2，则
BC
6 2 4 6 3 5 5 3
A. B. C. D.
5 3 5 3
8. 已知函数 f (x) xe x .设 k 为正数，则对于u f (lnk)，v f (ln2k)，w f (2lnk)
这三个数
A. v可能比u和w都小 B.w不可能比u和 v都大
2
C. 2u ≤ v w D.至少有一个小于
4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 有一组样本数据 x1 ， x2 ，…， x10 满足 x1 x2 x10 ，则
A x x.该样本数据的中位数是 5 6 B.该样本数据的极差是 x x
2 10 1
C.该样本数据去掉 x1 后方差变小 D.该样本数据去掉 x2 后平均数可能不变
10. 已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在球O 的球面上，若 A，O ，C1三
点共线，则
A. B ，O ， D1三点共线 B. AB B1C
C. AD 平面 DCC 1D1 D. BC1∥平面 ADD1A1
11 5 1. “黄金分割法”是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一，通常将 称之
2
为黄金分割常数.下列数中是黄金分割常数的有
A. cos B. 2sin
5 10
1 1
C. D. 1
1 1 1 1
1 1
1
数学试题 第 2页（共 4页）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 x y. 双曲线 1的右焦点到它的一条渐近线的距离为 .
5 4
13. 已知函数 f (x)是定义域为 R 的奇函数.设 g (x) f (x 1) 1，若 f (x)在 (0, )的
最小值为 2，则 g(x)在 ( ,1)的最大值为 .
14. 已知集合M 满足M {1,2, ,2025}，且当 k M时，25k M ，则M 中元素的个数
至多为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数 f (x) 2x3 a(x2 3) .
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）讨论 f (x)的单调性；
（3）当 x 0时， f (x) 0，求 a的取值范围.
16.（15分）
如图，四棱锥 P ABCD 中， AB 2CD ， AB∥CD，
S为 PB的中点.
（1）证明：CS∥平面 PAD ；
（2）若 AB BC PC， PD 底面 ABCD ， AB BC，
求直线 AS 与平面CDS 所成角的正弦值.
17.（15分）
从一副扑克牌中任取 5张不同牌面的纸牌，其中一张牌面是红桃 K.把这5张纸牌都
剪成形状和大小都相同的10张半张纸牌，并从剪成的10张半张纸牌中随机取 4张.
（1）求这 4张半张纸牌不能拼成完整牌面纸牌的概率；
（2）求在这 4张半张纸牌仅可以拼成1张完整牌面纸牌的条件下，恰好拼成的是红
桃 K的概率；
（3）记 X为这 4张半张纸牌可以拼成的完整牌面纸牌数量，求 X的分布列与期望.
数学试题 第 3页（共 4页）
18.（17分）
x2 y 2
已知椭圆C : 2 1(a 2 2)的左顶点为 A，右焦点为 F，且 | AF | 4.a 8
（1）求C的方程；
（2）过 A 且不与 x轴重合的直线与C的另一个交点为 P，与直线 x 9交于点Q，
过 A且平行于QF的直线与直线 PF交于点 R .
（i）若 | PQ | 2 | PA |，求△AFR的面积；
（ii）证明：存在定点G，使得 ARG FRQ .
19.（17分）
设 n为正整数，数列 a1， a2 ，…， an和 b1 ，b2，…，bn满足 ai 0，bi 0，且
ai bi 4 ，i 1,2, ,n .定义 c1，c2 ，…，c2n为 a1，a2 ，…，an与 b1 ，b2，…，bn
的所有项按从小到大的顺序排列所得到的数列.
（1）若 n 4， a1 1， a2 2，b3 e，b4 ，写出 c1， c3， c8 ；
a 2
2 i i i 1
2n n
（ ）若 2 ， i 1,2, ,n，求b i i 1 ci ci ；i i n 1 i 1
2n n n
（3）若3 ci 5 ci ≥ 4，证明：存在 1 ， 2 ，…， n {0,1}，使得 ia i
i n 1 i 1 i 1
n n
和 (1 i )bi 都不大于 | ai bi | .
i 1 i 1
数学试题 第 4页（共 4页）
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数学参考答案
1.【答案】C
z 3 4i z 3 4i 3 4i 3 4【解析】根据题意有 ，故 i .
| z | | 3 4i | 32 42 5 5
2.【答案】A
【解析】因为向量 a ( 1,2)， b (x, 1)，且 a b ，则 a b ( 1) x 2 ( 1) 0，故
x 2 .
3．【答案】A
【解析】因为等差数列{an}满足 a2 3，a3 1，且 2a2 a1 a3，故 a1 5，又 2a3 a1 a5 ，
故 a5 3 .
4.【答案】C
1 1 2 tan 4
【解析】因为角 的终边在射线 y x(x≥ 0)上，故 tan ，tan 2
2 2 1 tan 2
.
3
5.【答案】D
x 2
【解析】抛物线C : y 的焦点为 (0,1)，准线为 y 1，故圆的半径 r 2 .又点 (0,1)到
4
y 2 x d l 2 r 2 2直线 的距离 ，故弦长 d 14 .
2
6.【答案】B
r 3 πr
2h
【解析】根据题意可知圆锥的底面半径 ，高 h 3，故体积为V 9π .
3
7.【答案】D
1
BAD CAD S△ABD BD
AB AD sin
2 AB 3【解析】设 ，则 1 .S△ACD CD AC AD sin AC 2
2
设 ADC ， BD 3m，CD 2m，其中m 0，由余弦定理可知：
AB2 9 AD2 BD2 2AD BD cos 4 9m2 12mcos ①，
AC2 4 AD2 CD2 2AD CD cos 4 4m2 8mcos ②，
3 5 3
由①，②可知m ，故 BC 5m .
3 3
数学参考答案 第 1页（共 8页）
8.【答案】D
(x) f (ln x) ln x【解析】设 ，则 u f (lnk) (k)， v f (ln2k) (2k)，
x
w f (2ln k) (k 2 )，且 (x) 1 ln x 2 ，当 x (0,e)时， (x) 0， (x)单调递增，当x
x (e, ln 2 2 ln 2 ln 4 )时， (x) 0， (x)单调递减，且 (2) (4)，所以当 k 2
2 4 4
时， (k ) (2k ) (k 2 )，即 u v w；当 k 2时，必有 v (2k) u (k)，当 2 k e
时， k 2 2k 4，u (k ) (2) (4) v (2k ) w (k 2 )，故 A，C错误；当
e k 2时，k 2 e k 2 2k 4，此时w (k 2 ) v (2k) (4) (2) u (k)，
B 2 ln 2 2故 错误；若三者中至少有一个小于 ，只需满足 ，即
4 2 4
2
ln 2 2 ln 2 2 2 1 g (x) 2 ln x x 1 g (x) (x 1) ，设 ，则 2 ≤ 0，g (x)2 2 x x
单调递减，所以 g ( 2 ) g (1) 0，故 D正确.
9.【答案】ABD（选对一项给 2分，选对两项给 4分）
【解析】因为 x1 x2 x
x x
10 ，故这组数据的中位数是中间两个数的平均数，即
5 6 ，
2
极差是最大的数与最小的数之差，即 x10 x1 ，故 A，B正确；这组样本数去掉 x1 后方差可
能变大、变小或不变，例如，设 x1 0， x2 ， x3 ，…， x9 的值无限接近于 0， x10 90 ，
1 10 (x x ) 2 1则原数据的方差为 (9 2 9 81 2i ) 729 ，而去掉 x1 后的数据方差10 i 1 10
1 10
为 (x i x ) 2 1 (10 2 8 80 2 ) 800 ，在这种情况下方差变大，故 C错误；若 x9 2i 2 9
恰好等于数据的平均数，则去掉 x2 后平均数不变，故 D正确.
10.【答案】BC（选对一项给 3分）
【解析】易知平面 BDD 1B1 底面 ABCD ，设O 在底面 ABCD 上的射影为O ，若 B ，O ，
D1三点共线，则O在平面 BDD 1B1 上，此时O 在直线 BD 上，但根据题设不能确定O 是
否在直线 BD 上，故 A错误；因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在球O 的球面
上，故 A， B，C ， D四点共圆，若 A，O ，C1三点共线，同上可知O 在直线 AC 上，
数学参考答案 第 2页（共 8页）
故 AC 为圆O 的直径，所以 ABC 90 ，又 BB1 底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，
故 BB1 AB ，所以 AB 平面 BCC 1B1，又 B1C 平面 BCC 1B1，故 AB B1C ，同理可
证 AD 平面 DCC 1D1，故 B，C正确；由于不确定平面 BCC 1B1 是否平行于平面 ADD 1A1，
故不确定 BC1是否平行于平面 ADD 1A1，故 D错误.
11.【答案】BCD（选对一项给 2分，选对两项给 4分）
sin 2 sin 3 sin( 2 【解析】因为 )，
5 5 5 5
故 2sin
cos 2sin cos 2 cos 2 sin ，
5 5 5 5 5 5
所以 2cos

2cos 2 cos 2 2cos 2 2cos 2 1，即 4cos 2 2cos 1 0，
5 5 5 5 5 5 5
1 cos ( 5)2 2 5 12
解得 cos 5 1 ，又 sin 6 2 5 5 1 5 ，
5 4 10 2 16 4 4
故 2 sin 5 1 ，故 A错误，B正确；
10 2
1 1 x
对于 C，设 x，则 x ，整理有 x 2 x 1 0，因为
1 1 1 1 1 1 x
x
5 1
x 0 ，故解得 x ，故 C正确；
2
1 y 1D 2对于 ，设 1 y，则 ，整理有 y y 1 0，因为 y 0，故解得1 1 y
1 1
1
y 5 1 ，故 D正确.
2
12.【答案】 2
x2 y2 2
【解析】由双曲线 1的方程可知其右焦点为 (3,0)，其中一条渐近线方程为 y x，
5 4 5
| 2 3 0 ( 5) | 6
故右焦点到这条渐近线的距离为 2 .
22 ( 5)2 3
13.【答案】 1
【解析】因为 f (x)是定义域为 R 的奇函数，若 f (x)在 (0, ) 的最小值为 2，则 f (x)在
数学参考答案 第 3页（共 8页）
( ,0)的最大值为 2，又 g (x) f (x 1) 1，故 g(x)在 ( ,1)的最大值为 2 1 1 .
14.【答案】1947
【解析】2025 25 81，k 与 25k 不能同在M 中，其中 k 4,5, ,81，又 25 3 81 24 4，
所以 M 中元素的个数不大于 2025 (81 4 1) 1947 .另一方面，设 S {1,2,3}，
T {82,83, ,2025}，取M S T ，此时M 中恰有1947个元素，满足要求.
15.（13分）
【解析】（1）当 a 1时， f (x) 2x3 x2 3， f (x) 6x2 2x . ……1分
f (1) 0， f (1) 8，故曲线 y f (x)在点 (1,0)处的切线方程为 y 8x 8. ……3分
2
（2） f (x) 6x 2ax 2x(3x a) .令 f (x) 0，则 x 0 x a 或 . ……5分
3
（i）若 a 0， f (x)≥0，所以 f (x)在 ( , )单调递增； ……6分
（ii）若 a 0 x a a，当 0时，f (x) 0，当 0 x 时，f (x) 0，当 x 时，f (x) 0，
3 3
a
所以 f (x)在区间 ( ,0)， ( , )
a
单调递增，在区间 (0, )单调递减； ……7分
3 3
a a
（iii）若 a 0，当 x 时，f (x) 0，当 x 0时，f (x) 0，当 x 0时，f (x) 0，
3 3
a
所以 f (x)在区间 ( , )， (0, )单调递增，在区间 ( a ,0)单调递减. ……8分
3 3
（3）由（2）可知，若 a 0， f (x)在 ( , )单调递增，
故当 x 0时， f (x) f (0) 0 . ……9分
a
若 a 0，由（2）可知 x 是极小值点，
3
a a 2
故当 x 0时， f (x)≥ f ( ) (a 81) 0 ，解得 9 a 0. ……11分
3 27
若 a 0，由（2）可知，x 0是极小值点，则 f (0) 3a 0，故存在 x0 0，使得当 x (0, x0 )
时， f (x) 0，不合题意.
综上，a的取值范围是 ( 9,0]. ……13分
16.（15分）
【解析】（1）如图，设G为 PA的中点，连接DG， SG .
因为 AB∥CD ， AB 2CD ，又 S 为 PB 的中点，故
GS∥ AB 1∥CD，且GS AB CD，所以四边形CDGS是
2
数学参考答案 第 4页（共 8页）
平行四边形，故CS∥DG . ……5分
又DG 平面 PAD ，CS 平面 PAD ，
所以CS∥平面 PAD . ……7分
（2）如图，因为 PD 底面 ABCD ， AB BC，故可以设D为坐标原点，DC的方向为 y轴
正方向建立空间坐标系.设 AB BC PC 2，则CD 1，PD 3，A(2, 1,0)，C (0,1,0)，
S (1, 1 , 3 )，AS ( 3 1, , 3 )，DS (1, 1 , 3 )，CS (1, 1 , 3 ) . ……10分
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3
x y z 0
设平面CDS的法向量为 m (x, y, z) 2 2，则 .
x 1 y 3 z 0
2 2
不妨取 x 3 ，则 m ( 3,0, 2) . ……12分
记 m 与 AS 的夹角为 ，
| ( 1) 3 3 ( 2) |
故 | cos | |m AS | 21 2 ， ……14分
|m | | AS | 7
12 (3)2 ( 3)2 ( 3)2 ( 2)2
2 2
故直线 AS 21与平面CDS所成角的正弦值为 . ……15分
7
17.（15分）
【解析】（1）从 5张纸牌中取 4张，再从取出的每张纸牌所剪成的半张纸牌中取1张，则这 4
张半张纸牌不能拼完整牌面纸牌的概率为：
4
P C C
1 C1 C1 C1 8
1
5 2 2 2 2
4 . ……4分C10 21
（2）这 4张半张纸牌仅可以拼成1张剪之前的纸牌，即从 5张取1张，在剩下的 4张纸牌中
取 2张，再分别在这 2张纸牌所剪成的半张纸牌中各取1张，其概率为：
数学参考答案 第 5页（共 8页）
C1 2 1P 5 C4 C2 C
1
2 4
2 4 . ……6分C10 7
记事件 A为这 4张半张纸牌仅可以拼成1张完整牌面纸牌，事件 B为这 4张半张纸牌可以拼
2 1 1
成红桃 K，则 P(B | A) P(AB ) ，其中 P(AB ) C 4 C 2 C 2 4 4 ， P(A) P
4
，
P(A) C10 35
2 7
4
P(B | A) P(AB ) 1故 35
P(A) 4
. ……10分
5
7
（3）X 可能得取值为 0,1,2， ……11分
则 P(X 8 4 1 0) P1 ， P(X 1) P2 ， P(X 2) 1 P1 P2 .21 7 21
故 X 的分布列为：
X 0 1 2
8 4 1
P
21 7 21
……14分
E(X ) 0 8 4 1 2故 1 2 . ……15分
21 7 21 3
18.（17分）
【解析】（1）设 F(c,0)(c 0)，则 | AF | a c 4 . ……1分
设C的短半轴为b，则b 2 2 .
a c 4, a 3,
又 a2 b2 c2，由
a2 c2
得
8
. ……3分
c 1
x 2 y 2
所以C 的方程为 1 . ……4分
9 8
（2）（i）因为 A，P，Q共线，且 A，Q的横坐标分别为 3，9，故若 | PQ | 2 | PA |，则
2 2
P的横坐标为1，所以 PF x轴.不妨设 P 1 y 8 8在第一象限，由 1，得 y ，即 P(1, )，
9 8 3 3
8
Q(9, y ) 3 | PA | 1设 Q ，则由几何关系可知 ，故 y 8 ，直线 QF 的斜率yQ | PA | | PQ | 3
Q
k 8 0QF 1，设直线 x 9与 x轴的交点为 S，9 1
数学参考答案 第 6页（共 8页）
PFS 则 ，又 |QS | | FS | ，所以 QFS . ……7分
2 4

又因为 AR∥FQ， RF x轴，故 RAF QFS ，所以 | RF | | AF | 4，
4
S 1故 △AFR | AF | | RF | 8 . ……9分2
（ii）由（i）猜想QF平分 PFS .因为 A( 3,0)，故直线 AP的方程可设为 y k(x 3)，不妨
y k(x 3),

设 k 0，与C的方程联立有 x2 y2 ，整理有 (8 9k2)x2 54k2x 81k2 72 0 .……10分
1 9 8
2 2
设 P(x1, y1)，Q(x2 , y ) 3 x
54k 24 27k
2 ，则 1 8 9k2
， x1 8 9k2
，
P( 24 27k
2
, 48k故 Q(9,12k )
8 9k 2 8 9k 2
)， . ……11分
当 PF斜率不存在时，由（i）可知 QFS PFQ . ……12分
3k
2 2 12k y 12k
当 k 时，PF 2斜率存在，tan2 QFS ，且 tan PFS 1 ，
3 1 (3k )2 4 9k
2 x1 1 4 9k
2
2
故此时也有 2 QFS PFS ，即 QFS PFQ . ……14分
因为 AR∥FQ ，故 RAF QFS ，又 RFS RAF ARF 2 QFS 2 RAF ，故
ARF RAF， | RF | | AF | 4 .
设 F 关于直线 x 9 的对称点为 K ，则 K(17,0) ，取 G(13,0) ，则 | AG | | FK | ，易知
| RF | | AR | | AR |
△AFR∽△FQK ，故 ，又 RAF RFQ △FRQ∽△ARG|QF | | FK | | AG | ，故 ，故
ARG FRQ . 所以存在定点G(13,0)，使得 ARG FRQ . ……17分
19.（17分）
【解析】（1） c1 4 . c3 4 e . c8 . ……3分
2
（2）由 ai b 4
ai i i 1 2 2 2 2
i ，且 ，i 1,2, ,n，得 a 2 ，b 2 ，bi i 2 i 1
i i i 1 i i i 1
i 1,2, ,n，且 b1 b2 bn 2 an a2 a1 . ……5分
2n n n n n n
故 ci ci ai bi (ai bi ) 4 (1 1 )
i n 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1
数学参考答案 第 7页（共 8页）
1 1 1 1 1 4n
4 (1 ) . ……7分
2 2 3 n n 1 n 1
n 2n n
（3）根据（2）猜想： | ai bi | ci ci .
i 1 i n 1 i 1
因为 ai bi 4 ，i 1,2, ,n，不妨设满足 ai ≥ 2≥bi 的情况共有 k 个，满足 ai ≤ 2≤bi 的
情况共有 n k 个，k 0,1, ,n，不妨取 a1 ,a2 , ,ak ,bk 1 ,bk 2 , ,bn 不小于 2，它们恰为
cn 1 ,cn 2 , ,c2n 中的项，且 b1 ,b2 , ,bk , a k 1 , a k 2 , , a n 不大于 2，它们恰为 c1,c2 , ,cn
n k n 2n n
中的项，故 | ai bi | (ai bi ) (bi ai ) ci ci . ……10分
i 1 i 1 i k 1 i n 1 i 1
2n n n 2n 2n n 2n
又 3 ci 5 ci ≥ 4，且 ci ci ci 4n，得 c 3n 1 c 5n 1i ≤ ，且 i ≥ .
i n 1 i 1 i 1 i n 1 i 1 i 1 2 i n 1 2
n 2n n
| a b | c c 5n 1 3n 1故 i i i i ≥ n 1，只需证明存在 1 , 2 , , n {0 ,1}，
i 1 i n 1 i 1 2 2
n n
使得 ia i 和 (1 i )bi 都不大于 n 1. ……12分
i 1 i 1
对于以下过程，不妨设 a1 ≤ a2 ≤…≤ an ，若 a1 a2 an ≤ n 1，令 i 1 ，
n
i 1,2, ,n，则 (1 i )bi 0 n 1，满足要求. ……13分
i 1
若 a1 a2 an ≥ n 1，则可找到使得 a1 a2 am 1≤ n 1，且 a1 a2 am ≥
n 1成立的正整数m，此时令 i 0， i m,m 1, ,n，且令 j 1， j 1,2, ,m 1，
n n
则 ia i a1 a2 am 1 ，且 (1 i )bi bm bm 1 bn . ……14分
i 1 i 1
a a a n 1
由于 a1≤ a2≤…≤ an，故 b1 ≥ b2≥…≥ bn，且 am≥ 1 2 m ≥ ，……15分m m
所以 bm bm 1 bn≤ (n 1 m)bm (n 1 m)(4 am )
2
(n 1 m)(4 n 1) 5(n 1) [(n 1) (2m)
2 ]
≤
m m
5(n 1) 2(n 1) (2m)≤ n 1.命题得证. ……17分
m
数学参考答案 第 8页（共 8页）

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