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河南省商丘市柘城县第二高级中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知平面向量，，若，则k＝（ ）
A． B．6 C． D．－6
2．在中，在上且，设，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知平面向量满足，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
4．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C．3 D．7
6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则以下说法正确的是（ ）
A．函数的初相是
B．函数的最大值是2
C．函数在上单调递增
D．函数的图象是由函数向右平移个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍得到的
7．设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期是
B．图象的一个对称中心可以是
C．的一个单调递增区间可以是
D．图象的一条对称轴可以是
8．在中，若且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
二、多选题
9．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
10．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
11．一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则存在实数使得 B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量，，，则向量在上的投影向量为 ．
13．若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
14．若函数在上单调递增,则的最大值为
15．设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
16．已知向量，，其中，且.
（1）求和的值;
（2）若，且，求角.
17．如图，在中，，为的中点，与交于点设，.
（1）求
（2）试用表示；
（3）求.
18．已知函数，
（1）求函数的最小正周期和对称中心坐标；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值．
19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
（1）已知向量满足，求的值；
（2）①若，用坐标表示；
②在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，，，
所以，解得.
故选A.
2．【答案】B
【详解】如图，在中，在上且，所以.
则
.
又因为，所以.
故选B
3．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
，又，
所以.
故选C.
4．【答案】C
【详解】.
故选C.
5．【答案】B
【详解】因向量在向量上的投影向量是，则，
故，于是.
故选B.
6．【答案】C
【详解】由图象可知，故，所以，
因为为函数的一个对称中心，且在附近函数值由负变正，
所以，即Z)
所以Z)，又，所以取，
因为函数图象过点，所以，
解得，所以，
所以，
故函数的初相位为，最大值为，故A、B错误；
当时，，
由于函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故C正确；
的图象向右平移个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍
得到，显然不满足，故D错误.
故选C
7．【答案】C
【详解】，
对于A，最小正周期为，故A正确；
由于 ，故B、D表述正确，
对于C，，，而函数在上单调递减，
根据复合函数的单调性法则可知，的一个单调递减区间可以是，所以C错误，
故选C．
8．【答案】D
【详解】∵，∴，其中分别是与方向相同的单位向量.
如图，在边上分别取点，使，
作平行四边形，则，
由得平行四边形为菱形，则为的平分线，
由得，故，
延长交于点，则，故既是高线，又是角平分线，
∴为等腰三角形，且，
∵，∴，
由得，，
∴为等边三角形.
故选D.
9．【答案】BC
【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.
对于B, ,故B正确.
对于C，,故C正确.
对于D，,,
根据正六边形性质知道，且.
故.故D错误.
故选BC．
10．【答案】ACD
【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作为一组基底；
B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底；
C选项：，两向量共线，不能作为一组基底；
D选项：，两向量共线，不能作为一组基底.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，依题意，不共面，因此不存在实数使得，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
因此，D正确．
故选BCD
12．【答案】
【详解】因，则，
又因，，则，
则，
则向量在上的投影向量为.
13．【答案】
【详解】根据题意，向量与的夹角为锐角，则且、不共线，
即，解可得且，
则的取值范围为．
14．【答案】/
【详解】时，，
由题意得，
故解得.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是
16．【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）∵，∴，即.
代入，得，
又，则，.
则.
.
（2）∵，，∴.
又，∴.
∴=
=.
由，得.
17．【答案】（1）2
（2）
（3）
【详解】（1）由题意可得：，，
又因为，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，
由题意可设：，
由于，，三点共线，则，解得，
可得，
所以.
（3）由题意可得：，
且，
，
所以.
18．【答案】（1）最小正周期，对称中心为，；
（2），；
（3）最大值为，对应.
【详解】（1）由，
所以最小正周期，
令，则，，即对称中心为，.
（2）令，，则，，
所以函数的单调递增区间为，.
（3）由，则，故，
所以，函数最大值为，此时.
19．【答案】（1）
（2）①；②
（3）
【详解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）①设，则，
所以，
，
所以，
②，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9．

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