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河南省新未来2024 2025学年高一下学期4月质量检测数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
3．已知平面向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（ ）
A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米
7．如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．∥
B．
C．
D．与的夹角的余弦值为
10．已知为复数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知的三个内角的对边分别为，且.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．周长的最大值为
C．的最大值为
D．的取值范围为
三、填空题
12．复数的共轭复数 .
13．在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是 .
14．已知等边三角形的外接圆的周长为，点是 外接圆上的一动点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限.
（1）求的值；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
16．已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求.
17．已知，，.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中.
（1）当时，求向量和的夹角的余弦值；
（2）当时，求的取值范围.
19．在中，点是边上一点.
（1）若，求证：；
（2）若，求面积的最小值；
（3）若，且的面积为12，求的值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，故.
故选A.
2．【答案】D
【详解】对于A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故A错误；
对于B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故B错误；
对于C，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故C错误；
对于D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，
由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故D正确.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
故选:C.
4．【答案】C
【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到直观图画出原图，
因为，可得，所以，即，
则，所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】由向量，可得，，
则在上的投影向量为：.
故选B.
6．【答案】D
【详解】在中，，所以，
在中，由，可得，
在中，由正弦定理得：.
故选D.
7．【答案】A
【详解】记的中点为，由题可知，，
所以.
故选A.
8．【答案】C
【详解】由余弦定理，与联立，可得，
即，由正弦定理可得，，即，
故或（舍去），
因为，故，故，
所以，因为是锐角三角形，
所以，解得，则，
所以
.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】因为
对于选项A：因为，可知与不共线，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项C：由，可得，故C正确；
对于选项D：因为，
所以，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】AB
【详解】对于A：设，
则，
，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：设，
满足，但，故C错误；
对于D：设，满足，
但，故D错误.
故选AB.
11．【答案】AC
【详解】对于A，由正弦定理，得
，A正确；
对于B，由余弦定理，得，
，当且仅当时取等号，
则，因此周长最大值为，B错误；
对于C，，由选项B知，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确；
对于D，，
由，得，则，D错误.
故选AC
12．【答案】
【详解】因为，
所以.
13．【答案】
【详解】因为，可得边上的高为，
若满足条件的有且只有两个，则满足，
所以的取值范围是.
14．【答案】
【详解】设等边三角形的外接圆半径为，圆心为，
因为外接圆的周长为，可得，解得，且，
所以
，
设的中点为，则，且，
再设与的夹角为，
则.
又由，可得，所以的取值范围为.
15．【答案】（1）1
（2）
【详解】（1）解：由复数且，
可得，即，解得，
又由在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，故有.
（2）解：由复数对应的向量分别是，可得，
则且，
因为为与的夹角，可得，
又因为，所以.
16．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
则，即，又在中，由，故.
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，得.
又由，有，则，可得，
由余弦定理得，则，可得.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，，，所以，
即，即，
所以.
（2）因为与的夹角为锐角，所以，
即，即，解得，
若与同向，设，其中，
因为、不共线，所以，解得，
由题意可知，与方向不相同，则，
所以的取值范围为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：当时，可得，同理可得，
因为，所以，
则，
而，
所以，
即向量和的夹角的余弦值为.
（2）解：由，
可得
，
因为，可，即，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
因为且，所以，
所以.
（2）解：设，
因为，
所以，
即，即，
又因为，可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的面积，
即面积的最小值为.
（3）解：设，
则，
在中，由正弦定理，可得，
所以，
在中，，由，即，所以，
所以，所以，
所以，
因为且，解得，，
所以，
所以，
又因为且，所以，可得，
解得，所以，
在中，由余弦定理，可得，解得或，
由题意可得∽，则，而，
故，所以.

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