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河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024 2025学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（）
A．点A处
B．点B处
C．O、A之间
D．O、B之间
2．的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设集合，那么（ ）
A． B．
C． D．
4．若把某空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（取）（ ）
A．3300千米 B．3334千米 C．3540千米 D．3640千米
5．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的图象关于坐标原点对称，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．， B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增
8．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，且与共线，则
B．若，，且，则与不共线
C．若、、三点共线，则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
10．函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知向量 的夹角为 ， ， ， ，则（ ）
A． 在 方向上的投影向量的模为1 B． 在 方向上的投影向量的模为
C． 的最小值为 D． 取得最小值时，
三、填空题
12．已知，，则 ．
13．已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为 ．
14．函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ．
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求值：（ⅰ）；
（ⅱ）
（2）若，求的值．
17．已知，，且与的夹角为60°.
（1）求的值
（2）求的值；
（3）若向量与平行，求实数的值．
18．如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．

（1）用、表示；
（2）已知点是的重心，用、表示．
19．已知函数满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，
又，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间.
故选D
2．【答案】B
【详解】因为，易知的终边在第二象限，
故角的终边在第二象限.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由题意得
，
即M是由的奇数倍构成的集合，
又
，
即N是由的整数倍构成的集合，
则，
故选C．
4．【答案】C
【详解】空间站绕地球飞行的半径为（千米），
所以空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（千米）．
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为，
所以.
故选B.
6．【答案】A
【详解】因为函数为偶函数且函数为奇函数，
所以为奇函数，即，
可得，则，
整理得，所以且，解得.
故选A.
7．【答案】B
【详解】对于A，由题意，，则，
则，
又在上，则，即，
所以，则，
又，所以，所以，即，，故A正确；
对于B，因为，
所以不是图象的对称轴，故B错误；
对于C，因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递增，故D正确.
故选B.
8．【答案】B
【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，
则为的中点，为的中点，
故，，，，
过点作直线的垂线，垂足记为，
则向量在向量上的投影向量为，
所以，
如图过点作，，垂足分别为，
所以，，
观察图象可得，其中与同向，与反向，
所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，
当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，
所以的取值范围是.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，或 时，比例式无意义，故A错误；
对于B，若，， 与共线，则一定有，故B正确；
对于C，若、、三点共线，则，，在一条直线上，则，，都是共线向量，故C正确；
对于D，若向量，且，则，即，故D正确.
故选.
10．【答案】ABC
【详解】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则，
当1时，，，的部分图象可以如选项A所示.
对于选项B，当时，的部分图象可以如选项B所示.
对于选项C，由，得，即，
当时，的部分图象可以如选项C所示.
对于选项D，由，得，即，
则，此时，排除D.
故选ABC
11．【答案】AD
【详解】由题意 在 方向上的投影向量的模为 ，故A说法正确；
在 方向上的投影向量的模为 ，故B说法错误；
，
当 时， 取得最小值 ，
此时 ，
所以 ，故C说法错误，D说法正确，
故选AD
12．【答案】
【详解】因为，，
则
13．【答案】
【详解】设，，则，，
因，则，
，
得，，
因，且不共线，则，则，
联立与，得，
解得，得， 则，
因，则，
故的取值范围为.
14．【答案】0
【详解】由图可知，，则，
所以.
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为在单位圆上，且位于第一象限，
所以且，解得，所以，
所以，；
（2）因为的面积是的面积的倍，
所以，
又，所以，即，又，
解得或（舍去）；
所以.
16．【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），（2）
【详解】（1）由于角的终边经过，
（ⅰ）故，
（ⅱ），
，
（2）
，
故，
17．【答案】（1）60
（2）
（3）
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
（3）因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
18．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以，
（2）由已知，
连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，
由已知，与的交点为重心，
由重心性质可得，故
所以，
又，
所以.

19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，则，
所以函数的最小正周期为，则，则
将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
所得的函数为偶函数，则为偶函数，
所以，，可得，
因为，可得，所以；
（2）由（1）知，
由题意可知最大值应小于等于的最大值．
，，所以
所以，对于任意的恒成立
，所以，令，
则，
可得，由于，则，
令，则，设，
则
，
由于，故，
则在上单调递增，故的最大值为，
则的最小值为，
故．
（3）由题意知，即
故或，
解得或，
故的零点为或，
所以相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则和都是零点，此时在区间
分别恰有3，5，7，个零点，
所以在区间上恰有19个零点，
从而在区间上至少有一个零点，所以，所以.

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