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黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024 2025学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题
1．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．0
3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟
7．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．在中，内角，，的对边分别为，，，是的充要条件
D．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则是等腰三角形
10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为锐角三角形，且，则该三角形面积的范围为
C．设，且，则的最小值为
D．若的面积为2，，，边上的高分别为，，，且，则的最大值为
三、填空题
12．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ．
13．已知的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则的最小角的余弦值为 .
14．在中，，，，，则面积的最大值为 ，此时的最小值为 ．
四、解答题
15．已知函数，向量，．
（1）求函数的周期及其单调递增区间；
（2）当，求函数的值域．
16．已知向量 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）求向量 与 的夹角的余弦值．
17．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，为线段中点，且．
（1）求；
（2）求值．
18．为响应习总书记关于“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，哈三中学生发展中心开展“播种校园绿色，守护绿色校园”种植活动．已知教学楼下有一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为学生的休息区域，阴影区域为“绿植”区域，点在弧上，点和点分别在线段和线段上，且，，设．
（1）当时，求的值；
（2）请用表示线段的长度，并写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式；
（3）拟在阴影区域种植一些花草，费用为6元，求总费用关于的函数关系式，并求其最小值．
19．定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角，，的对边分别为，，，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）在锐角中，求的范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选B
2．【答案】C
【详解】因为向量，，
所以，得.
故选C
3．【答案】A
【详解】由正弦定理，得.
故选A.
4．【答案】B
【详解】由，得，而，
所以.
故选B
5．【答案】C
【详解】因为，，则，
即得到，
所以在上的投影向量是，
故选C.
6．【答案】C
【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误.
设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得.
已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误.
由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得.
将，代入，可得，C选项正确.
河宽米千米，合速度，可得.
将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误.
故选C.
7．【答案】B
【详解】已知，由正弦定理可得，，．
将其代入已知条件可得:．
因为，那么．
则，移项可得．
因为，所以，两边同时除以可得．
又因为，所以．
已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得．
，．且．
则的周长．
根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：
因为，所以．
当，即时，取得最大值．
此时周长的最大值为．
故选B．
8．【答案】A
【详解】已知，即．
根据向量加法的三角形法则可得，将代入可得：
设为中点，因为点为的外心，则，即．
又因为．
由于，且，则．
已知，所以．
同理，设为中点，则．
因为，且，所以．
已知，所以．
将代入可得：
故选A．
9．【答案】ABD
【详解】当时，对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行．所以选项错误．
由可得，根据向量数量积的分配律，即．
当时，只能说明与垂直或者，选项错误．
在中，根据正弦定理（为外接圆半径），可得，．
若，则（大角对大边），即，所以；反之，若，则，即，所以．
因此，是的充要条件，选项正确．
已知，由正弦定理，可得，，则，即．
因为，所以，那么或．
当时，，是等腰三角形；
当时，，是直角三角形．
所以仅由不能得出一定是等腰三角形，选项错误．
故选ABD．
10．【答案】AD
【详解】在中，是角的平分线，则．
已知，，即，，所以，那么．
因为，所以选项A正确．
根据三角形面积公式．
已知，，，则，所以选项B错误．
因为．
由，，，可得．
即，，解得，所以选项C错误．
在中，根据余弦定理．
由前面计算可知，，，则，所以．
在中，再根据余弦定理求，，，，所以，．
则，所以选项D正确．
故选AD．
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由题意得，
由正弦定理可得，
而，
故，因为且位于分母位置，
所以，得到，
即，又，所以，故A正确，
对于B，因为为锐角三角形，所以，，
而，解得，
由三角形面积公式得，
由正弦定理得，解得，
，
则，因为，所以，
则，故，即，故B正确，
对于C，因为，即，
得到，故，
两边平方并化简得，
则，得到，
故，，
得到，则，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值不为，故C错误，
对于D，结合三角形面积公式得，，，
则，
又因为，所以，
结合余弦定理得，
当且仅当时等号成立，则，
得到，故D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为．
已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）．
半径为的圆的面积，半径为的圆的面积．
所以圆环的面积．
13．【答案】/
【详解】因为，故可设，
因为，故最小，从而.
14．【答案】12
【详解】设点为线段的三等分点，因为，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为12.
由于，，，则点为线段的三等分点，
则，设，由得，
，即，
则，，得，
整理得到，，则.
则，
即，，则，则.
当时，取得最小值，最小值为.
15．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为.
（2）
【详解】（1）
，
则其最小正周期为，
令，
解得，
则其单调递增区间.
（2）因为，则，
则其值域为，即.
16．【答案】（1） ；
（2） .
【详解】（1）由题意， ， ，
因为 ，所以 ，解得 .
则 ，
所以 .
（2）由（1）可知， ，故 .
所以 .
故向量 与 的夹角的余弦值为 .
17．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，则，
则，
因为，所以.
因为，则，
即，
即，代入，化简得，解得或（舍去），则.

（2）因为，即，解得.
根据正弦定理得，即，解得.
18．【答案】（1）
（2）；.
（3）；
【详解】（1）根据题意，在中，，又，
故由正弦定理可得：，
解得，
故.
（2）在中，，
由正弦定理得，即，即，
则停车场面积，
即，其中，
.
则.
（3）设阴影部分面积为， 扇形空地面积为，则.并且.
则.
则，则.
因为，所以，
则当，即时，取得最小值，则总费用取得最小值.
求得.
19．【答案】（1）;
（2）（i）;
(ii) .
【详解】（1）由已知得：，
根据题意可知：；
（2）(i)根据题意由可知：，
利用辅助角公式得：，
其中，
当时，取到最大值，
所以，则
同理
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：
可得：，
再由余弦定理得：，
因为，
所以有，
则；
当且仅当时取等号.
(ii)利用正弦定理角化边可得：，
因为再利用和差化积和积化和差可得：
，
代入则，
当时，取最大值1，
利用已知函数在上单调递减，可知是单调递减函数所以可得：，
当时，可得：，
此时可得，
由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得：
.

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