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黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2024 2025学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A． B． C． D．2
5．已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．某中学为了测量松花江北岸两地的距离，由江南岸两个距离的和两地，测得，，，，如图所示，则两地的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ）
①， ②，
③， ④，
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．在中，，，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形
10．如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为 ，是圆锥的一个轴截面，则（ ）
A．圆锥的母线长为4
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由点出发绕圆锥侧面一周，又回到点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
11．设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点
B．若，（且），则直线AD经过的垂心
C．若，且x，，，则是面积的一半
D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心
三、填空题
12．已知复数，其中i为虚数单位，则 .
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 .
14．已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
16．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为．
（1）若，求水的体积；
（2）若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01）
17．已知向量，，且与垂直．
（1）求的值；
（2）求与的夹角．
18．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
19．如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N．

（1）设，试用表示；
（2）求的值；
（3）设，求的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得在复平面内对应的点为，
则其位于第二象限.
故选B.
2．【答案】D
【详解】由，且，则，
所以.
故选D
3．【答案】C
【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故选C
4．【答案】B
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以设，
即.
故选B
5．【答案】D
【详解】因为，，其中，的夹角为，
所以在上的投影向量为，
故选D
6．【答案】B
【详解】在中，，
利用正弦定理，即可求出；
因为，则，又，所以为等边三角形，
因此，
在中，利用余弦定理
，
所以，即所求两点间的距离为．
故选B
7．【答案】A
【详解】，
因为，所以，即，
由三点共线，所以，
即，故①正确；
又为的中点，所以，即，
由三点共线，所以，即，故③正确；
故选
8．【答案】D
【详解】，以为邻边作平行四边形，如下图：

所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中，
，
设，
所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D.
9．【答案】AD
【详解】对于A,由于，则，故A正确，
对于B，,故B错误，
对于C，由可得故，因此为锐角，但无法确定的大小，故C错误，
对于D , 由可得故，因此为钝角，故是钝角三角形，D正确，
故选AD
10．【答案】ACD
【详解】圆锥的侧面展开图如图所示.
对于，设圆锥的母线长为，底面半径为，则由题意，得 ，所以，故正确；
对于，圆锥的侧面展开图的圆心角（提示:①圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②弧长公式（ 为扇形的圆心角，为扇形所在圆的半径）的应用），故错误；
对于，如图，由点出发绕圆锥侧面一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长，由得，故正确；
对于，当球与圆锥内切时，球的半径最大，此时球心在轴上，且内切球的轴截面大圆内切于圆锥的轴截面，设内切球的半径为，圆锥的高，由等面积法得，解得，故正确.故选.
【一题多解】
A,B,C选项同深度解析.
对于D,圆锥内部的最大球即为与圆锥相切的球,设其半径为，球心为,在轴截面中，记内切球的轴截面大圆与的切点为,,由，得，即，解得，故D正确.故选.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，由可得，，
即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确；
对于B，因，则
，即，故直线AD经过的垂心，即B正确；
对于C，因， ，则，
设，则，因，故三点共线，
如图1所示，，故的边上的高是的边上的高的一半，
故是面积的一半，即C正确；
对于D，由可得，，
如图2，取，则有，以为两邻边作，
易知是菱形，故平分，且故得，，
故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】1
【详解】，则.
13．【答案】
【详解】在中，由，，得，则，
则的外接圆半径，所以的外接圆面积为.
14．【答案】2
【详解】不妨固定向量，，的起点为同一点，因为，由向量投影的性质，在方向上的投影向量的长度为1．
由，可知，故在向量方向上的投影向量的长度为1．
又因为，所以，，可以围成如图所示的直角三角形，
由图知，当与的夹角为时，平行于，此时取得最小值2．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
，
．
（2），
，
，
．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为，
如图，由相似性可知，则，
；
故水的体积为.
（2）由相似性可得，则，
，
化简得，解得.
故约为.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为向量，，则，
因为与垂直，则，解得.
（2）由（1）得，所以，，，
所以，，
因为，故.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）根据题意得，，
由正弦定理得，，
即，
即，
因为，则，则，
则，则．
（2）由正弦定理得，，所以．
所以，
因为是锐角，则，即，解得．
则，故．
所以，则的取值范围为．
19．【答案】（1）
（2）
（3）4
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
故
（3）由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
由于
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.

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