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黑龙江省实验中学2024 2025学年高一下学期第一次阶段测试数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（ ）
A．2 B．2i C． D．i
2．设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
3．在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（ ）（单位：米）
A． B． C． D．
6．在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，，E为AC的中点，则
B．已知，若与的夹角是钝角，则
C．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则
D．在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A．外接圆的半径为
B．若的平分线与交于，则的长为
C．若为的中点，则的长为
D．若为的外心，则
三、填空题
12．i是虚数单位，化简的结果为 .
13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 . .
14．中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
四、解答题
15．已知，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值；
（3）求的最小值．
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积为，，求的周长和外接圆的面积．
17．如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
（1）用，表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值．
18．如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
（1）求及线段的长；
（2）求的面积．
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角A；
（2）若，求角C；
（3）若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】复数对应的点是，故，虚部为-1.
故选C
2．【答案】D
【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量，
且有， ，，
所以，
因为三点共线，
所以，
所以存在实数，使得，
所以，
所以.
故选D
3．【答案】A
【详解】如图，
因为在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，
所以，
则.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由，得，
因为，，所以.
由余弦定理得，解得，
所以.
故选C.
5．【答案】D
【详解】由题意，在中，，
由正弦定理可知.
在中，，
于是.
故选D
6．【答案】C
【详解】因为，
根据正弦定理得，，
因为为锐角，所以，
所以，即，而A为锐角，
所以，
因为根据正弦定理，
所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，即，
所以，
即，，
所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】取的中点，连接，则，
因为，所以，
又，故三点共线，
因为是边长为1的正三角形，所以⊥且，
又为的中点，所以当为中点时，，
故此时⊥，取得最小值，
由三角形中位线可知，此时，故的最小值为.

故选C
8．【答案】A
【详解】因为，所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，又，所以，
由知，，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以线段长度的最小值为.
故选A
9．【答案】CD
【详解】对于AC，因为，
所以，
则，
故，显然不成立，故C正确，A错误；
对于B，易知，
则，故B错误；
对于D，易知，
则，又，
所以，故D正确；
故选CD.
10．【答案】ACD
【详解】
对于A，因为中，为的中点，
所以，
$，所以A正确；
对于B，因为与的夹角是钝角，
所以，且两向量不共线，
由得，
得，当与共线时，
得，所以当与的夹角是针角时且，所以B错误，
对于C，

如图，以为原点建立直角坐标，
则由题意可得，
所以，
所以，所以C正确，
对于D，因为与是非零向量，
所以所在的直线平分，
因为，
所以，
所以是等腰三角形，所以D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】根据题意由，利用正弦定理可得，
设，
利用余弦定理可得，
又面积为，所以，
又，所以，
对于选项A，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，故A正确；
对于B，分别作垂直于，垂足为，如下图所示：
易知的面积为，可得，故B正确；
对于C，若为的中点，易知，如下图所示：
所以可得，可得，故C错误；
对于D，延长交外接圆于点，连接，如下图所示：
易知即为直径，所以可知，利用投影向量的几何意义可得，
，故D正确.
故选ABD
12．【答案】/
【详解】.
13．【答案】1
【详解】由题可知，，也即，故；
.
14．【答案】11
【详解】，即，
由积化和差公式可得：，，
故，也即，
，则，也即，
又因为，故可得；
又，则，即，则；
故，解得；
故的周长为.
15．【答案】（1）
（2）
（3）.
【详解】（1）设向量 与 的夹角为 ，
，
，
.
（2） ，
，
，
，.
（3），
当时， 取最小值为.
16．【答案】（1）
（2）周长为14，外接圆面积为.
【详解】（1）在中，由及正弦定理
得，
即，
而，则，又，
所以；
（2）由（1）知，，
由的面积为，得，所以，
由余弦定理得，
解得，
所以的周长为14.
由正弦定理得的外接圆，
所以外接圆面积为.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
由向量的加法法则得，
故，即成立.
（2）由于，可得，又有，
所以；
，故.
（3）由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由上问得，故.
18．【答案】（1），BC＝6
（2）
【详解】（1）由题意在中，，∴，
∴，而，，∴，
由余弦定理得（舍去），即.
（2）在中，，，，
∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，
∴，则,,
∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由，可得，
由正弦定理和余弦定理，，
又由余弦定理，，
因为，所以．
（2），由正弦定理，
则
即，整理得
因，函数在上为增函数，
且，故；
（3）依题意，，由（1）已得．
则．
因为锐角三角形，所以，整理得．
因为，
因函数在上为增函数，则，．
令，因函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，
故的取值范围为.

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