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黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024—2025学年度高一下学期4月份考试数学试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知向量，，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
3．在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
7．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四个结论正确的有（ ）
A．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台；
B．斜棱柱的侧面可能有矩形；
C．正棱锥的底面是正多边形；
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
10．已知，都是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
11．在锐角中，且，则下列正确的结论有（ ）
A．
B．边的取值范围为
C．
D．的取值范围为
三、填空题
12．如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是 .
13．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
14．“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为 米

四、解答题
15．已知，是夹角为的两个单位向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16．已知是关于的方程的一个根.
（1）求的值；
（2）若是纯虚数，求实数的值和.
17．在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）为边上一点，且，若，求的最大值.
18．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以.
故选A
2．【答案】A
【详解】由，，，得，，
又，所以，解得.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由余弦定理可知，
即，
整理得，解得或（舍去）.
故选D.
4．【答案】C
【详解】由题意知，
，
所以，
.
故选.
5．【答案】A
【详解】由模长公式，
由夹角公式.
故选A
6．【答案】B
【详解】在中，由已知得，所以，
根据余弦定理，得
所以，即，
因此是直角三角形.
故选B.
7．【答案】A
【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，因为D为BC的中点，所以，
，设，所以，
所以，可得，，
所以，
因为，所以.
故选A.

8．【答案】A
【详解】解：设，则，且，
所以，即，
因为，
所以，
由等和线性质得，解得.
故选:A.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故A错误；
对于B，斜棱柱的侧面是平行四边形，也有可能是矩形，
如图三棱柱，满足，则侧面为矩形，故B正确；

对于C，根据正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，故C正确；
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确．
故选BCD.
10．【答案】CD
【详解】对于A，取，满足，而且，A错误；
对于B，取，，B错误；
对于C，设，
，C正确；
对于D，设，，
，D正确.
故选CD. .
11．【答案】ACD
【详解】由题意，所以
，
所以，所以，
易知，所以，所以A正确，
对于B，设内角的对边分别为，由正弦定理可知，
，即，
又在锐角中，，，，
，所以的取值范围为，故B错误，
对于C，由B知，故，所以C正确，
对于D，因为为锐角三角形，所以，即，
所以
，
由知，所以，即的取值范围为；所以D正确，
故选ACD.
12．【答案】
【详解】在正方形中可得，
由斜二测画法可知，
且，
所以四边形为平行四边形，
所以原四边形的面积是.
13．【答案】
【详解】已知，则.
因为，根据向量垂直的性质可知，即.
将代入上式可得，即，解得.
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.
将，，代入可得：
.
14．【答案】30
【详解】
设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得：
再由，结合两个三角形的余弦定理可得：
因为，
所以
即，
解得：.
15．【答案】（1）或；
（2）
【详解】（1）因为，
所以，又，是夹角为的两个单位向量.
所以，化简得
所以，
所以或；
（2）因为两向量与的夹角为钝角，
所以，且向量与不共线，
由，可得，
所以，
当向量与平行时，，
实数的取值范围是.
16．【答案】（1）；
（2），.
【详解】（1）由是方程的一个根，得，
整理得，因此，
所以.
（2）由（1）知，，
由是纯虚数，得，解得，则，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理及，
得，
，
所以，即，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
二者联立，消去，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，即，
所以，即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以.
（2）由（1）可知，，
由，则，
，
可得，解得.
设，.
由图可得，
，
，
由，则.
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在中，1，即，
则，由正弦定理得，
所以直角三角形，即.
（2）由（1）知，则的三个角都小于，
由费马点定义知：，
设，，，由得：
，整理得，
所以.
（3）由点为的费马点，得，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
由，得，
整理得，而，，则，
当且仅当，即时取等号，
又，即有，而，解得，
所以实数的最小值为.

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