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南安一中2024～2025学年度下学期高一年第二次阶段考
数学科试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ）
A． B． C．或 D．1或
3．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
4．已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若是异面直线，，，，，则
5．已知向量 ，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．四边形中，，，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现
位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于
B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其
航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ）
A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，，则
B．若，则
C．若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
D．若是关于的方程的根，则
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则有两个解
B．若，则是锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若为锐角三角形，则
11．如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，是正方体表面上的动点，则（ ）
A．四点共面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．若，则四面体的体积为定值
D．若平面，则点的轨迹长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．
12．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原平面图形的周长是_________________．
13．设，，则_________________．
14．在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点
所对应的复数为_________________________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知与的夹角为，且，．
（1）求及；
（2）若与的夹角为，求的值．
16．（15分）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面．
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积；
（3）现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度．
17．（15分）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，，角B的角平分线交AC于点D
（1）求角B；
（2）若的面积为，求．
18．（17分）在中，为的中点，．
（1）求角；
（2）设．
①若，求面积的最大值；
②若外接圆半径为，且，求的周长．
19．（17分） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足．某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据．
观测站A 观测站B 观测站C
观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348
太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652
太阳直射点的纬度平均值/度
（1）请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001）
（2）定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：）
（3）利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61．5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1）
（4）已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差．
南安一中2024～2025学年度下学期高一年第二次阶段考数学科 参考答案
1~8．CDAD ACAB 9．BD 10．ABD 11．ABC 12． 13． 14．
1．C 【详解】因为，故选：C．
2．D 【详解】三点共线，故与共线，则，解得或．故选D
3．A【详解】在中，，，，由余弦定理：，
，即，，故．故选：A．
4．D【详解】对于A选项，若，，则或，A错；
对于B选项，若，，，，则或 相交，B错；
对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误；
对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥；又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确．故选：D．
5．A【详解】由，故在上的投影向量为，选A
6．C 【详解】由，则，
则，故A错误；由，所以，则，故C正确；，故D错误．
由C有，又，相加得，故B错误；故选：C．
7．A【详解】由题意，在中，，，，
所以，由正弦定理可得，，则；
又在中，，，由余弦定理可得，，
所以，因此救援船到达点需要的时间为小时．故选：A．
8．B 【详解】方法一，因为，
则，
将图象向右平移个单位长度，则．
若，都有，则，恒成立，
即，恒成立，故，，
解得，．综合选项可知B正确．故选：B．
方法二，同方法一，得到 ，由，则
，因为，恒成立，所以，则，，
又，所以的最小值为．故选B．
方法三，由题意知，，
根据正弦型函数的图象与性质可知，将正弦型、余弦型函数的图象向左（或向右）平移半个周期之后与原图象关于轴对称，所以符合题意的的最小值就是函数的半个周期，
由的周期为，所以．故选：B．
9．BD【详解】对于A，因为为纯虚数，，所以，
解得，故A错误；对于B，因为，所以，解得，故B正确；对于C：设，则，又，所以，则，故在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，故C错误；对于D，因为是关于的方程的根，所以，所以，整理得
，所以，解得，故D正确．故选：BD．
10．ABD 【详解】对A：由，，知有两解，故A正确；
对B：由余弦定理：，只能确定为锐角，不一定为锐角三角形，故B错误；对C：因为，由正弦定理得：，
所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故C错误．
对D：因为三角形为锐角三角形，所以，即，故D正确；故选：ABD
11．ABC 【详解】对于A中，连接，因为分别是的中点，所以，
又因为，故，所以四点共面，所以A正确；
对于B中，因为，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，设，因为正方体的棱长为，
可得，，，
在中，可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确；
对于C，如图，设的中点分别为，平面即平面，若，则点在直线上，易知平面，故点到平面的距离为定值，故为定值，C正确，对于D，若平面，则点在过点且平行于平面的平面上，设的中点分别为，易得平面平面，点在正方体表面上，故的轨迹即三角形（点除外），周长为，D错，故选ABC．
12．【详解】直观图正方形的边长为，，
原图形为平行四边形，如图：其中，高，
，原图形的周长．
13．【详解】由，知，，所以，所以．答案为：．
14．因为菱形在复平面的上半平面，且，，故菱形位置只能如图，且，，记点对应的复数分别为，由复数三角形式乘法的几何意义，，故点所对应的复数是．
15．【详解】（1）与的夹角为，且，，则；……3分
；……7分
（2）法一：因为与的夹角为，所以，……9分
即，解得．……13分
法二：如图，设，则，……9分
因为与的夹角为，即与的夹角，
又，故或（舍），即等腰直角，……11分
，则，而，故，即．……13分
16．【详解】（1）正三棱柱的底面积为，
所以正三棱柱的体积为，……2分
设正三角形的内切圆半径为，所以，所以，
所以圆锥的体积为，……4分
所以该几何体的体积为．……5分
（2）因为正三棱柱的表面积为，……7分
圆锥的母线长为，……8分
所以圆锥的侧面积为，……10分
圆锥的底面圆面积为，所以该几何体的表面积为．……11分
（3）圆锥的侧面展开图是扇形，其半径即圆锥的母线长为，
扇形的弧长即圆锥的底面周长为，
故扇形的圆心角为，所以塑料纸展开图如图： ……15分
注：标注弧长，半径，圆心角每个各1分，图形准确性1分．
17．【详解】（1）因为，由余弦定理有，……3分
因为，所以，从而，又因为，即，……5分
，所以；……6分
（2）由（1）可得，，，故，所以，……7分
而，……8分
由正弦定理有，从而，……10分
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以．……12分
由角平分线得，又，故，……14分
所以．……15分
18．【详解】（1）因为，所以，
即，所以，……2分
所以或，，即或，，……4分
又，所以或或；……6分
（2）因为，所以，……7分
①由余弦定理得，，……8分
，
，当且仅当时等号成立，……10分
，所以面积最大值为；……11分
②由正弦定理得，解得，即，……12分
为边上的中点，，
由余弦定理得，即①，……13分
方法一：在中，，在中，，
，，……15分
即，整理得：②，
由①②得：，，解得：，
的周长为．……17分
方法二：由向量加法得，
，即②，……15分
由①②得，，解得，
的周长为．……17分
19．【详解】解：（1）由，
观测站A 观测站B 观测站C
观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 (
……3分
)0.0000
观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 (
注：11.5700写成11.57扣1分
)78.4348
太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652
太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667
（2）在中，，且过点，，……4分
，又，即，……6分
所以，可得，
一个周期即一个回归年，故一个回归年对应的天数约为365.2434，……8分
（3）由（2）知的周期，故为图象的对称轴，……9分
A观测站正午太阳高度角为61.5649度时，即，
可知与的一个交点为，
与的交点离点最近的点与点关于直线对称，……11分
故，即，……12分
而，即两次出现间隔天数至少为123天． ……13分
（4）由于一个回归年的实际天数为365.2422，不为整数，若每年设为365天，则每百年会少24天，若每年设为366天，则每百年会多76天，设置闰年可以让年平均天数尽可能接近回归年的天数，减少年平均天数的误差．……15分
现行格里高利历下的年平均天数为，
与一个回归年实际天数的误差为天． ……17分

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