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福建省漳州市漳浦道周中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知扇形AOB的圆心角为，面积为，则扇形AOB的弧长是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．1
4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．或 B．或3 C．或3 D．3
5．已知，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量在上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
8．如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．如图所示，在坡地一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若 m，山坡对于地平面的坡度为，则下列说法正确的是( )
A．
B．
C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为米
D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米
11．如图所示，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于两点.若点的横坐标为，点的纵坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若函数为偶函数，则实数 .
13．若复数是纯虚数，则实数 ．
14．在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则 ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知向量．
（1）求；
（2）若与平行，求实数的值
16．在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求的面积．
17．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求角；
（2）若为的中点，的面积，且，求的长度．
18．已知向量，函数.
（1）求的最小正周期T；
（2）求函数在的单调增区间；
（3）求函数在的值域．
19．在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；
（3）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为扇形AOB的圆心角为，面积S为，
设扇形的弧长为 l，半径为 r，
则，解得，
所以扇形AOB的弧长.
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为，
所以
.
故选A
4．【答案】A
【详解】由题意及正弦定理，得，解得.
又，故，于是或，均符合题意.
当时，，由正弦定理，得，解得；
当时，，此时是等腰三角形，.
故选A.
5．【答案】A
【详解】因为，，若，则，
即，解得或，
因为是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】A.
【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则，
由，得，于是，又因为，
所以.
故选A.
7．【答案】C
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选C
8．【答案】A
【详解】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则．
据此有：，，则：.
据此可知，当时，取得最小值；
当或时，取得最大值；
的取值范围是.
本题选择A选项.
9．【答案】ACD
【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合；
对于B，，故共线，所以B不符合；
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】，∠BAC=15°，，
在中，由正弦定理得
在中，由正弦定理得，
，即，故A正确，B错误；
在△ABC中，∠ABC=135°，由正弦定理得：
，故C正确，D错误．
故选AC．
11．【答案】ACD
【详解】依题意，为锐角，即，为钝角，即，
，
所以，
，
所以，A选项正确.
，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项正确.
故选ACD
12．【答案】2
【详解】由题意可知
即，
展开可得，
即对于都成立，
所以，即.
13．【答案】2
【详解】 由题意得解得．
14．【答案】
【详解】如图：
因为，所以，，所以.
因为在线段上，可设，.
所以，
.
所以
因为，，
所以，.
所以当时，取得最小值，为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由向量，可得，
所以.
（2）由向量，
可得且，
因为与平行，可得，
所以，解得.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因，则，
由余弦定理得，，
因，则.
（2）由得，，
因，则，即，
故.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
， .
，．
（2）∵的面积，，.
，， .
，.
为的中点，，
在中，，
．
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）依题意，函数
，
故最小正周期.
（2）因为，则，
结合正弦函数图象，令，得，
所以的单调增区间为.
（3）由（2）知，，
结合正弦函数图象得，，
则，
所以在的值域为.
19．【答案】（1）
（2）2
（3）
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
而，
则，
由，因此，则，
由，得，解得，
又，所以.
（2）
由得，，而，则，
又，
因为内角的角平分线交边于，所以，
∴，
∴.
（3）
在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以.

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