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广东省广雅中学2024 2025学年高一下学期3月阶段性测试数学试题
一、单选题
1．已知，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．给定两个向量，若，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ）
A．60 B． C．30 D．
8．向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的充分必要条件是与反向共线
D．两个非零向量和，若，则与垂直
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若A >B， 则
B．，则
C．若，则定为直角三角形
D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是
11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．在上单调递增
C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
三、填空题
12．已知，且，则 ．
13．在中，，，，则
14．已知中，
① ；
②为边的中点，若，则 .
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别是，
（1）已知，求角和．
（2）已知，解三角形．
16．已知向量，若函数．
（1）求的解析式；
（2）求的对称中心和单调递减区间；
（3）若在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
17．已知函数（其中）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移，再向上平移，得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
（3）若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围．
18．在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围．
（3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围．
19．已知函数的定义域为，非空集合．若对任意，任意且，都有恒成立，就称函数具有性质．
（1）当时，判断下列函数是否具备性质．
①
②
（2）当，函数，若具有性质，求的取值范围．
（3）当，若且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】设点，则向量，
所以，即，对应的点B坐标为．
故选C
2．【答案】D
【详解】A：，显然共线，无法作为基底；
B：，显然共线，无法作为基底；
C：中含有零向量，显然共线，无法作为基底；
D：令，则，显然无解，说明向量组不共线，可作为基底．
故选D
3．【答案】C
【详解】由题设
故选C
4．【答案】B
【详解】单位向量满足，则，
所以所求的投影向量为．
故选B
5．【答案】B
【详解】因为向量，且与的夹角为钝角，
所以，可得，
注意，需排除反向共线的情况，此时，即，
综上，．
故选B
6．【答案】A
【详解】由，，所以，
由题意，则，
由.
故选A
7．【答案】A
【详解】由已知得，得到，，所以.
故选A
8．【答案】D
【详解】已知向量，是互相垂直的单位向量，
设，，，
由，则，
由，，
其几何意义是圆上的点到点的距离，
圆心到的距离为，圆的半径为2，
所以的取值范围是．
故选D
9．【答案】BCD
【详解】对于A，零向量方向是任意的，A错误；
对于B，零向量的长度为0，B正确；
对于C，与是单位向量，当且仅当与反向共线时，，C正确；
对于D，对两边平方，得，
即，因此与垂直，D正确．
故选BCD
10．【答案】ACD
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，由余弦定理得，即，
而，解得，B错误；
对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确；
对于D，有两解，则，而，因此，D正确.
故选ACD
11．【答案】ABC
【详解】A，因为，，所以，
当时，，则，
所以，对；
B，由，则，故，
其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对；
C，因为，函数的零点从小到大依次记为，
若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标，
在上，则，则，
在上，如下图示，
根据与的交点情况，可得，对；
D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错．
故选ABC
12．【答案】2024
【详解】设，则，
，
所以是奇函数，，则，
所以，．
13．【答案】
【详解】在中，，，，

根据向量减法法则，又，则，
由，
所以①，
，，，
代入①可得，则．
14．【答案】/0.25
【详解】，
即
由正弦定理角化边可得
由余弦定理可得；
设
由余弦定理结合①得
在中，在中，
所以，即，
，
等式两边同时除以可得，
解得或（舍去），
所以.

15．【答案】（1），
（2），，．
【详解】（1）由余弦定理，，
因为，所以．
由正弦定理，，可得．
（2）已知，，则．
由正弦定理，可得．
又
，
再由正弦定理，可得．
综上，，，．
16．【答案】（1）；
（2）对称中心为，，递减区间为，；
（3）．
【详解】（1）由

；
（2）令，，得，，
所以的对称中心为，．
由，，得，，
所以的单调递减区间为，．
（3）已知在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个解．
当时，．
令，，．
时，；
时，；
时，．
要使与在上有两个交点，则．
17．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）由图象知，且，则，可得，
又，即且，则，得，
故函数的解析式为．
（2）由题意，
对任意的，都有成立，即，
，则，显然，
，显然，
所以.
（3）由，即，，
则或，得或，．
由，时，；时，；
；时，．
所以，即．
18．【答案】（1）；
（2）
（3）.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
，而，则，又，
所以.
（2）由（1）知，，而，由余弦定理，
得，当且仅当时取等号，
因此，解得，而，则，
故的周长的取值范围是.
（3）由（2）得，设的内切圆半径为，
由，得，
由（1）及正弦定理，得，，
则，
由为锐角三角形，得，解得，，
则，因此，，
所以内切圆半径的取值范围为.
19．【答案】（1）函数具有性质；函数不具有性质
（2）
（3）为奇数
【详解】（1）①因在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，故函数具有性质；
②假设函数具有性质，则对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，而当时，，与假设矛盾，故函数不具有性质；
（2）为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，
①若，因 ，则恒成立，满足题意；
②若，对于任意，有，则，
若，则，矛盾；
若，欲使函数具有性质，只需即可，
得，则，即，
综上，的取值范围为.
（3）因为且具有性质的函数均为常值函数，
所以当时，恒成立，则的周期为，
设，，
因为常函数，故，，
当时，，则
当时，，则
综上，为奇数.

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