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广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024 2025学年高一下学期第一次段考数学试题
一、单选题
1．下列各量中是向量的为（ ）
A．时间 B．体积 C．重力 D．密度
2．已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．化简得（ ）
A． B． C． D．
4．复数在复平面的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知向量 若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
6．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．4 D．9
7．在中，，则的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
8．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，已知，，，则角的度数为（ ）
A． B． C．30° D．
10．已知复数，以下说法正确的是（ ）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
11．正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是 D．的最大值为
三、填空题
12．已知向量 ，则 .
13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ．
14．已知为复数，且，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知i为虚数单位，计算以下各题：
（1）
（2）
16．已知向量，且．
（1）求的值；
（2）求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
17．（1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积.
18．锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若，求周长的取值范围.
19．如图，与存在对顶角，，，且.

（1）试指出点O在上的具体位置，并说明理由；
（2）若，求的长.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量.
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数，
所以，解得.
故选D
3．【答案】A
【详解】.
故选A
4．【答案】D
【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限.
故选D.
5．【答案】C
【详解】，∴
∴.
故选 C.
6．【答案】D
【详解】因为，所以，解得.
故选D
7．【答案】C
【详解】，
，
即，
解得或（舍），
，
，
.
故选C
8．【答案】C
【详解】由和，可得，
由正弦定理，，即，
因，故得，
因是锐角三角形，故，则有，从而，.
又由正弦定理，，
即得
于是
，
由可得，
则，故，
故的取值范围为.
故选C.
9．【答案】AB
【详解】由正弦定理可得,
,
或
故选AB.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，复数的实部是5，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.
故选ABC
11．【答案】BC
【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
，，，，，设，，
则，，，由，
得，则，解得，
对于A，，其中锐角由确定，
，则当时，，A错误；
对于B，，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，其中锐角由确定，
，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，，则
，而，当时，取得最大值为，D错误.
故选BC
12．【答案】1
【详解】因为向量 ，则 ，
所以.
13．【答案】/
【详解】在中，由及正弦定理，得，而，
所以.
14．【答案】
【详解】由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
（2）.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，且
，则.
（2）由（1）得
所以在上的投影向量为.
17．【答案】（1）；；
（2）
【详解】（1）因，则，由余弦定理，，
因，则，；
（2）由余弦定理，，代入整理得，
因则，解得，
故的面积为
18．【答案】（1）
（2）
（3）.
【详解】（1）由，
可得，
又为锐角三角形，则，
所以，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理知，，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以，
故的面积，
所以面积的最大值为.
（3）由正弦定理知，
所以，，则的周长为.
因为，
所以.
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
故周长的取值范围为.
19．【答案】（1）O为中点，理由见解析
（2）
【详解】（1）O为中点，设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.故O为中点.
（2）如图：

过D点做，交与E.
则.
由.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.

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