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勤建学校高一年级下学期第二次调研考试
数学试卷 2025.5
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中 ，则的面积为（ ）

A． B． C．6 D．
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
6．在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则，是异面直线 D．若，，，则或，是异面直线
10．中，下列说法不正确的是（ ）
A． B．若，则为锐角三角形
C．若，则 D．若，则
11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．三棱锥S-ABC体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知为虚数单位，，若，则 .
13．已知向量, ,，若，，则 .
14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知向量，.
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量满足，求的值.
16．（15分）已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数．
(1)求实数的值；
(2)若，求复数的共轭复数．
17．（15分）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
18．（17分）设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围；
(3)若的内切圆半径，求的面积S.
19．（17分）如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面.
(1)在上，，求证：平面平面；
(2)若，且，求的值；
(3)求三棱锥体积的最大值.
勤建学校高一年级下学期第二次调研考试
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A D A A C
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ABC ABD BD -1 10
1．D【详解】.
2．C【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底；
对于B中，向量，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，
可得解得，所以和不可以作为基底；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得 ，
可得此时方程组无解，所以和可以作为基底.
3．D【详解】将直观图还原为原图，如图，
由，，所以，
所以，则，
即原平面图形的面积是．
A【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
5．D【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误；
对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误；
对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，如图，在长方体中，
当所在直线为所在直线为时，与相交，
当所在直线为所在直线为时，与异面，
若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.
6．A【详解】，
由余弦定理得，解得，舍去，
则的面积为.
7．A【详解】设该塔的高度为米，则．
在中，，
即，由，解得，即塔高为30米.
8．C【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，
则圆台侧面积为，
上、下底面面积分别为和.
由圆台表面积为，得，
所以圆台高，
设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.
作于点，
设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，
所以球的体积为.
9．ABC【详解】A：当时，，可以相交、平行、异面，因此本选项不正确；
B：当，时，直线可以在平面内，因此本选项不正确；
C：当，时，，是可以是相交直线、平行直线、异面直线，因此本选项不正确；
D：因为，，，所以直线，是两条没有交点的直线，
所以或，是异面直线，因此本选选项正确，
10．ABD【详解】A选项，由正弦定理得，所以A选项错误.
B选项，若，则，
所以为锐角，但无法判断两个角是否是锐角，所以B选项错误.
C选项，若，则，
由正弦定理得，所以C选项正确.
D选项，若，
由正弦定理得，所以D选项错误.
11．BD【详解】由已知，圆锥侧面积为，A错；
在圆周上，易得，．B正确；
，又中，，所以，所以．C错；
时，把和摊平，如图，
的最小值是，此时，，，，
，D正确．
12．【详解】由题设，则，可得.
13．10【详解】因为，，且，所以存在一个实数，使得，
即，则，，解得，得到，而，
因为，所以，解得.则，，
因为，所以，
由向量模的坐标运算公式得.
14．.【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为
由正方体的表面积为24，所以则，又，所以
所以外接球的表面积为：
15．(1) (2)
【详解】（1）因为，，则，
因为，故...........................................6分
（2）因为向量满足，
所以，解得，
所以，
故............................................13分
16．(1) (2)
【详解】（1）因为，所以，
∵是纯虚数，，解得，
又∵，∴；........................................7分
（2）∵，∴，
∴的共轭复数为................................................8分
17．【详解】（1）连结交于，连结，
在正三棱柱中，且，
所以四边形是平行四边行，则为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
因为平面，平面，
所以平面；.............................................6分
（2）在正三棱锥柱中，且，
，，所以四边形是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以是的中位线，
所以，又因为，所以，
在正三棱柱中平面，平面，所以，
在正三角形中，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面......................................9分
18．(1) (2) (3)
【详解】（1）由，可得,
，
,
，又，则,
，又，
....................................5分
（2）由（1），由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，
，则，
，
所以的周长范围为..........................................6分
（3）由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，
解得或（舍去），
所以..........................................6分
19．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）如下图所示：
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面.........................................4分
（2）过点在平面内作交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面.
因为平面平面，平面平面，所以，
因为为的中点，，则为的中点，
因为，且正三棱锥的棱长均为，则，，，
所以，，
，
因为，所以，，则存在，使得，
即，
因为、不共线，则，解得.
综上所述，............................................6分
（3）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
设点在平面上的射影为点，则为等边的中心，
由正弦定理可得，则，
所以，
因为，所以，点到平面的距离，
点到直线的距离为，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故三棱锥体积的最大值为..........................................7分

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