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湖北省武昌实验中学2025届高考适应性考试
数 学 试 卷
2025.6.1
本试卷共6页，19题。全卷满分150分。考试用时150分钟。
注意事项：
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项符合题目要求.
1．设复数，则z的共轭复数的虚部为
A． B． C． D．
2．已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为
A． B． C． D．
3．函数的图像大致为
A． B． C． D．
4．某种品牌摄像头的使用寿命ξ (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.荆州中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为
A． B． C． D．
5．已知，，，则
A． B． C． D．
6．，且则的最小值为
A． B． C． D．
7．已知⊙：，直线l：，P为l上的动点，过点P作⊙的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知甲 乙两组样本数据分别为和，则下列结论正确的为
A．甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等
B．甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等
C．甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差
D．甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差
10．如图，点为边长为1的正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
A．直线、是异面直线
B．
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的体积为
11．国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以，，为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数对应的十进制数为，其中，，为了记号的方便，我们用表示数码，比如，，.下面选项正确的是
A．
B．
C．若，，，则
D．存在唯一的，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 .
13．已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则
.
14．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知分别为锐角三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若；求周长的取值范围.
16．（15分）
如图，在四棱雉中，平面
为棱的中点，为棱上的动点．
（1）证明：．
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
17．（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）求证：.
18．（17分）
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
（1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差；
（2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率；
（3）为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量.
参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.
19．（17分）
已知圆，圆．若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若.
（1）求轨迹的方程；
（2）试问：直线OA,OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
（3）试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
湖北省武昌实验中学2025届高考适应性考试
数学参考答案
1．【答案】A
【详解】，所以，其虚部为.
2．【答案】C
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以，又，所以，所以.
3．【答案】A
【详解】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.
4.．【答案】B
因为使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2，因而根据正态分布规律可知该摄像头平均使用寿命为 年
所以每个摄像头4年内正常工作的概率为0.5，因而两个摄像头同时能正常工作的概率为0.50.5=0.25
5. 【答案】D
【详解】由题意可知，.
则，所以.
则，所以.所以.
6. 【答案】C
【解析】试题分析：由题可知，，由于一条对称轴为，即有，于是，，于是有，原式化简为，由于因此，即有，，即；
7．【答案】C
【详解】由题设，⊙:，则，半径，如下图示，
等腰△ABM中，要使最小，只需最小，即有最大，
当且仅当，即最小时，最大，此时，且，
所以，而，，
所以，
所以到直线的距离，
令直线，则或，
由图知：，即直线.
8．答案A
9．【答案】BC
【详解】对于A选项：若甲组样本数据的中位数为，且5个数据由小到大排列为：时；那么乙组样本数据的大小排列为：，
此时乙组样本数据的中位数为，故用反例法证明了A选项错误.对于B选项：
甲组样本数据的平均数……①
甲组样本数据的平均数……②
①②式相等，故B选项正确.对于CD选项：
设甲组数据的分别为，,极差为2；
那么乙组数据的分别为，，极差为0；
此时有甲组样本数据的极差大于乙组样本数据的极差，；故C正确，D错误.
综上所述应选BC.
10．【答案】BD
对于A选项，连接，则点为的中点，、平面，平面，
同理可知平面，所以，与不是异面直线，A选项错误；
对于C选项，四边形是边长为的正方形，，
平面平面，交线为，平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，
为的中点，且是边长为的正三角形，则，，，C选项错误；
对于B选项，取的中点，连接、，则且，，
平面，平面，平面，，
，，B选项正确；
对于D选项，平面，的面积为，
所以三棱锥的体积为，D选项正确.
故选：BD.
11．【答案】ACD
【详解】A：，对；
B：，
，
，错；
C：，
因为，
若全取1时，，
若全取时，，
由，则，故的绝对值小于，对；
D：，
，
所以
，
由，则，，
要使，即，
所以，则，且，则，此时，即有唯一解，对.
12.【详解】二项式展开式的通项为（且），依题意，所以，所以二项式展开式的通项为（且），令，解得，所以，所以展开式中的系数为为.
13.【详解】连接交轴于,由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，故为圆心，故，
,,
故，解得，
14. 【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，
所以，由题意可得，又由得，∴，∴
∵，∴，∴
在等边中，边上的高为因为，∴
15．【答案】(1)(2)（i）
【详解】（1）.
由正弦定理得
在中，
代入上式化简得：sinC
因为，所以，即
为锐角，
（2）（i）由正弦定理得
所以
是锐角三角形，
即
所以周长的取值范围为.
16．【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以为等边三角形，则，
所以，所以，所以，
因为平面，平面，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
由（1）知，，
则，
故，设平面的法向量为，
则有，可取，设，
则，
设平面的法向量为，则有，
所以，令，则，所以，
则，
化简得，解得或，
经检验，当时，二面角为钝二面角，
所以，所以.
17．【详解】（1），，
对于方程，
当，即时，，
函数在上单调递减；
当，即时，方程有两个不相等的实数根，
，且，
当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.
（2）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减，
又，当时，，即当时，.
，，
即，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
累加可得，，
即，
所以.
18．【答案】(1)，；(2)；(3)1000
【详解】（1）每个芯片通过测试的合格率为，，
则，；
（2）解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格，
，则；
解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格，
，，，，
，
则；
（3）因为，所以，，
解法一：，，
，，又，当且仅当时等号成立，
，均有，取，则，
根据题意要使得总能不超过0.1，当，即时满足条件，最小样本量大约为1000.
解法二：由已知得对，，
，记，，，
又，当且仅当时等号成立，
，均有，取，则，
根据题意要使得总能不超过0.1，当，即时满足条件，最小样本量大约为1000.
19．【解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则
又∵动圆与圆内切，结合图像可知：，，∴
由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，，
又可知圆与圆内切，∴点C不能在切点处，即椭圆应去掉点，
曲线C的方程为．
（2）直线OA,OB的斜率乘积不是定值.理由如下：设，则.
因为，所以，进而.
由点F在曲线E上得
所以
又因为点A,B均在E上，即，带入上式得
所以不为定值.
（3）因为点A,B均在E上，所以，
两式同向相乘得，整理得：
由（2）知，带入上式解得：.
又因为 .所以.

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