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2025年中考数学专项训练：二次函数
一、单选题
1．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．若将抛物线向左平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如果一个函数的图像与直线有交点，我们称这个交点为这个函数的等值点（即横坐标与纵坐标的值相等）．如果二次函数有两个相异的等值点，，且，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的两个交点为，，且，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象上有四个点：，其中，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图1，在正方形中，动点P从点A出发，沿的方向匀速运动，当点P到达点C时停止运动．过点P作，交于点Q．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（ ）
A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O
8．如图，在边长为4的正方形中，是上一动点（不含两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点．使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ）
A．线段长度的最小值为
B．四边形的面积最大值为10
C．当时，
D．当为中点时，是线段的垂直平分线
二、填空题
9．若，，且，的最小值为，最大值为，的值为 ．
10．在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为 ．
11．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．
12．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ．
13．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．
14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ．
①； ②； ③；④；⑤时，
15．如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是 ．
16．如图，在中，，，，是中位线，角平分线交于点为上一动点（不与重合），作，垂足为，作，交于，在下方作，且．设，，则关于的函数表达式是 ，的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B到直线的距离；
(3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积．
18．科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．
两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：
(1)对于方案1，设．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求的最大值；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
19．已知函数，定义新函数．
(1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式；
(2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时．
①若点重合，求的值；
②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
21．已知抛物线解析式为：．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式．
(3)点Q是直线上方，且又是抛物线图像上的一个动点，连接、，是否存在一点Q，使面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
(4)如图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，．
(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)点在抛物线上，连接，若，求点的坐标．
23．如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
(3)如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年中考数学专项训练：二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B D B A D
1．D
【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移3个单位求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：的顶点坐标为，
∵向左平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∴所得到的新抛物线的表达式是．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了函数和方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得方程有两个不相等的实数根，进而得，，，再根据得，再得关于c的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意可得方程，即有两个不相等的实数根，
∴，，，
解得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，c的取值范围是，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称轴为，得出，即可判断A，根据抛物线与轴的两个交点为，，得出，即可判断B，根据得出，结合函数图象即可判断C，根据抛物线开口向下，由，可得时，，结合，即可得出，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，故A正确，不符合题意，
∵抛物线与轴的两个交点为，，
∴，即，故B不正确，符合题意，
∴
∵
∴
则，即
∴，故C正确，不符合题意，
∵抛物线开口向下，时，
又∵
∴
即，故D正确，不符合题意，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴函数的图象开口向下
∴，
此时对称轴在轴的正半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故A选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
故B选项不符合题意；
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的正半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故C选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
故D选项符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了动点类的函数图象分析，涉及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，正确读懂函数图象是解题的关键．
设正方形的边长为,则，当点在边上运动时，，可得，继而代入数据，求出关于的函数解析式，再由二次函数的性质以及图象分析求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为,则，
当点在边上运动时，，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，由图象可得，此时，
∴，
解得：，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下时，，根据开口向下，分别利用待定系数法求出函数解析式，进而比较a值即可求解．
【详解】解：由图象知，E，F，M三点组成的二次函数开口向下，；
E，F，O三点组成的二次函数开口向下，；
E，M，O组成的抛物线开口向上，，
F，M，O组成的二次函数开口向上，；
要使a取得最小值，选项C、D不符合题意，
当抛物线过E，F，M三点时，则，
解得；
当抛物线过E，F，O三点时，则，
解得，
∵，
∴当抛物线过E，F，M三点时，a值最小，
故选：A．
8．D
【分析】设，则，由翻折的性质可知，，则，证明，则，即，解得，由二次函数的图象与性质求的最大值，进而可求此时最小，利用勾股定理求，进而可判断A的正误；由，可知当最大时，四边形的面积最大，计算求解可判断B的正误；由折叠的性质可知，，证明，则，，，由勾股定理得，，求出满足要求的解，进而可判断C的正误；当P为中点时，则，由③可知，，设，则，，由勾股定理得，，可求得，，由，即不是的中点，可判断D的正误．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，，
∴当时，最大，最大值为1，此时最小，最小值为3，
由勾股定理得，，
∴线段长度的最小值为5，A正确，故不符合题意；
∵，
∴当最大时，四边形的面积最大，最大值为，B正确，故不符合题意；
由折叠的性质可知，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，C正确，故不符合题意；
当P为中点时，则，
由③可知，，，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，即不是的中点，
∴不是线段的垂直平分线，D错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值．根据，可得，再根据，即可求得的取值范围；根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值．
【详解】解： ，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
，，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，结合题意可得，，从而得出不等式组，解不等式组即可得解．
【详解】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数图象上存在，两点，当时，满足，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解．
【详解】解：依题意得：
当，，
当水位上升 时，则此时，
则：，
解得：或，
∴水面宽为：，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键．
【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D，
在等腰直角三角形中，，则，
∵A、B两点的横坐标分别为1和，
∴，，
∵点A、B在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
整理，
解得：或（舍去），
∴b的值为2，
故答案为：2．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．
【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点，
∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时，
∴的解集为，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
14．②③④⑤
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
根据对称轴位置及图象开口向上可判断出的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由推出，，得到，即可得到，可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于点在轴的负半轴，
，
，
故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，
，
故结论②正确；
，
，
，
，
，
故结论③正确；
对称轴为直线，
函数的最小值为，
，
，
故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
15．
【分析】根据题意画出示意图，作轴，交于点，求出直线的解析式、的长，设，结合解直角三角形的相关计算求出，当时，取最大值，即可求出点的坐标．
【详解】解：依题得，点在的函数图象上，
且需满足，，
当时，，
当时，，
即定点，为函数与坐标轴的交点，
作轴，交于点，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
即直线的解析式为，
，，
中，，
，
，
，
，
，
在中，，
当最长时，最长，
，则，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、勾股定理、解直角三角形的相关运算，解题关键是通过作辅助线找出何时取得最大值．
16．
【分析】解直角三角形，求出，，根据三角形中位线定理求出，，则，，根据角平分线的定义、平行线的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，，然后把，，代入，可求出关于的函数表达式；由，，，可得出，然后证明，得出，可证得，则K在以为直径的圆上，取中点O，连接，，则，，故当C、K、O共线时，取最小值，最小值为，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵是中位线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
即，
连接、，
∵，，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴K在以为直径的圆上，
取中点O，连接，，
则，，
当C、K、O共线时，取最小值，最小值为，
在中，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为： ，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，含的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念，点与圆上一点的最值问题等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)，，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、待定系数法等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用等积法进行解答即即可；
（3）求出直线的解析式为,设点P的坐标为，作轴交直线于点，则，得到的面积，利用二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得到，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴，
设点B到直线的距离为，
则，
∴
解得，
即点B到直线的距离为，
（3）设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为,
设点P的坐标为，作轴交直线于点，
则，
则
∴的面积
当时，有最大值，
此时
此时点P的坐标为
18．(1)①，②3600
(2)选择两种方案均可，理由见解析
【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积．
（1）①根据矩形的性质表示即可；
②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可．
【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
②由题意得，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3600；
（2）解：两种方案任选其一即可，理由如下：
设方案2中的，
∵，
∴，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∴，即
，
∵，
∴当时，y 有最大值，最大值为3600．
∵，
∴两种方案养殖区总面积最大值相等，
∴选择两种方案均可．
19．(1)，
(2)①或2
②；存在，面积的最大，最大值为
【分析】（1）根据求得，再根据，比较即可求得a、b值，从而求解；
（2）①把代入和代入，从而得到，再解方程即可求解；
②先求出点A、B、C的坐标，从而求得、长，代入，即可求解；再根据，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：①∵点重合，，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
∴，
化简整理，得，
解得：，．
∴m的值为或2，
②把代入，得，
∴，
∵轴交函数的图象于点，
∴，
∵轴交函数图象于点，
∴点纵坐标为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴当时，
，
当时，
，
∴
∵，
∴当时，
，，
∵，，
∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为，
此时，面积的最大，最大值；
当时，
，
，
∵，，对称轴为直线，
∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，都取得最大值，
最大值为2，最大值为6，
∴此时，面积的最大，最大值，
∵，
∴存在，面积的最大，最大值为．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可；
（2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可；
（3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：令，则，
点．
设直线的函数解析式为．
将代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．
的面积．
当取得最大值时，的面积最大．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，取得最大值，的面积最大，
此时点的坐标为．
（3）解：抛物线的对称轴为直线．
如图2，设对称轴与轴交于点．
，
，
．
①当为对角线时，，
，
点的坐标为，点的坐标为．
根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
同理得到点；
②当为对角线时，
如图3，过点作垂直于对称轴于点，
则，
，
点的坐标为，点的坐标为，
同理，点，点；
③如图4，当为对角线时，
设点的坐标为，
，即，解得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
21．(1)
(2)
(3)存在，，
(4)存在，，，，
【分析】】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
（1）根据求顶点坐标即可；
（2）根据平移规则求解析式即可；
（3）过点Q作轴，垂足为E，交于点F，设点Q坐标为， 点F坐标为，根据计算即可；
（4）若四边形为符合条件的平行四边形， ，且，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标是；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式，即：；
（3）解：过点Q作轴，垂足为E，交于点F，
设点Q坐标为，
容易求得直线的解析式为 ，则点F坐标为．
∵，
∴当，面积最大为，此时点Q的坐标为，
即存在一点Q，使面积最大，点Q的坐标为；
（4）解：符合条件的N点存在．
如图：若四边形为符合条件的平行四边形，
则，且，
∴，
作轴于点A，轴于点B，
∴，
则有，
∴，
∵点P的坐标为，
∴，
∵点N在抛物线、上，且P点为、的最高点，
∴符合条件的N点只能在轴下方，
①点N在抛物线上，则有：，
解得：或，
②点N在抛物线上，则有：，
解得：或，
∴符合条件的N点有四个：
．
22．(1)；
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再联立抛物线解析式和直线解析式，求出点D坐标即可；
（2）过点P作轴交于Q，设，则，则，证明，得到，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点A作于E，设交x轴于H，则，利用等面积法可求出，解直角三角形得到，则，即此时点Q的坐标为；过点C作交x轴于F，则，可证明，得到，可推出，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点Q的坐标为．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
联立，解得或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于Q，
设，则，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，即此时点P的坐标为；
（3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为；
如图所示，过点C作交x轴于F，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，解（2）的关键在于构造相似三角形，解（3）的关键在于证明．
23．(1)
(2)的值为或
(3)存在，
【分析】（1）结合抛物线经过点，且对称轴为直线，列式求解，即可解题；
（2）将点代入抛物线的表达式，并结合表示出，，再根据建立等式求解，即可解题；
（3）在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，导角得到，进而求出，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，联立抛物线的表达式求解，即可解题．
【详解】（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使．
直线与轴分别相交于点，
时，，
．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
直线表达式为．
，
．
，
，
即，
，
，即，
解得．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
解得
直线的表达式为，
与抛物线
联立方程得
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数几何综合，解题的关键在于正确掌握相关知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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