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2025年中考数学专项训练：反比例函数
一、单选题
1．（2025·云南红河·三模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·广东广州·二模）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2025·山东临沂·二模）把一块含角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点同时落在反比例函数图象上时，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点在轴正半轴上，，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在函数的图象上时，设点的对应点的坐标是，则（ ）
A．3 B． C． D．2
6．（2025·浙江·模拟预测）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河南洛阳·三模）交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其中R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，为定值电阻，电源电压U不变．闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（ ）
1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和． 3．该电路中的电流
A．气敏电阻R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大
C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框
8．（2025·浙江金华·二模）已知反比例函数，第一象限有一点，过向坐标轴作垂线，分别交轴，轴于A，点，分别交反比例函数于，点，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2025·广东汕头·一模）某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省 N的力．
10．（2025·云南楚雄·一模）已知反比例函数图象经过点，，则的值为 .
11．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
12．（2025·江苏徐州·二模）如图，四边形是菱形，点B在x轴的正半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ．
13．（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ．
14．（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ．
15．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴上，且面积为8，点在边上，，若点、在同一个反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式为 ．
16．（2025·河北石家庄·二模）如图，反比例函数的图像在第一象限，已知点，，，在函数图像上，轴，，，，则 ．
三、解答题
17．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，，，反比例函数的图象经过点．
(1)的长为_____；
(2)若点的坐标为，轴，求的值．
18．（2025·湖南岳阳·二模）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．
(1)求与的解析式；
(2)求的面积．
19．（2025·河南周口·二模）根据学习函数的经验，对函数的图象性质进行探究．下表列出了y与x的几组对应值：
x … … 0 1 2 4 …
y … … 2 a …
(1)_________；
(2)在下图所示的平面直角坐标系中，己画出该函数的部分图象，请画出另一部分图象；
(3)观察图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是_________；
(4)直接写出方程的解．
20．（2025·浙江丽水·二模）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点．
(1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由；
(2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值；
(3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：．
21．（2025·山东临沂·二模）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
22．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
… 10 16 20 25 40 50 …
… 8 5 4 3.2 2 1.6 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
23．（2025·广东清远·二模）如图，四边形是正方形，D为中点，以O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标，过点D的反比例函数的图象与边交于E点，F是线段上的一动点．
(1)求的正切值；
(2)若平分，求出F点的坐标；
(3)若的面积为，的面积为．若，证明：F是线段的中点．
《2025年中考数学专项训练：反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A D C D D B
1．B
【分析】本题考查了反比例函数，掌握待定系数法求解析式是关键．
根据题意，运用待定系数法得到，再将选项代入计算即可判定．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
A、把代入得，故反比例函数的图象不经过，不符合题意；
B、把代入得，故反比例函数的图象经过，符合题意；
C、把代入得，故反比例函数的图象不经过，不符合题意；
D、把代入得，故反比例函数的图象不经过，不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据题意可得，再根据一次函数和反比例函数经过的象限分别求出对应选项中的符号，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴；
A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意；
B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意；
C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意；
D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可．
【详解】解：函数和的大致位置如图：
根据图形可得函数和交点的横坐标，
∴的解，
∵a是方程的实数根，
∴，
故选：A ．
4．D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，直角三角形的性质，勾股定理，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．
作轴，轴，求出，继而求出，，，利用反比例函数图像与性质列方程得到，求解得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，作轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
点在反比例函数图象上，
，
解得：，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则，
∵点坐标是，
，
在中，，则，
由旋转性质得，点在第一象限内，
，又，
，
，
，
∵的坐标是，且在第一象限，
，
，
∵在函数的图象上，
，且，
，
，
，
（负值已舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识，熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键．
6．D
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了根据函数图象中获取信息，反比例函数的实际应用，根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断即可，熟练根据图象得出信息是解题的关键．
【详解】解：由图（2）可知，当酒精气体浓度增大时，气敏电阻R的阻值减小，故选项A错误；
根据串联电路电阻特点，总电阻，R减小，减小，故选项B错误；
由可知，电路中的电流I增大，即电流表的示数增大，故选项C错误；
电压表测两端电压，，I增大，不变，所以增大，即电压表的示数增大，故选项D正确．
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例与几何的综合、矩形的判定与性质等知识点，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
设D的坐标为，由题意可知，则C点坐标为，由于C点和D点都在反比例函数上，即可求得，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：设D的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∵垂直于y轴，垂直于x轴，
∴四边形为矩形，即，
∴则C点坐标为，
∵C点和D点都在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．75
【分析】本题考查有理数运算的实际应用和反比例，根据阻力乘阻力臂等于动力乘动力臂，列出算式进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为：75．
10．
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，设反比例函数解析式为，由图象经过点，，则，然后求出的值即可，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积等于是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵图象经过点，，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．
将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可．
【详解】解：把和代入解析式得：，，
∴，
故答案为：．
12．12
【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
根据菱形的面积为，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，点在轴正半轴上，轴于点，菱形的面积为，
，
，
，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：12 ．
13．1
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．由于正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，所以的面积为1．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，
点与点关于原点对称，
，
轴于点，
的面积．
故答案为：1．
14．或
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：点的坐标为，
反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点，
关于的不等式 的解集为或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查已知图形面积求值，连接，，延长至点，易得矩形的面积为，，进而得到矩形的面积为，进而得到，根据，得到，列出方程进行求解即可．
【详解】解：连接，，延长至点，则由题意，可知：四边形，四边形均为矩形，
∵点、在同一个反比例函数图象上，设反比例函数的解析式为：，
则：矩形的面积为，，
∵矩形的面积为8，
∴矩形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．分别代入点，，，到，求出的值，再结合图像可得，，再相加即可求解．
【详解】解：代入得，，
同理可得：，，，
，轴，
，
，轴，
，
．
故答案为：．
17．(1)
(2)16
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形．
（1）过点B作于点H，易得是等腰三角形，推出，解直角三角形求出，即可解答；
（2）延长，交轴于点，根据轴，解直角三角形求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，得到点的坐标为，即，求出点的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作于点H，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长，交轴于点．
轴，
，即．
，，
，
，
，
在中，，
点的坐标为，即，
，
点的坐标为，
．
18．(1)，
(2)
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，面积问题等知识，正确求出函数解析式是关键．
（1）先求出，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设与y轴相交于点C，求出，即：，根据进行解答即可．
【详解】（1）由题知，
∴，
∴，，
∴，
把，代入
得，
∴，
∴；
（2）设与y轴相交于点C，
当时，，
∴，即：，
∴．
19．(1)1；
(2)见解析；
(3)或（或者写亦可）；
(4)或．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，画函数图象，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）把代入解析式即可求出值，
（2）根据列表描点连线即可，
（3）观察图象即可得出结论，
（4）根据图象可知，方程的解即与的交点横坐标．
【详解】（1）解：当时，代入得：
，
故答案为1；
（2）解：如图，
（3）观察图象可知：当或，当y随x的增大而减小时，
（4）解：∵，可化为，
方程的解即与的交点横坐标．
由图可知：方程的解为或．
20．(1)在一次函数的图象上，见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）点的3级摆动点为即，代入一次函数计算解答即可；
（2）确定点的“级摆动点”为，结合已知，得，解方程解答即可；
（3）根据这两个点的“1级摆动点”都在直线上，结合点在抛物线上，求得，,构造一元二次方程，利用根的判别式确定，结合，展开移项变形，构造不等式解答即可．
【详解】（1）解：点的3级摆动点为即，
当时，，
故在一次函数的图象上．
（2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为，
由函数的图象上存在点的“级摆动点”
得，
整理，得，
解得（舍去），
故．
（3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为
，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的二次函数的图象上恰有两个点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根,
∴
∵，
∴,
∴,
∵,
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，构造一元二次方程，根的判别式的应用，解不等式，完全平方公式的变形应用，．
21．(1)
(2)当时，的面积最大，这个最大值是
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及二次函数的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）利用一次函数求出点，再将求出的点代入反比例函数解析式求解，即可解题；
（2）根据题意得到，再利用a表示的面积，最后结合二次函数的最值求解，即可解题．
【详解】（1）解： 一次函数过点，
，
解得，
点，
反比例函数图象过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解： 点C的横坐标为a，轴交反比例函数的图象于点D，
，，
，
则的面积为
，
，
当时，的面积最大，这个最大值是．
22．(1)见解析
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．
（1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可；
（2）将代入得，求出，得到函数的解析式为；
（3）设，连接，得到，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
23．(1)1
(2)
(3)见详解
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，矩形的判定，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）先求出点坐标，代入解析式可求点，得是等腰直角三角形，进而可得的正切值；
（2）由“”可证，，可得，由勾股定理可求解；
（3）由面积和差关系可求，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵四边形是的正方形，点坐标，
，
∵为中点，
，
∴点，
∵点是反比例函数的图象一点，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点是反比例函数与的交点，
∴点，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴的正切值为 1 ；
（2）解：如图 2 ，过点作于，连接，
∵平分，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点；
（3）证明：如图 3 ，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是线段的中点．
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