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2025年中考数学专项训练：分式与分式方程
一、单选题
1．下列各式中，运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（ ）．
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．不变
3．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
7．甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走千米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知每个推车式灭火器（如图①）的价格比手提式灭火器（如图②）价格的6倍多20元．用1900元购买的推车式灭火器数量和用300元购买的手提式灭火器数量相同．设手提式灭火器的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．二次根式有意义的条件是 ．
10．化简的结果是 ．
11．若，则“□”表示的最简分式为 ．
12．已知，则代数式的值为 ．
13．分式方程的解为___________．
14．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
15．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ．
三、解答题
16．已知，求代数式的值．
17．解方程：．
18．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
19．阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
(3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
20．为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台．
(1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？
(2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．
21．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元．
(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
22．滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．
(1)求甲、乙两种树苗每株的价格；
(2)现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？
《2025年中考数学专项训练：分式与分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B B C A C
1．C
【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘、除法，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂的运算法则计算，逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：，
故分式的值变为原来的2倍，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，由，即可直接得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实根为，
∴，，
∴．
故选B．
5．B
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可．
【详解】解：
分式方程无解，
，
；
，
当时，，不成立；
当时，，则，
，
综上所述，若分式方程无解，则的值为或，
故答案为：C．
7．A
【分析】
此题考查了分式方程应用．设甲每小时走x千米，则乙每小时走千米．根据比乙早到15分钟，据此列方程即可．
【详解】解：设甲每小时走千米，列方程为，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．设手提式灭火器的单价为x元，则推车式灭火器的单价为元，根据题意列出方程，即可解答．
【详解】解：设手提式灭火器的单价为x元，则推车式灭火器的单价为元，
根据题意可列方程为．
故选：C．
9．且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
10．
【分析】本题考查了分式的减法，根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了分式的运算．将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查分式的化简求值，根据，得到，将代数式化简后，整体代入法进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式
；
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：．
14．或/1或
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，把原方程去分母并化简后得到，根据原方程无解可得或当时，原方程有增根，据此讨论求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时满足原方程无解；
当，即时，解得，
∵原方程无解，
∴是原方程的增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可得，
等号两边同时乘以，，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得
经检验，是该方程的解，
∴该方程的解为．
故答案为：．
16．3
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可．
【详解】解：
．
∵，
∴．
∴原式
17．
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【详解】解：方程两边同乘
得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴原分式方程的解为．
18．，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式．
19．(1)
(2)①；②，则；，则；
(3)
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
20．(1)高性能服务器每台的进价各是60万元，普通服务器每台的进价各是40万元
(2)购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元．
【分析】此题考查不等式的实际应用、一次函数的应用和分式方程的应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元，根据“花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解；
（2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过5400万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元．
根据题意列方程得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：万元；
答：高性能服务器每台的进价是50万元，普通服务器每台的进价是30万元；
（2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台．
可列出不等式：，
解得：，且m的整数，
高性能服务器每台利润为：（万元），
普通服务器每台利润为：（万元），
设总利润为万元，则，化简得：，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴当时，有最大值，（万元），此时购进普通服务器：（台）．
答：购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元．
21．(1)购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元
(2)该校此次最多可购买33个B品牌篮球
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，
∴（元）
设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球．
22．(1)甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
(2)购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程，不等式，函数关系式是解题的关键．
（）设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，然后解方程并检验即可；
（）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，根据题意得，，然后解出不等式，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
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