资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年中考数学专项训练：图形的相似
一、单选题
1．如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E是上一点，作交于点F，作交于点G，若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．17
5．如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，为边的三等分点，，为边的三等分点，连接，，交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
7．如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图①，是形如“”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为的正方形中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、在小正方形的顶点处，与相交于点，则的长等于 ．
10．如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为 ．
11．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为 ．
12．如图，是半圆O的直径，C是的中点，于点E，分别与交于点F，G．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
13．数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形．若，则的值为 ．
14．如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边和上，顶点F，H在菱形的对角线上，若，且，则的值为 ．
15．如图，在中，点是点关于对角线的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点．若的面积为，且，则的面积为 ．
16．如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为 ．

三、解答题
17．九年级数学兴趣小组利用所学知识测量路灯的高度（路灯的底部不可到达），如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米，逆时针旋转标杆，观察影子的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，此时标杆的影长最大为，此时若此时测得．,请你据此求出路灯的高度（结果精确到0.1米，参考数据：
18．如图，在中，，为中点，，是的外接圆，是的直径，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长；
(3)求的半径．
19．如图，在中，是边上的高，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求的余弦值．
20．已知内接于,于点．
(1)如图1，当经过圆心时，求证：；
(2)如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连结，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长．
21．如图1，在正方形中，进行如下两步操作：第1步：分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，连结；第2步：以点为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点，连结．
根据以上尺规作图步骤，完成以下问题：
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连结，交于点，求与的周长比．
22．【特例感知】
在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点．
（1）如图，若点，分别是，的中点，则______；
如图，若点是的中点，，则______．
【类比探究】
在菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点．
（2）如图，若，分别是，的中点，求的值；
如图，若，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值．
23．已知二次函数．
(1)若该二次函数的图像过点，求二次函数解析式；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，，且，点在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点．
①求证：．
②当点在线段上，且的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
《2025年中考数学专项训练：图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A C A A D B
1．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
2．D
【分析】本题可根据直角三角形的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一进行分析判断．
【详解】解：选项A 在中，，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∴，该选项正确．
选项B 在中，，
∴． 又
∵，
∴，该选项正确．
选项C ，∵，，
∴
∴，即，该选项正确．
选项D 设，
∵
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
由勾股定理，
∴，
∴， ，显然，该选项错误．
故选∶D
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质（角所对直角边与斜边的关系、勾股定理）、等腰三角形的判定（等角对等边）以及相似三角形的判定与性质．解题关键在于熟练运用这些性质，对每个选项进行合理推导与判断．
3．A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，先证明，求解，证明，，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点O，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C
5．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质，由等腰直角三角形的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由相似三角形的性质可得，即可得解．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，，得到，，，推出，接着证明，通过对应边成比例得到的长度，最后算得．
【详解】解：，为边的三等分点，，为边的三等分点，
，，
，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，，，点E为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
8．B
【分析】结合题意得出，，，，，先由勾股定理求出，再证，，根据相似三角形的性质可得，，最后根据正方形的边长为得到，解方程即可得到的值．
【详解】解：依题得：，，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，
即，
解得．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解一元一次方程、正方形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
9．/
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，构造相似三角形是解题的关键．
连接，，取格点E，F，则，都是直角三角形，且
，得到，因此，进而有，得出，从而，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】解：连接，，取格点E，F
则，都是直角三角形，且，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
设，则，
∴，解得，
∴．
故答案为：
10．
【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由菱形的性质得，，则，，所以，则，而，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】延长到，使，根据等边三角形的性质和旋转的性质得出，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，，推得，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等得出，得出点在的边上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得出，求得，，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，，根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足，，三点共线，且时，的值最小，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理求出的值，即可求解．
【详解】解：延长到，使．如图：
∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可得，
∴，
∴，
∴点在的边上运动，
∵，，
∴，
故，，
作点关于的对称点，连接，
则，，
故，
当，，三点共线时，，
当时，的值最小，
故满足，，三点共线，且时，的值最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．①②④
【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得，再证明可得，进而得到可判定②；先证明可得可得，然后运用勾股定理可得，再证明，然后运用相似三角形的性质以及线段的和差即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，是等边三角形，，即是菱形，然后得到，然后运用解直角三角形、三角形面积等知识点即可判定④．
【详解】解：如图：连接，
∵
∴，即①正确；
如图：连接，∵C是的中点，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即②正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：（舍弃负值），
∴，
∵，
∴，同理：，
∴，
∴，即，解得：，
∴，即③错误；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，C是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：；
，，
∴，，
∴，即④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
13．/0.6
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质得，再相似三角形判定得，进而利用相似三角形性质即可得到本题答案．
【详解】解： 和都是等腰直角三角形，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
和都是直角三角形，
，
．
，
设，则，
，
，解得：，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性质．熟悉相关图形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
14．/
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．连接，分别交、、于点、、，设，则，证明和，求得，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，据此代入计算即可求解．
【详解】解：连接，分别交、、于点、、，
∵矩形，菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，轴对称的性质等知识点．
依题意得，，证明，设，则，得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵点是点关于对角线的对称点：
∵的面积为，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
设，则，
又∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．
由矩形的性质以及中点的定义可得，即，进而得到；再根据正切的定义可得 、，再运用勾股定理得到；如图：过G作垂直于I，则，易得，设，则，再证，运用相似三角形的性质列比例式可得，即，则，易得、；在和中运用勾股定理可得①；同理可得：②；最后联立即可解答．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴，，
∵点F为边BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴
如图：过G作垂直于I，则

∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图：连接，
设，则，
在中，，
在中，，
∴①；
同理可得：②；
①②联立可得：，（已舍弃负值）．
故答案为：．
17．8.5米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
先证明，得到设米，则米，米，得到，求出（米），继而得到，，解到，进而求出答案．
【详解】解：由题意知，，
，
（米）， （米）
设米，则米，米，
在中，（米），
（米）
米，
，
，
，
解得
(米)，
答：路灯的高度约为米．
18．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，即可得是的切线；
（2）先证明，得到，即可解答；
（3）过点A作于点F，设，则，，根据勾股定理构造方程，求得，根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，D为中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点A作于点F，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
整理得：，
解得，（舍去），
∴，，
∵与都是所对的圆周角，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握各种定理和判定方法是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求角的余弦值，熟知相关三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）可证明，得到，根据，得到，即；
（2）证明，得到即，得到，则，再根据余弦的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：是边上的高，
∴，
∴，
，
，即；
（2）解：由（1）证得，
∴，
又∵，
，
，
，
，，，
，
解得：或（负值舍去）
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用垂径定理和线段的垂直平分线性质证明即可；
（2）连接,证明，后证明，利用全等三角形的性质，圆周角定理，对顶角性质证明即可；
（3）先证明直线是线段的垂直平分线，设与的交点为G，
则，，判定一定经过圆心，连接，不妨设，求得，，设的半径长，
则，根据勾股定理，得，
解得．
【详解】（1）证明：∵，且经过圆心，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
（2）证明：连接,
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
设与的交点为G，
则，，
∴一定经过圆心，
∵，
∴，
连接，
∵，
不妨设，
∴，
∴，
∴
解得（负的舍去），
∴，
∴，
∴，（负的舍去），
设的半径长，
则
根据勾股定理，得，
解得，
故的半径长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用圆周角定理等知识是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，尺规作垂线，尺规作线段，平行四边形的判定以及相似三角形的判断和性质：
（1）根据尺规作图，易得，进而得到，结合，即可得证；
（2）证明，根据相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
由作图可知：为的中点，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
22．（）；；（）；见解析；（）．
【分析】（）设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，又点，分别是，的中点，则，，，设，则，则，然后通过即可求解；
由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，所以，最后代入求值即可；
（）由四边形是菱形，得，，，又，分别是，的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设
，则，所以，，，由勾股定理得：，则，求出，再代入即可；
在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，所以，从而求证；
（）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，所以，设，，则，，又点为的中点，所以，则，整理得：，即，解出的值即可．
【详解】解：（）如图，设与交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理是等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
在的延长线上找一点，连接，使得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即；
（）如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
23．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）依题意设二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解；
（2）①证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解．
【详解】（1）解：∵该二次函数的图像过点，
设，
∵该二次函数的图像过点，
∴
解得：
∴二次函数解析式为；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图像与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图像与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑