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2025年中考数学专项训练：一次函数
一、单选题
1．若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等
B．若，那么
C．的立方根是
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
3．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ）
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时，或．
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
4．如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
5．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，，由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论：①函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点在该函数图象上；④直线与坐标轴围成的三角形的面积为9．其中错误的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．如图，在平面直角坐标系中，，，，平行四边形的对角线与x轴平行．直线与x轴、y轴分别交于点E、F．将四边形沿x轴向左平移m个单位，当点D落在的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，入射光线满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ．
10．直线（为常数）与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，直线过点，则 ．
11．某汽车行驶的路程与时间的函数关系图象如图所示，则汽车行驶20分钟时距离终点 千米．
12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y 轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为 ．
13．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是 ．
14．小明在实验室探究弹簧秤的伸长量与所挂物体质量的关系．已知弹簧秤原长为，当所挂物体质量不超过时，弹簧的伸长量与所挂物体质量满足一次函数关系．小明记录了两次实验数据：当所挂物体质量为时，弹簧秤长度为；当所挂物体质量为时，弹簧秤长度为．如果所挂物体质量为时弹簧秤长度为 ．
15．骑自行车可以放松心情，是一种非常好的“黄金有氧运动”．骑行过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种测量方法：双腿（不穿鞋）站立，测量档部离地面的距离（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．若设长度最合适时坐杆的长度为，则与之间的关系式为 ．
16．如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为 ．
三、解答题
17．函数（，为常数，）的图象与的图象交于点．
(1)求，的值；
(2)已知一次函数（为常数，），当时，总有，则的取值范围是 ．
18．五一期间，超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空，为广大游客带来一场视觉盛宴．其中，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升．到第4秒时，乙无人机到达距离地面米的位置，停止上升，开始进行表演．甲无人机则持续匀速上升，到第秒时，甲无人机到达距离地面米的位置，停止上升，开始进行表演．在甲无人机上升过程中，两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间（秒）之间的函数关系如图所示，结合图象解答下列问题：
(1)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出的取值范围）；
(2)在甲无人机上升过程中，它飞行到多少秒时，两架无人机之间的竖直高度差为米？
19．青少年是祖国的未来，是民族的希望，青少年的饮食搭配越来越受到社会各界的关注，为此某校餐厅开展了“用餐一小步，健康一大步”的主题活动．餐厅为学生们准备了A，B两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下：
品牌 营养成分表 品牌 营养成分表
项目 每 项目 每
能量 能量
蛋白质 蛋白质
脂肪 脂肪
碳水化合物 碳水化合物
钠 钠
(1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用两种品牌的酸奶各多少盒？
(2)已知A品牌酸奶的价格是4元／盒，B品牌酸奶的价格是3元／盒．某班级计划从餐厅购买两种酸奶共300盒，经与餐厅沟通，每盒A品牌酸奶售价不变，B品牌酸奶的售价打九折．若要求购买A品牌酸奶的数量不低于B品牌酸奶数量的2倍，则该班级应该如何设计购买方案，才能使购买酸奶的总费用最少？
20．根据如下素材，探索完成任务．
解决如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润问题．
条件一：某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元）
条件二：已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用600元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
条件三：该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
任务解决：
(1)探求图书的标价，请运用适当方法，求出两种图书的标价；
(2)确定如何获得最大利润，书店应怎样进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
21．探究与拓展
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．
(1)请直接写出点的坐标，和图2中的值；
(2)当时，求点的坐标；
(3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点．
(1)求的值，并求点的坐标；
(2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值．
23．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
(1)求点的坐标；
(2)当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围；
(3)若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值．
《2025年中考数学专项训练：一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C C D B B D
1．C
【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质．
根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴，
所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识；
根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解.
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若，那么，故原命题是假命题；
C、的立方根是，故原命题是真命题；
D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题；
故选：C
3．C
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标．
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得可得出答案．
【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为10小时，而乙是在甲出发2小时后出发的，且用时6小时，
即比甲早到2小时，故①②都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把)代入可求得，
∴，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得
，
解得，
∴，
令可得：，
解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
，
此时乙出发时间为3小时，即乙车出发3小时后追上甲车，故③错误；
由题意可知，乙出发前甲、乙两地相距50千米时，
则，
解得，
当乙追上甲后，令，，
解得，
当乙到达目的地，甲自己行走时，，
解得，
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或或，故④错误．
综上可知正确的有①②，共2个．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查一次函数，矩形的周长，二元一次方程，掌握矩形周长的求法是解题的关键．
根据矩形的周长是长宽之和的2倍，即可列出二元一次方程，即可解答．
【详解】解：由题意，得
，
即，为一次函数．
故选C．
5．D
【分析】本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，求出三角形的面积等知识点．
①采用待定系数法求出关系式即可； ②根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当，随的增大而增大即可判断； ③把点代入解析式中，其坐标满足，即可判断；④根据函数图象与轴、轴的交点坐标，进而可以求出直线与坐标轴围成的三角形的面积即可．
【详解】解：设一次函数表达式为，将，代入
得
解得：
∴关系式为：；
故结论①是正确的；
由于，
∴y随x的增大而增大，故结论②也是正确的；
点，其坐标满足，
因此该点在此函数图象上；故结论③也是正确的；
直线与x，y轴的交点分别，，
因此与坐标轴围成的三角形的面积为：，故结论④是不正确的；
因此，不正确的结论是④；
也可以用排除法，①②③均正确，则④为不正确．
故选：D．
6．B
【分析】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求出点点的坐标是解题的关键．
如图中，连接交于，延长交于．求出点的坐标，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于，延长交于，
∵平行四边形的顶点的坐标为，点的坐标为，，对角线与轴平行，
，
∴点的坐标为，
当时，，解得：，
∴点的坐标为，
，
∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了轴对称问题，一次函数与轴的交点问题，解题的关键是得出是关于原点对称的，求出点，即可求出点坐标．
【详解】解：延长交轴于，如下图：
由原理知：是关于原点对称的，
当，则，解得：，
，故，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解直角三角形，先求出直线的函数表达式为．再利用一次函数的性质并结合解直角三角形计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：平移前点，，
设直线的函数表达式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的函数表达式为．
当点B在上时，令，则，
解得，即．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴点G的坐标为，
故选：D．
9．
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，求出将一次函数的图象向右平移个单位，所得一次函数解析式为，即，再根据平移后的图象不经过第二象限，得，解不等式即可．
【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为，即，
因为平移后的图象不经过第二象限，
所以，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，直线的旋转，锐角三角函数，解题的关键是用来表示出旋转后的直线的解析式，将代入其中即可求解利．
【详解】解：直线（为常数）与轴交于点，
当时，，
当时，，，
，
，
将直线绕点逆时针旋转得到直线，
此时与y轴夹角为，
，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
因为直线过点，
，解得：，
故答案为：．
11．20
【分析】本题考查了函数图象，由图象可求出汽车后的速度，进而得出答案．
【详解】解：由题意得，汽车后的速度为：，
所以汽车行驶20分钟时距离终点：．
故答案为：20．
12．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
过作轴于，连接，证明，根据对应边成比例得到解题即可．
【详解】解：过作轴于，连接，如图：
∵，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∵以点为旋转心把直线逆时针旋转得直线，
，即，
，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意、从图象中得出解题所需信息是解题的关键；
根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是，则凫、雁相遇时，距离南海的路程，据此建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是，
则凫、雁相遇时，距离南海的路程，
∴，
解得：，
即点M的横坐标是；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意得出弹簧的伸长量与所挂物体质量的一次函数关系式，进而将代入，即可求解．
【详解】解：设弹簧的伸长量与所挂物体质量的关系式为，
根据题意得
解得：
∴
当时，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一次函数的应用．由可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
即，
故答案为．
16．
【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，先求出得到，则，进而得到，则是等腰直角三角形，则，，由正方形的性质可得，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形，，可得，同理可得，，……，据此可得答案．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
由正方形的性质可得，
∴，
如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，……，
以此类推可得，，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、二元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，掌握边界问题的求解方法是解题的关键．
（1）直接将代入函数解析式得到二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）易得，，再分、两种情况解答，最后综合即可解答．
【详解】（1）解：将点代入函数（，为常数，）的图象与可得：
，解得：，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∵当时，总有，
∴，
∴，即，
∵，
∴（当时恒成立，取等号边界情况），解得：；
由，即，
∴，
综上，a的取值范围为．
18．(1)
(2)2秒、秒和秒
【分析】本题主要考查了函数图像，一次函数的应用等知识，正确理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
（1）设线段所在直线的函数解析式，然后把，代入，即可求解；
（2）先求出，然后求出乙无人机停止上升时，两架无人机之间的竖直高度差，得到需要分三种情况，然后根据对应情况列一元一次方程即可求解
【详解】（1）解：由图像可得：，，
设线段所在直线的函数解析式，
把，，代入，
解得：，
∴线段所在直线的函数解析式；
（2）解：由题可得：，
设线段所在直线的函数解析式为，
把代入，解得：，即，
把分别代入和，分别解得：，，
即当乙无人机停止上升时，两架无人机之间的竖直高度差为米，
∵，
∴故需要分三种情况：
①当甲，乙飞机都上升，乙飞机在甲飞机上方时，可得：，即，
解得：；
②当乙飞机停止上升，甲飞机继续上升，乙飞机在甲飞机上方时，可得：，
即，解得：，
③当乙飞机停止上升，甲飞机继续上升，甲飞机在乙飞机上方时，可得：，
即，解得：，
综上所述：在甲无人机上升过程中，它飞行到2秒、秒和秒时，两架无人机之间的竖直高度差为米；
19．(1)应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒
(2)购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少
【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用。解题关键在于准确分析题目中的数量关系，合理设未知数，根据等量关系或不等关系列出相应方程、不等式，构建函数模型，并运用函数性质解决最值问题。
（1）以学生摄取能量和蛋白质的量为切入点，设饮用A、B品牌酸奶的盒数分别为、，依据A、B品牌酸奶每盒的能量值和蛋白质含量，结合已知摄取量列出二元一次方程组，求解得出饮用两种品牌酸奶的盒数。
（2）从班级购买酸奶的数量和费用关系入手，设购买A品牌酸奶盒，得出购买B品牌酸奶盒。先根据“A品牌酸奶数量不低于B品牌酸奶数量的2倍”列出一元一次不等式确定的取值范围，再根据单价和购买数量构建总费用关于的一次函数，利用一次函数性质求出费用最小时的值及对应的购买方案。
【详解】（1）解：设饮用A品牌酸奶盒，饮用B品牌酸奶盒．
依题意，可得方程组
解得
答：应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒．
（2）解：设购买A品牌酸奶盒，则购买B品牌酸奶盒．
依题意，可得不等式，
解得．
设购买这两种品牌酸奶的总费用为元，
依题意，可得．
随的増大而増大．
当时，有最小值，此时，
故购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少．
20．(1)图书的标价为30元，则图书的标价为20元
(2)购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大为6600元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设种图书的标价是元，则种图书的标价是元，根据“顾客用600元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组求出的取值范围，求出、两种图书的售价，设获得的利润是元，得出关于的关系式，再利用一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设图书的标价为元，则图书的标价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：图书的标价为30元，则图书的标价为20元；
（2）解：设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
由题意可得：种图书的售价是（元），种图书的售价是20元，
设获得的利润是元，
则，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，的值最大，
（本），
∴购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大为6600元．
21．(1)点的坐标为，，
(2)点的坐标为或
(3)最大值为，的值为9
【分析】（1）根据点的坐标，代入二次函数解析式中，可求得，从而可得二次函数解析式，再求出点的坐标，然后求出点的坐标，再求出关于的函数解析式，从而可求得；
（2）先根据，求出的值，再求出点的坐标；
（3）先说明四边形为平行四边形，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，用表示出与，再根据，得出，求出的最大值．
【详解】（1）解：∵二次函数，点的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴点的坐标为．
二次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的横坐标为，的面积为，
∴，
当时，，
∴；
（2）当时，，解得：，
当点的横坐标为时，
，此时点的坐标为；
当点的横坐标为时，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，
∴四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
记点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值为，
此时的值为9．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，的最值，求一次函数的解析式等知识点，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式．
22．(1)，1，
(2)
(3)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，待定系数法确定函数解析式及三角形面积问题，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．
（1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式，然后确定与坐标轴的交点即可；
（2）根据题意得出三角形的高相等，确定，即可求解；
（3）根据题意得出要点共有6个，分别为：，然后结合图像确定当反比例函数恰好经过点时，符合题意，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：将点分代入直线和，
得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）∵点为正半轴上的一点，，高相等，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）根据图象得：要点共有6个，分别为：，
当反比例函数恰好经过点时，，
当时，，
由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意；
∴．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点B作轴于点D，由点A的坐标及等腰直角三角形的性质，可得出点B的坐标为，结合点B在直线上，即可求出a的值，进而可得出点A的坐标；
（2）求出直线的解析式，再根据直线在直线l和上方的条件，结合函数图象的性质确定m的取值范围；
（3）由（1）可得出点B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式为，由的面积等于的面积，可得出点C在直线上，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值．
【详解】（1）解∶过点B作轴于点D，如图所示．
点A的坐标为，
．
是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
．
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为，
又∵点B在直线上，
，解得∶，
∴点A的坐标为；
（2）解：由（1）知，
设直线的解析式为，把)代入，解得，
∵当时，直线即在直线：的上方，又在直线的上方，
∴结合函数图象可知m的取值范围是；
（3）解：由（1）可得出点B的坐标为，
设直线AB的解析式为，
将，代入得∶
解得∶
∴直线的解析式为．
∵的面积等于的面积，
点C在直线上，
∵点C的坐标为，
．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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