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2025年中考数学专项训练：一元二次方程
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）．
A． B． C．0 D．1
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
6．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
7．昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论：
①的长可以是；
②当矩形菜园的面积为时，的长为；
③当矩形菜园的面积最大时，的长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为 ．
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________．
12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
13．已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则 ．
14．如图，线段绕点A逆时针旋转得到线段，，已知，连接线段并延长，与的平分线交于点E，若，，则线段的长为 ．
15．如图，，，过点作，延长到，使，连接、．若，则 ．
16．如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则
三、解答题
17．解方程：；
18．已知、是一元二次方程的两个实数根．
(1)求整数的取值；
(2)若等式成立，求整数的值．
19．若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为．
(1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____．
(2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值．
20．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________．
【探究证明】
（2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．

21．在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
(1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元；
(2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
(3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
22．已知抛物线经过，两点．
(1)若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围；
(2)若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值；
(3)在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值．
23．如图，是一段坡比为的斜坡，在斜坡上按水平距离间隔20米修建两面墙，两面墙的高度都为3米（米），某农业种植公司在A、B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋．以点O为坐标原点，过点O的水平线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．经过测量，该抛物线的表达式为．
(1)求点B的坐标及该抛物线的表达式；
(2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能高于5米（直线x轴分别交抛物线和线段于点D、E．斜坡与抛物线之间的竖直距离为的长），请问此温室大棚是否符合这一要求？请说明理由；
(3)该农业种植公司想在另一坡比为的斜坡上再搭建一个温室大棚，两面墙的高度仍为3米，温室大棚（抛物线）的形状与本题中的抛物线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合（2）的要求（即斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5米），求出两面墙之间的水平距离．
《2025年中考数学专项训练：一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A C D C C
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【详解】解：根据题意，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
则有且，
解得且．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且，
的值可以是1，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，开方得，解得，故本选项不符合题意；
D、，开方得，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，是关于x的方程的两个根，
∴；故A正确，B错误；
∴，
∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误；
故选A．
5．C
【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故选C
6．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据关于x的一元二次方程有实数根，建立不等式，且求解，即可解题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，且，
即，解得，
∴a的取值范围是且，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．
假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解．
【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点，
∴，，
∵篱笆的长度是，
∴，
∴，
∵的长不超过，
∴，
∴，
∴的长可以是，故①正确；
②设，则，
∴，
当时，解得，，
∵，
∴，
∴的长为，故②错误；
③∵，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确；
综上，正确结论有个，
故选：．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是先求出系数，再利用根与系数的关系进行求解．
【详解】解：的一个根1，
则将代入中，得，
解得：，
，
设另一个根为，根据根与系数之间的关系得：，
解得：；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．2025
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，求代数式的值等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的意义．
利用一元二次方程的解的意义得出，然后代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴ ，
故答案为：2025．
12．4
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：4
13．8
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系；把代入，整理得到方程，由根与系数的关系得到，得出，解得即可．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数有两个交点，
∴联立方程得，，
整理得，，
∵是方程两根，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．
【分析】根据旋转的性质得，由角平分线的定义得到，推出，得到，，进而得出，再利用四边形的内角和为以及算出，利用等边对等角推出，再利用等角对等边推出，设，表示出的长，通过证明得到，代入数据解出的值，即可求出线段的长．
【详解】解：由旋转的性质得，，
，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
四边形的内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去负值），
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，结合图形找出全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
15．/
【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．
【详解】解：如图，如图，过作，交的延长线于点，

设，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，
经检验不符合题意；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
16．或
【分析】根据矩形的性质和勾股定理得到，过点作交于点，已知，则可求的面积；可证得，由相似三角形的面积比可求得的面积，从而可求五边形的面积．根据题意列方程得到或，可求解．
【详解】解：在中，根据勾股定理，得.
∴.
如图，过点作交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由矩形的性质可知，，
又∵，
，
，
则，
，
，相似比为，
，
，
，
；
与的函数关系式为；
，
，
解得，或，
当时，或．
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确的识别图形是解题的关键．
17．，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解即可．
【详解】解：，
，，，
，
，
，．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据方程有两个实数根，既有，求出k的取值范围，得到整数解即可；
（2）根据方程的根与系数的关系得到，，然后代入求出整数k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴整数的为，；
（2）解：∵、是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得，
∴整数的值为．
19．(1)①不是；②或
(2)的取值范围为：且
(3)的值为或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，增减性，最值的计算方法是关键．
（1）根据题意，①设“倍点”坐标为，代入计算即可求解；②同上述计算方法一样；
（2）设“3倍点”坐标为，代入，再根据一元二次方程判别式求解即可；
（3）设“倍点”坐标为，则，即是关于的二次函数，图像开口向上，根据二次函数最值的计算方法求解即可．
【详解】（1）解：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），
∴设“倍点”坐标为，
∴，无解，
∴函数不是“2倍函数”；
，
整理得，，
解得，或，
∴函数的图像上的“2倍点”的坐标为或；
故答案为：①不是；②或；
（2）解：抛物线上有两个“3倍点”，
∴设“3倍点”坐标为，
∴，
整理得，，
∵抛物线有两个“3倍点”，
∴，
解得，，
∴的取值范围为：且；
（3）解：设“倍点”坐标为，
∴，整理得，，
∵图像上存在唯一的一个“倍点”，
∴，
∴，
∴，即是关于的二次函数，图像开口向上，
∴对称轴直线，
当时，的最小值为，根据对称轴于取值范围的关系，分类讨论：
∴①，即，
∴，
解得，；
②当时，，
∴时取到最小值，
∴，整理得，，
解得，（舍去）；
③∴当时，，
∴时取到最小值，
∴，整理得，，无解；
综上所述，的值为或．
20．（1）或；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即，即可得到点，是线段的勾股分割点；
（3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点，
∴分两种情况：
当为斜边时，．
当为斜边时，．
∴或；
故答案为：或；
（2）证明：，
，
将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．

∵，，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴在中，，即，
∴点，是线段的勾股分割点．
（3）解：如图，当点P在上方时，连接，

∵点在上，
∴是的内接三角形，
∴分别在的垂直平分线上，
∵，
∴都是等腰三角形，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵圆心角，
∴，
由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则．
∴，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴；
当点P在下方时，如图，

∵，
∴，
同理得点A，B是线段的勾股分割点，
∴，
同理上一种情况得，
设，则，
∴，
解得：（负值舍去），
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键．
21．(1)300，5400
(2)每顶头盔应降价20元
(3)或4
【分析】本题主要考查了有理数混合运算、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识，正确理解题意是解题关键．
（1）根据“每降价2元，平均每周可多售出40顶”列式求解即可；
（2）设每顶头盔应降价元，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案；
（3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元，根据题意可得，知该函数图像的对称轴为，开口向下，根据当时，利润仍随售价的增大而增大，可知，进而解得，结合题意即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元，
则平均每周售出顶，
共获利元．
故答案为：300，5400．
（2）设每顶头盔应降价元，
根据题意，可得，
整理可得，，
解得，，
当时时，售价为元；
当时时，售价为元；
∵每顶售价不高于58元，
∴每顶头盔应降价20元．
（3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元，
根据题意，得
，
则该函数图像的对称轴为，开口向下，
当时，利润仍随售价的增大而增大，
∴，解得，
∵，且为整数，
或4．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）将代入，得到，根据根的判别式，可求出；
（3）先把代入解析式，求得直线为，抛物线为，再根据题意求得，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，即抛物线的开口向下，
此时，在对称轴左侧，随的增大而增大，
即；
（2）解：将代入，
得，
，
，
整理，得，
直线与抛物线有且只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
整理，得，
，
．
的值为；
（3）解：当时，直线为，抛物线为，
，
，
点在直线上，点在抛物线上，
，
，
，
配方，得，
是的二次函数，且二次项系数小于0，
当时，有最大值，最大值为．
23．(1)；
(2)不符合；理由见解析
(3)米
【分析】（1）延长交x轴于点G，根据斜坡的坡比，得到米，进而得出，，再利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式为，进而得到斜坡与抛物线之间的竖直距离，再根据二次函数的最值求解即可；
（3）将此斜坡放置在平面直角坐标系中，同理可得，抛物线的表达式为，直线的表达式为，从而得到斜坡与抛物线之间的竖直距离为，从而求出的值，令，则，将点代入抛物线解析式，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点G，
∵斜坡的坡比为，米，
∴，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，，
将，代入，
得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：此塑料大棚不符合这一要求，理由如下：
设斜坡的表达式为，
由（1）可得，
将代入，得，
∴，
∴直线的表达式为，
∴斜坡与抛物线之间的竖直距离，
∵，
∴当时，有最大值为，
∴此塑料大棚不符合这一要求；
（3）解：如图，将此斜坡放置在平面直角坐标系中，
同理可得，抛物线的表达式为，直线的表达式为，
∴斜坡与抛物线之间的竖直距离为，
∴的最大值为，
解得（负值已舍去），
∴，
令，则，
将点代入，得，
解得或（舍去），
∴两面墙之间的水平距离为米．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解直角三角形的应用，求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，求一次函数解析式，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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