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2025年中考数学专项训练：圆综合
一、单选题
1．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连结，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，点为直角边上的一点，以点为圆心，为半径作半圆，斜边与半圆相切于点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，是的内接三角形，是的直径，过点C作的切线，过点B作交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，过点作半圆的切线，交于点，交的延长线于点．若，则半径的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的弦，半径，垂足为D，且，则的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A，B，C，D都在上，是的直径，．若，的半径为5，则的正切值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点，在以为直径的半圆上，且，若的度数为，则的度数为 ．
10．如图，是在上的点，，，则的长为 ．（结果保留）
11．如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为 ．
12．如图，是的直径，，则的大小为 ．
13．如图，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径作弧，与正方形各边相交形成如图所示的阴影．向正方形区域内掷飞镖，假设飞镖每次都落在正方形区域中（落在阴影边线处忽略不计），则飞镖击中阴影区域的概率等于 ．
14．如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ．
15．如图，在图①中，为等腰三角形，，分别以点A，C为圆心，，长为半径作弧，两弧在内围成如图①所示的阴影部分，用5个阴影部分的图案拼成如图②的图形，若，则图②中图形的周长是 ．
16．如图，平行四边形的顶点A、B、D在上，交于点F，连接并延长交AB于点E，将线段沿翻折，点A恰好能落在点B处，连接交于点N，若，，则 ， ．
三、解答题
17．已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知的半径是，，求的长．
18．如图，内接于，且是的直径，连接，过点A作的切线，过点C作交切线于点D．
(1)求证：
(2)请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)在（2）的条件下，若求的长．
19．如图，是的直径，弦，点D在上，点E是中点，连接分别交于点F，G．
(1)请直接写出与的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，求与的面积比．
20．如图，中，为直径，与相切于点B，交于点E，D为上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．如图，是的直径，交于点．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出弧的中点，保留作图痕迹；
(2)作，垂足为，证明：是的切线；
(3)连接，若，，求的半径．
22．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、．
【初步探索】
（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．
23．求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并目对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”．
(1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______；
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②“求同存异四边形”中，若，则______；
(2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”；
(3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围．
《2025年中考数学专项训练：圆综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C B C A A
1．D
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由 ，求得 的度数，再结合 是 的直径， 切 于点，即可得到结论．
【详解】解： ,
,
,
是的直径，切于点 ，
即 ，
．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积公式，由切线的性质可得，解直角三角形得出，，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵是半圆的切线，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质．先求得圆的半径，再根据为等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，通过圆心角与圆周角关系及弧长公式可求得的长为；当时，同理可求得的长为．进而可得答案．
【详解】解：连接，，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
当为等腰三角形时，有三种情况：
当时，，
∴，
∴的长为；
当时，，则，
∴，
∴的长为；
当时，，此时点D与点A重合，不符合题意；
综上，的长为或，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据圆周角定理以及平行得到，则根据互余求得，再由等边对等角即可求解．
【详解】解：如图，连接
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形性质，解直角三角形等知识，连接，由，，可得，，即可得，由是的切线，得，故，从而可求出．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了圆上的动点问题，圆的性质，切线定理，勾股定理，弧长公式等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
设与轴的交点为，过点作轴，交轴于点，连接，根据勾股定理求出，确定，求出点滚动的长度，然后利用对应点的长度即可求出点的坐标．
【详解】解：如图1，设与轴的交点为，过点作轴，交轴于点，连接，
轴，轴，点的坐标是，
，
即的半径为10，
，
在中，，
延长与相交，此时交点到点的距离为18，而点的横坐标为18，
故交点为点，
，
如图2，当点第一次落在轴上时，滚动了，
点滚动的距离为：，
点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，
此时，，点的纵坐标为，
点的横坐标为，
点的坐标为，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正弦函数等知识．根据垂径定理知道，而，可以连接构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程，求得，再利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：，
为的中点，，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴，
∴的正弦值等于，
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，圆的相关知识，根据直径所对的圆周角是直角顶点，利用勾股定理可得，则，再证明，得到，则．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．94
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，圆周角定理，平行线的性质，根据题意可得，由平行线的性质得到，则，据此求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故答案为：94．
10．
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是关键．
根据圆周角定理得到的度数，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
∴，
故答案为： ．
11．4
【分析】本题考查了圆周角定理的推论和含30度角的直角三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键；
根据是的直径，的半径为4，可得，，进而可得，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，的半径为4，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：4．
12．50°/度
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，
先根据“同弧所对的圆周角相等”得，再根据“直径所对的圆周角是直角”得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴.
又是直径所对的圆周角，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查几何概率的计算，解题的关键是分别求出阴影部分面积和正方形面积，再根据几何概率公式计算．
设正方形的边长为，则对角线长为，圆弧的半径为，分别计算正方形面积和阴影部分面积，根据几何概率公式，计算镖击中阴影区域的概率．
【详解】如图，设正方形的边长为，则对角线长为，圆弧的半径为，
分别取边的中点，连接，
其中与交于点，则与交于点
，
由对称性知阴影图形的面积为，
飞镖击中阴影区域．
故答案为：
14．2.4
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，连接，过点O作于点H，证明，得，再证明是的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出的长．
【详解】解：连接，过点O作于点H，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴点为的中点，
又点为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴圆心O到的距离是2.4．
故答案为：2.4．
15．
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，弧长公式，根据等腰直角三角形的性质得到，再由弧长公式求出每段弧的弧长即可得到答案．
【详解】解：为等腰直角三角形，
，
，
∴每段弧长为，
∴图②图形的周长为．
故答案为：．
16．
【分析】如图：，由同弧所对的圆周角相等可得，再根据折叠的性质可得，，，进而得到、，再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，由勾股定理可得；如图：连接，设该圆的半径为r，则，由勾股定理可得，再求得；如图：过F作，则，证明可得、；再证明，可得，即；然后再证明可得，进而完成解答．
【详解】解：如图：，
∵，
∴，
∵平行四边形ABCD，
∴，
∴，
∵将线段AD沿DE翻折，点A恰好能落在点B处，
∴，
∴
∴
∴，，
∴，即，解的：，
∴
如图：连接，设该圆的半径为r，则，
由勾股定理可得：，即，解得，
∵，，
∴，
如图：过F作，则，
∴，
∴，，
∴，解得：；，
∵，
∴，
∴，，
∴，解得：；
∴，
∵，，
∴
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、折叠的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；
（2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
，
点是的内心，
，，
，
，，
，
．
（2）解：如图，连接，过点作于，
为的直径，的半径是，，
，是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】本题主要考查切线的性质，作一个角等于已知角，角所对直角边等于斜边一半，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
（1）运用切线的性质证明，根据直径所对的圆周角是直角得，再由可得，从而可得结论；
（2）根据“作一个角等于已知角”可解决问题；
（3）求出，可得，从而得．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求作；
（3）解：由（2）可知，
由（1）可知，
∵，
∴，
∵在中，，
∵在中，，
∴．
19．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）先证明为等边三角形，则，再根据垂径定理推论得到，可得的度数；
（2）作交于点，证明是等边三角形，得，得，证明，再证明，得从而可得结论；
（3）过点C作于点M，过点F作于点H，由，不妨设，则，则，那么，，，在中，由勾股定理得，由，求得，而在中，运用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是中点，经过圆心，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴；
作交于点，
，
∴，
∵,
∴，即,
∴点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点M，过点F作于点H，
由，不妨设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理和三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据三角形内角和定理可以证明，即，则是圆的切线；
（2）先通过垂径定理得到，然后再直角中利用三角函数求得的长，然后即可求解；
【详解】（1）证明：∵为的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：∵，O为圆心，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，熟知圆的相关知识是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求；
（2）先证明，则可证明，得到，据此可证明结论；
（3）过点E作于H，解得到，解得到，则，，，进而可得；再证明，得到，则，可得．
【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求；
∵，
∴由垂径定理可得；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解；如图所示，过点E作于H，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵是弧的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
22．（1）
（2）16
（3）
【分析】（1）由旋转的性质得，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解；
（2）由圆的定义得当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，由圆的内接四边形性质得，可得、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：（1）由旋转得，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为：；
（2）∵是的弦，且的半径为8，
∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
，
∴的最大值是16；
（3）∵，，
∴是的直径，且圆心在上，
∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
，，
，
∵，
∴，
∴、、三点在同一条直线上，
∵，
∴
，
∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∴周长的最大值是．
【点睛】本题考查了旋转的性质，圆的定义，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质等；理解圆的定义，掌握旋转的性质，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质，能找出取得最值的条件是解题的关键．
23．(1)①D；②130
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）①根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质进行判断即可；
②根据“求同存异四边形”的对角互补进行解答即可；
（2）证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论；
（3）分三种情况进行讨论：当时，必有，同时时，必有，当时，当时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：①平行四边形中没有一组邻边一定相等，菱形没有一组对角一定互补，矩形没有一组邻边一定相等，因此，平行四边形，菱形，矩形不一定是“求同存异四边形”；正方形有一组邻边一定相等，一组对角一定互补，因此正方形是“求同存异四边形”；
故选：D．
②∵是“求同存异四边形”，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）证明：垂直平分，
，，，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是“求同存异四边形”；
（3）解：圆内接四边形是“求同存异四边形”，
四边形必有一组邻边相等，
①当时，必有，同时时，必有，
为直径，
，于点，，
，，
；
②当时，，
，
延长至点使得，如图所示：
四边形是圆内接四边形，
，
，
，，
为直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
③当时，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
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