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人教版2024—2025学年七年级下册期末进阶训练领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．如图，已知直线MN//AB，CD⊥MN 于点D. 若∠C=40°，则∠1的度数是（　　）。
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（　　）
A． B．1 C． D．3
4．为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的条形统计图，则参加书法兴趣小组的频率是（　　）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.3
5．把点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知m是不等式的解，而n不是的解，则（　　）
A． B．m C． D．
7．如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于x的不等式的正整数解是　 　．
12．若一组数据的样本容量为40，把它分成6组，前5组数据的频数分别是7，5，8，3，9．则第6组数据的频率是　 　．
13．用不等式表示“的3倍与5的差大于9”为：　 　.
14．如果点在第一象限，那么点第　 　象限．
15．如图，直线m与的一边射线OB相交，，向上平移直线m得到直线n．与的另一边射线OA相交，则　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解方程：．
（2）解不等式：.
18．已知：如图，，.
（1）求证：；
（2）求的度数.
19．某中学准备购进、两种教学用具共40件，种每件价格比种每件贵6元，同时购进3件种教学用具和2件种教学用具恰好用去113元.
（1）求购买5件和8件两种教学用具共用了多少元？
（2）学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买、两种教学用具，问至少能购买多少件种教学用具？
20．如图，∠1＝∠EAB，∠E＋∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．
21．已知：如图，∠B=∠1，∠A=∠E．
（1）求证：AC∥EF；
（2）如果∠F=60°，求∠ACF的度数．
22．根据《河北省电动自行车管理条例》的规定，自2022年5月1日起，骑乘电动自行车需佩戴安全头盔某商店分两次购进A、B两种不同规格的安全头盔，且相同规格的头盔每次进货单价相同．第一次购进A种头盔20个，B种头盔30个，总进价为1200元．第二次购进A种头盔30个，B种头盔40个，总进价为1700元．
（1）A、B两种头盔的进价分别是多少元？
（2）这两批头盔上市后很快销售一空．该商店计划按原进价第三次购进这两种头盔共100个，将新购进的头盔按照表格中的售价销售：
型号 A B
售价（元/个） 60 40
若两种头盔全部售出后的总利润不低于2500元（不计其他成本），至少需要购进A种头盔多少个？
23．在“一带一路”建设中，中国水稻专家将“杂交水稻之父”袁隆平院士的水稻培育技术带到了非洲.在我国专家驻地附近的A村有稻田100亩，B村有稻田200亩，在技术指导前A、B两村的水稻总产量仅80吨.经过我国专家的指导后，现在A村的水稻平均亩产量比原来提高了50%，B村的水稻平均亩产量比原来提高了40%，A、B两村的水稻总产量共114吨.
（1）请分别求出原来A、B两村水稻的平均亩产量：
（2）经过我国专家技术指导之后，A村的水稻出米率为80%，且A、B两村的水稻加工后大米的总重量不低于82.8吨，那么B村的水稻出米率至少为多少？（注：出米率=加工后大米的重量 加工前水稻的重量）
24．如图，在三角形 AOB 中，D 为线段 BO 上一点，E 为线段 AO 上一点，C 为线段 AB 上一点，DE 平分∠CDO，ED 平分∠OEC，∠FDO+∠FDC=180°.
（1）求证：DE⊥DF；
（2）探究∠BDC，∠DCE，∠AEC 的数量关系，并证明你的结论.
25．某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
　 第一次 第二次
A品牌运动服装数（件） 20 30
B品牌运动服装数（件） 30 40
累计采购款（元） 10200 14400
（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的2倍少5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2024—2025学年七年级下册期末进阶训练领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
估计的值在4和5之间，
故选：D．
【分析】由得到，则的值在4和5之间．
2．如图，已知直线MN//AB，CD⊥MN 于点D. 若∠C=40°，则∠1的度数是（　　）。
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：设直线MN与直线l的交点为E
∵ CD⊥MN ，∠C=40°
∴∠CED=90°-∠C=50°
∵ MN//AB
∴∠CED=∠1=50°
故答案为：C.
【分析】先根据直角三角形两锐角互余，计算出∠CED的度数，再根据两直线平行，同位角相等，得出∠CED=∠1=50°.
3．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
，
，
27的立方根是，
，即，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据算术平方根和立方根求出a和b的值，再求解即可。
4．为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的条形统计图，则参加书法兴趣小组的频率是（　　）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.3
【答案】C
【解析】【解答】解：。
故答案为：C。
【分析】根据频率的意义，用参加书法兴趣小组的人数除以 随机调查学生的总人数即可得出参加书法兴趣小组的频率 。
5．把点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】点向左平移3个单位长度后的坐标为（2-3，-3），即（-1，-3），再将其向上平移2个单位后的坐标为（-1，-3+2），即（-1，-1），所以点（-1，-1）在第三象限，
故答案为：C.
【分析】先利用点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求出平移后的点坐标，再根据点坐标与象限的关系求解即可。
6．已知m是不等式的解，而n不是的解，则（　　）
A． B．m C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式5x-2≥3得：x≥1
∵m是不等式的解，n不是不等式的解，
∴m≥1，n＜1
∴m＞n
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再根据题意进行判断即可。
7．如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
8．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式3x-4≥10得：x≥-2，
解不等式x-1＜0得：x＜1，
∴不等式组的解集为-2≤x＜1
故答案为：A.
【分析】分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示即可。
9．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解： ①
， ① 正确
②
， ② 正确
③
， ③ 正确
④
， ④ 正确
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法，结合题意求解即可。
10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于x的不等式的正整数解是　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵x-2<0，
∴x<2，
∴不等式的正整数解是1.
故答案为：1.
【分析】根据移项可得不等式的解集，进而可得不等式的正整数解.
12．若一组数据的样本容量为40，把它分成6组，前5组数据的频数分别是7，5，8，3，9．则第6组数据的频率是　 　．
【答案】0.2
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：0.2.
【分析】先计算第6组的频数，再用频数除以样本容量得到第6组的频率.
13．用不等式表示“的3倍与5的差大于9”为：　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：用不等式表示“x的3倍与5的差大于9”为3x-5>9.
故答案为：3x-5>9.
【分析】x的3倍可表示为3x，差可以用“-”表示，大于可以用“>”表示，据此解答.
14．如果点在第一象限，那么点第　 　象限．
【答案】四
【解析】【解答】解：∵ 点在第一象限 ，
∴x＞0，y＞0，
∴-y-2＜-2，即-y-2＜0，
∴ 点在第四象限，
故答案为：四.
【分析】由第一象限内点的坐标符号可得x＞0，y＞0，从而得出-y-2＜0，据此判断即可.
15．如图，直线m与的一边射线OB相交，，向上平移直线m得到直线n．与的另一边射线OA相交，则　 　．
【答案】210°
【解析】【解答】解：作OC∥m，如图：
∵n是由m向上平移所得，
∴m∥n，
∴OC∥n，
∴∠1=∠BOC=30°，
∵∠2+∠AOC=180°，
∴∠2+∠3=∠2+∠BOC+∠AOC=210°，
故填：210°.
【分析】作OC∥m，利用平移的性质得m∥n，则OC∥n，根据平行线得性质得∠1=∠BOC=30°，∠2+∠AOC=180°，从而得到∠2+∠3得度数.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵点A平移后的对应点D的坐标为，
∴沿轴向右平移3个单位得到，
∵B（4，0），
∴E（4+3，0），即（7，0）；
故答案为：（7，0）.
【分析】由点A平移后的对应点D的坐标为，确定 平移的方向和距离，利用B的坐标，从而确定点E的坐标.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解方程：．
（2）解不等式：.
【答案】（1）解：
解：
（2）解：4x－2x>－1－3
2x>－4
x>－2
【解析】【分析】（1）利用解方程的方法解方程即可；
（2）利用不等式的性质解不等式即可。
18．已知：如图，，.
（1）求证：；
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：设度，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【解析】【分析】（1）由题意易得AE∥FG，由平行线的性质可得∠A=∠2，∠A=∠1，然后由等量代换可得∠1=∠2；
（2）由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可得∠D+∠ABD=180°，结合已知可得关于x的方程，解方程求得x的值，然后根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”可求解.
19．某中学准备购进、两种教学用具共40件，种每件价格比种每件贵6元，同时购进3件种教学用具和2件种教学用具恰好用去113元.
（1）求购买5件和8件两种教学用具共用了多少元？
（2）学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买、两种教学用具，问至少能购买多少件种教学用具？
【答案】（1）解：设 种教学用具每件 元， 种教学用具每件 元，得
，解这个方程组得： .
∴ （元）
答：购买5件 和8件 两种教学用具共用了277元.
（2）解：设购买 种教学用具 件，则购买 种教学用具 件，得
，
解这个不等式组得： ，
∵ 是正整数，
∴ 可以取12，13，14，15，即最小值是12.
答：至少能购买12件 种教学用具.
（以上也可以列不等式 求解）
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：A种每一件的价格=B种每一件的价格+6；3×A种每一件的价格+2×B种每一件的价格=113；设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可.
（2）抓住关键已知条件：学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买A、B两种教学用具，设未知数，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的整数解，即可求解.
20．如图，∠1＝∠EAB，∠E＋∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．
【答案】（1）EF∥AC，
证明：∵∠1=∠EAB，
∴AE∥DC，
∴∠2=∠EAC，
∵∠E+∠2=180°，
∴∠E+∠EAC=180°，
∴EF∥AC；
（2）解：由（1）得EF∥AC，
∵BF⊥EF，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠EAB，∠EAB=60°，
∴∠EAC=30°，
∵由（1）可知AE∥DC，
∴∠2=∠EAC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠2=90°-30°=60°．
【解析】【分析】（1）由∠1=∠EAB可得AE∥DC，从而得出∠2=∠EAC，再结合∠E+∠2=180°，可得出EF∥AC；
（2）由（1）可得出EF∥AC，则有BC⊥AC，可得∠ACB=90°，再结合AC平分∠EAB，∠EAB=60°，可求得∠2=∠EAC=30°，则可求得∠BCD的度数．
21．已知：如图，∠B=∠1，∠A=∠E．
（1）求证：AC∥EF；
（2）如果∠F=60°，求∠ACF的度数．
【答案】（1）解：证明：∵∠B=∠1（已知），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠AME(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠A=∠E（已知），
∴∠E=∠AME（等量代换）．
∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵AC∥EF（已证），
∴∠ACF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠F=60°（已知），
∴∠ACF=120°．
【解析】【分析】（1）先求出 AB∥DE ，再求出 ∠E=∠AME ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠ACF+∠F=180° ，再求出 ∠ACF=120° 即可作答。
22．根据《河北省电动自行车管理条例》的规定，自2022年5月1日起，骑乘电动自行车需佩戴安全头盔某商店分两次购进A、B两种不同规格的安全头盔，且相同规格的头盔每次进货单价相同．第一次购进A种头盔20个，B种头盔30个，总进价为1200元．第二次购进A种头盔30个，B种头盔40个，总进价为1700元．
（1）A、B两种头盔的进价分别是多少元？
（2）这两批头盔上市后很快销售一空．该商店计划按原进价第三次购进这两种头盔共100个，将新购进的头盔按照表格中的售价销售：
型号 A B
售价（元/个） 60 40
若两种头盔全部售出后的总利润不低于2500元（不计其他成本），至少需要购进A种头盔多少个？
【答案】（1）解：设A、B两种头盔的进价分别是x、y元，根据题意得：，解得：答：A中头盔进价20元，B中头盔进价30元．
（2）解：设需要购进A种头盔a个，则购进B种头盔（100－a）个．根据题意得：解得：答：至少需要购进A种头盔50个．
【解析】【分析】（1）设A、B两种头盔的进价分别是x、y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设需要购进A种头盔a个，则购进B种头盔（100－a）个，根据题意列出不等式求解即可。
23．在“一带一路”建设中，中国水稻专家将“杂交水稻之父”袁隆平院士的水稻培育技术带到了非洲.在我国专家驻地附近的A村有稻田100亩，B村有稻田200亩，在技术指导前A、B两村的水稻总产量仅80吨.经过我国专家的指导后，现在A村的水稻平均亩产量比原来提高了50%，B村的水稻平均亩产量比原来提高了40%，A、B两村的水稻总产量共114吨.
（1）请分别求出原来A、B两村水稻的平均亩产量：
（2）经过我国专家技术指导之后，A村的水稻出米率为80%，且A、B两村的水稻加工后大米的总重量不低于82.8吨，那么B村的水稻出米率至少为多少？（注：出米率=加工后大米的重量 加工前水稻的重量）
【答案】（1）解：设原来A、B两村水稻的平均亩产量分别为a吨和b吨，
根据题意得： ，
解得： ，
答：原来A、B两村水稻的平均亩产量分别为0.2吨和0.3吨；
（2）解：经过我国专家技术指导之后，A村的水稻总产量为 (吨)，
B村的水稻总产量为 (吨)，
设B村的水稻出米率为x，
根据题意得： ，
解得： ，
答：B村的水稻出米率至少为70%.
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：在技术指导前A、B两村的水稻总产量仅80吨；在技术指导后A、B两村的水稻总产量共114吨；设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）先分别求出经过我国专家技术指导之后，A村和B村的水稻总产量村；设B村的水稻出米率为x，根据专家技术指导之后，A村的水稻出米率为80%，且A、B两村的水稻加工后大米的总重量不低于82.8吨，列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
24．如图，在三角形 AOB 中，D 为线段 BO 上一点，E 为线段 AO 上一点，C 为线段 AB 上一点，DE 平分∠CDO，ED 平分∠OEC，∠FDO+∠FDC=180°.
（1）求证：DE⊥DF；
（2）探究∠BDC，∠DCE，∠AEC 的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵∠FDO+∠FDC=180°，且∠FDO+∠FDB=180°，
∴∠FDC=∠FDB ，
∵DE 平分∠ODC，
∴∠ODE=∠EDC ，
∵ ∠CDB+∠CDO=180°，
∴ ，
∴∠EDC+∠FDC=∠EDF=90°，
∴DE⊥DF.
（2） 证明：过 E 点作EG//DF，过C点作CH DF，如下图所示，
∴∠FDE+∠DEG=180°，
又∠FDE=90°，
∴∠DEG=90°，
∵DE 平分∠CEO，
∴∠CED=∠OED，∠AEC=180°-∠OEC=180°-2∠CED，
∠CEG=∠DEG-∠CED=90°-∠CED，
∴∠AEG=∠AEC-∠CEG=(180°-2∠CED) -(90°-∠CED)=90°-∠CED，
∴ ∠CEG = ∠AEG，
∴EG是∠AEC的角平分线，
∴ ∠CEG = ∠AEG ，
∵DF EG，
∴CH EG，
∴∠CEG=∠ECH，
∴∠HCD=∠FDC，
∠CEG+∠FDC=∠DCE，
∴ .
【解析】【分析】(1)证明∠FDC=∠FDB，进而得到DF是∠BDC的角平分线，同时DE是∠ODC的平分线，由此可得∠EDC+∠FDC= 从而即可解决问题；
(2)过 E 点作 EG//DF，过C点作CH DF，证明EG是∠AEC角平分线，进而由EG//DF， CH DF得到∠GEC=∠ECH，∠FDC=∠DCH，进而得到 .
25．某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
　 第一次 第二次
A品牌运动服装数（件） 20 30
B品牌运动服装数（件） 30 40
累计采购款（元） 10200 14400
（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的2倍少5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
【答案】（1）解：设A品牌运动服的单价为x元/件，B品牌运动服的单价为y元/件，
根据题意得， ，
解得
答：A品牌运动服的单价为240元/件，B品牌运动服的单价为180元/件；
（2）解：设购进A品牌运动服m件，则购进B品牌运动服（ ）件.
根据题意得 ，
解得 ，
∴ .
∵ 为整数，
∴ 最大值为69.
答：最多能购进B品牌运动服69件.
【解析】【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出方程组，求解得出答案；
（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的2倍少5件，在采购总价不超过21300元条件下，列出不等式求出答案.
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