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北师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．三角形的三条角平分线一定交于一点
C．a、b、c是同一平面内的三条直线，如果，，那么
D．a、b、c是同一平面内的三条直线，如果，那么
2．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过年，石头上会形成一个深为的小洞数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将纸片沿着线段EF剪成两个图形，已知AB∥CD，∠1=75°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
4．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线是起跳线，则需要测量的线段是（　　）
A．AE B．AC C．AD D．BE
5．下列事件是必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．三角形内角和是180°
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边长不可能是（　　）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
9．如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△BED的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．4 C．12 D．16
10．如图，，，，分别是，的平分线，于．下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确结论的个数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．点在直线上，， ， ，则∠=　 　
12．已知x+y＝8，xy＝14，则x2+y2＝　 　．
13．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域　 　．（填序号）
14．比较大小：（-）-2　 　20190．
15．等腰三角形的一边长是12cm，另一边长是6cm，则它的周长是　 　cm．
16．已知 ，则 =　 　.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）若向这个袋子加入5个红球，从袋中随机摸出一个球，求摸到不是红球的概率．
18．如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．
19．已知，如图所示，在中，．
（1）作的角平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）若，，求的面积．
20．如图，CE平分∠BCF，∠DAC＝126°，BC∥EF，∠ACF＝∠FEC＝18°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若∠AEC＝72°，求∠DAE的度数．
21．如图，直线//，，、在上，且满足，平分.
（1）求的度数；
（2）求的比值.
22．如图，在 和 中， ， 为锐角， ， ，连接 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
（1） 与 全等吗？为什么？
（2） 与 有何特殊的位置关系，并说明理由．
23．如图，AB，CD为两条射线，AB∥CD，连接AC．
（1）尺规作图：在CD上找一点E，使得AE平分∠BAC，交CD于点E．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在题（1）所作的图形中，若∠C＝120°，求∠CEA的度数．
24．如图，在的正方形网格中，A，B，C点均是格点，仅用无刻度直尺，分别按要求作图．
（1）在图1中过点C作出直线AB的垂线CE；
（2）在图2中标出格点D，作一条射线AD，使得．
25．如图，在等边 中，已知点 在直线 上（不与点 、 重合），点 在直线 上，且 ．
图1
图2
（1）若点 为线段 的中点时，求证： ；
（2）若 的边长为2， ．求 的长．
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北师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．三角形的三条角平分线一定交于一点
C．a、b、c是同一平面内的三条直线，如果，，那么
D．a、b、c是同一平面内的三条直线，如果，那么
【答案】D
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，说法正确，故A选项不符合题意；
B、三角形的三条角平分线一定交于一点，说法正确，故B选项不符合题意；
C、a，b，c是同一平面内的三条直线，如果a//b，b//c，那么a//c，说法正确，故C选项不符合题意；
D、a、b、c是同一平面内的三条直线，如果a⊥b，b⊥c，那么a//c，故D选项不正确.
故答案为：D.
【分析】A据题目要求，对顶角相等：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做互为对顶角、对顶角相等，
B.三角形的三条角平分线去一定交于一点，考查三角形的角平分线的性质。
C. a、b、c是同一平面内的三条直线，a//b，b//c，则a//c利用平行线的性质，可以推的结论.
D.a、b、c是同一平面内的三条直线，a⊥b，b⊥c，则a不一定⊥c.
2．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过年，石头上会形成一个深为的小洞数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：0.0000052=5.2×10-6.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．如图，将纸片沿着线段EF剪成两个图形，已知AB∥CD，∠1=75°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=75°，
∴∠2=∠1=75°.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，内错角相等，则∠2=∠1，据此解答.
4．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线是起跳线，则需要测量的线段是（　　）
A．AE B．AC C．AD D．BE
【答案】B
【解析】【解答】解：需要测量的线段是AC.
故答案为：B.
【分析】跳远成绩的测量方法：后脚跟到起跳线的距离，据此解答.
5．下列事件是必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．三角形内角和是180°
【答案】D
【解析】【解答】解：A： 打开电视，正在播放神舟载人飞船发射 ，事件有可能发生，是随机事件，所以A不符合题意；
B： 掷一枚骰子，点数是3的面朝上 ，事件可能发生，是随机事件，所以B不符合题意；
C： 两直线被第三条直线所截时，同位角相等 ，是随机事件，所以C不符合题意；
D：三角形内角和是180°，是必然事件，所以D符合题意。
故答案为：D。
【分析】分别判断各个事件是不是必然事件，即可得出答案。
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：b.b2=b3，b+b2，因为不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B：3b-2b=b，所以B正确；
C：（2b）3=8b3，所以C不正确；
D：b6÷b3=b3，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据整式的运算法则正确计算，即可得出正确答案。
7．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵，，
∴∠ABC=∠C=，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=70°，
∴∠CBE=180°-∠C-∠BEC=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=70°-40°=30°，
故答案为：C。
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
8．一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边长不可能是（　　）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
【答案】D
【解析】【解答】设第三边长为acm，由三角形的三边关系可得：
5-4＜a＜5+4
即1＜a＜9
故答案为： D
【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案
9．如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△BED的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．4 C．12 D．16
【答案】D
【解析】【解答】由作图可知，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，
∵AB＝AC
∴BD＝CD
故答案为：D
【分析】由作图可知，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，利用等腰三角形的性质，三角形的中线的性质求解即可
10．如图，，，，分别是，的平分线，于．下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确结论的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵AB//CD
∴
∴不一定等于180°，故①说法不符合题意；
②∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴，故说法②符合题意；
③∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴∠FBC=∠BCG
∴BF//CG，故③说法符合题意；
④∵BC//DE
∴
∵，即
∴
∴
∵CG平分
∴
∴DG平分∠CDE，故④说法符合题意；
⑤∵AB//CD
∴
又BC//DE
∴
∴
∵BF是∠ABC的平分线
∴
又DG是∠CDE的平分线
∴∠CDE=2∠GDC
∴
∴，故⑤说法符合题意，
综上，说法正确的结论有②③④⑤共4个，
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质，结合图形，对每个结论一一判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．点在直线上，， ， ，则∠=　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵OF⊥OC，∴∠COF=90°，
∴∠BOC+∠AOF=90°，
∵ ，∴∠COD=2∠BOC，
∵ ，∴∠AOF=4∠BOC，
∴∠BOC+∠AOF=∠BOC+4∠BOC=90°，
∴∠BOC=18°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=162°；
故答案为：162°.
【分析】由垂直的定义及平角的定义可得∠BOC+∠AOF=90°，由 ，
，可推出∠AOF=∠COD=4∠BOC，从而求出∠BOC的度数，根据邻补角的定义即可求解.
12．已知x+y＝8，xy＝14，则x2+y2＝　 　．
【答案】36
【解析】【解答】解： ∵x+y＝8，xy＝14，
∴x2+y2＝（x+y）2-2xy=82-2×14=36；
故答案为：36.
【分析】由于x2+y2＝（x+y）2-2xy，再整体代入计算即可.
13．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域　 　．（填序号）
【答案】④
【解析】【解答】当正方形添加在④区域的时候，新图形为轴对称图形。
故答案为：④。
【分析】利用轴对称图形的定义求解即可。
14．比较大小：（-）-2　 　20190．
【答案】
【解析】【解答】∵（-）-2 =9， 20190=1，
∴（-）-2 >20190，
故答案为：>。
【分析】先化简，再比较大小即可。
15．等腰三角形的一边长是12cm，另一边长是6cm，则它的周长是　 　cm．
【答案】30
【解析】【解答】∵等腰三角形的一边长为6，另一边长为12
有两种情况：①12为底，6为腰，因为6+6＝12，应舍去
②6为底，12为腰，那么12+12+6＝30
∴该三角形的周长是12+12+6＝30cm
故答案为：30
【分析】分为两种情况6为底或12为底，还要注意是否符合三角形三边关系
16．已知 ，则 =　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵①，
又由 得：ab=2(a+b)+2 ②，
将②代入①得： ，
故答案为：6
【分析】将（a﹣2）（b﹣2）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=2(a+b)+2代入合并即可得.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）若向这个袋子加入5个红球，从袋中随机摸出一个球，求摸到不是红球的概率．
【答案】（1）解：∵在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，∴共有球2+3+5=10个，有2个黄球，∴P（黄球）=；答：从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是．
（2）解：袋中原有10个球，再向这个袋子加入5个红球，共有15个球，其中，有2个黄球，3个黑球∴P（不是红球）=答：从袋中随机摸出一个球不是红球的概率是．
【解析】【分析】（1）用红球的个数除以球的总数，即可求得是黄球的概率；
（2）用不是红球的个数除以球的总数，即可求得不是红球的概率。
18．如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，，∴；
（2）解：，理由如下：∵，∴，∵点E是AB的中点，∴．
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的性质证明即可；
（2）利用三角形全等的性质证明即可。
19．已知，如图所示，在中，．
（1）作的角平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：∠B的平分线BD如图所示：
（2）解：过点D作DH⊥AB交AB于点H，如图所示：
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DC=DH，∵CD=3，AB=10，∴DH=3，∴．
【解析】【分析】（1）根据要求作出角平分线即可；
（2）利用三角形的面积公式计算即可。
20．如图，CE平分∠BCF，∠DAC＝126°，BC∥EF，∠ACF＝∠FEC＝18°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若∠AEC＝72°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）证明：∵BC∥EF，
∴∠ECB＝∠FEC=18°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB＝∠FCE=18°，
∴∠ACB＝18°+18°+18°＝54°，
∴∠DAC+∠ACB＝126°+54°＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠AEC＝70°，
∴∠AEF＝72°﹣18°＝54°．
∵AD∥EF
∴∠DAE＝∠AEF＝54°
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，可求出∠ECB的度数；再利用角平分线的定义求出∠FCE的度数，即可得到∠ACB的度数；然后求出∠DAC+∠ACB的度数；然后利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
（2）利用已知∠AEC的度数，可求出∠AEF的度数；然后利用两直线平行，内错角相等，可求出∠DAE的度数.
21．如图，直线//，，、在上，且满足，平分.
（1）求的度数；
（2）求的比值.
【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
（2）解：，
，，
，
，
即，.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AOC+∠C=180°，结合∠C的度数可得∠AOC的度数，根据角平分线的概念可得∠EOF=∠COF，由已知条件知∠FOB=∠AOB，则∠FOB=∠AOF，然后根据∠EOB=∠EOF+∠FOB进行计算；
（2）根据平行线的性质可得∠AOB=∠OBC，∠OFC=∠AOF，由已知条件知∠FOB=∠AOB，则∠AOF=2∠AOB=2∠OBC，据此解答.
22．如图，在 和 中， ， 为锐角， ， ，连接 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
（1） 与 全等吗？为什么？
（2） 与 有何特殊的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：全等．
因为 ，
所以 ，
即 ．
在 和 中，
， ，
所以 ．
（2） ， 的特殊位置关系为 ．
理由：由（1）知 ，
所以
因为
又因为 ， ，
所以
所以 ．
【解析】【分析】（1）全等。由 ，得出 ，由 ， ， ，即可得出；
（2） ， 的特殊位置关系为 ．由，得出，因为，， ， ，得出，即得到 ．
23．如图，AB，CD为两条射线，AB∥CD，连接AC．
（1）尺规作图：在CD上找一点E，使得AE平分∠BAC，交CD于点E．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在题（1）所作的图形中，若∠C＝120°，求∠CEA的度数．
【答案】（1）解：如图，射线AE即为所求．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠CAB＝60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝ ∠CAB＝30°，
∴∠AEC＝∠BAE＝30°．
【解析】【分析】（1）利用尺规作∠CAB的角平分线即可；
（2）利用平行线的性质求出∠CAB，再利用角平分线的定义求出∠BAE即可。
24．如图，在的正方形网格中，A，B，C点均是格点，仅用无刻度直尺，分别按要求作图．
（1）在图1中过点C作出直线AB的垂线CE；
（2）在图2中标出格点D，作一条射线AD，使得．
【答案】（1）解：如下图所示，将C点向下平移5个单位，再向左平移1个单位，得到E点，连接CE，即为直线AB的垂线．
证明：观察格点可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，或即为所求射线，
证明：观察格点可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可证．
【解析】【分析】（1）利用格点构造全等的直角三角形，确保AB与CE的夹角为直角，切忌过点C直接作AB的垂线；
（2）构造全等的直角三角形，使得三角形ABD是以AB为底边的等腰直角三角形，显然符合要求的点D有两个。
25．如图，在等边 中，已知点 在直线 上（不与点 、 重合），点 在直线 上，且 ．
图1
图2
（1）若点 为线段 的中点时，求证： ；
（2）若 的边长为2， ．求 的长．
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形， 为 的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）解：如图， 在线段 上时，
∵ ， ，∴点 是 的中点，
由（1）知， ，∴ ；
如图， 在线段 的反向延长线上时，
∵ ， ，∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
过 作 交 的延长线于 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为1或3．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
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