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襄阳五中 2025 届高三下学期适应考试四数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数 满足 ，则在复平面内 对应的点的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 抛物线
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 的部分图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
5. 在等差数列 中，前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 18 B. 33 C. 36 D. 40
6. 若直线 与双曲线 无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 AC 边上的高的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
{#{QQABJYKk4wIQwJZACZbaAQGMCwuQkJISLQoORRAAKEYCABFABAA=}#}
8. 已知函数 ，若对于任意的 ，
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9. 下面说法正确的是（ ）
A. 若数据 ， ，…， 的方差为 8，则数据 ， ，…， 的方差为 4
B. 若 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C. 已知 是随机变量，则
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的值越接近于 1
10. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿
基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为 ，下列结论正确的有（ ）
A. 平面 B. 该石凳的体积为
C. ， ， ， 四点共面 D. 点 到平面 的距离为
11. 在光纤通信中，用光信号的不同强度或状态来代表二进制中的 1 和 0，因此常用 0 和 1 组成的有序
数组 的形式表示信息， 被称为一
个长为 的字，设 ， 分别为两个长为
的字，令 表示使 的 的个数，例如 ，
则 ，则( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则满足 ，字长为 5 的字 的个数为 5
C. 若 ，则满足 ，字长为 6 的字 中有且仅有 3 个 1 相邻的字 的概率为
D. 若 ， ， ，
则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 的焦点为 ， 是 上异于原点 的一点，过点 的
直线 的方程为 ，设 与 轴交于 点，则 的值为____.
13. 4 名医生和 2 名护士站成一排，要求 2 名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法
共有_____种．
14. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 边上的高为 .若 ，
则 的最大值为________.
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1) 求 、 、 的值．
(2) 求数列 的通项．
(3) 求数列 的前 项和．
16. 斜四棱柱 中，底面 为平行四边形， ，
， ， .
(1) 求四棱柱 的体积；
(2) 求平面 与平面 的夹角的正切值.
17. 已知函数
(1) 当 时，求证：
(2) 若 对 恒成立，求 的取值范围.
18. 在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点
变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常
用大写英文字母 ， ，…表示.
(1) 如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到
原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2) 在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的
双曲线方程 ；
(3) 已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（
在第一象限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证：
为定值.
19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内
随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车
站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内
的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量
服从参数为 的泊松分布（记作 ），则其概率分布为 ，
，其中 为自然对数的底数．
(1) 当 时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此
时可认为 ．若 ，求 的值（保留三位小数）；
(2) 某公司制造微型芯片，次品率为 ，各芯片是否为次品相互独立，以 记产品中的次品数．
① 若 ，求在 个产品中至少有 个次品的概率；
② 若 ，求在 个产品中至少有 个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了
什么规律
(3) 若 ，且 ，求 的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若 ，则一有 ，
， ； ，
， ．
参考答案
1-8 BBCCB BBA
9-11 BC AC AC
12. 1
13. 408
14. 4
15. 解：（1）由条件知 ，
， ．
（2）当 为奇数且 时，
， 也符合，
所以当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ；
所以数列
（3）由题可知 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和为
.
16. 解：（1）
{#{QQABJYSUggiAAhAAARhCQQWqCkMQkAGACQoORAAYMAAAAAFABAA=}#}
如图，连接 交 于 ，连接 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
因 ，故 ，即 ， ，
故 为等边三角形， ，由题意， ，
则 ，
由题意可得 ，
整理可得 ，得 ，
则 为等边三角形，故 ，
又 ，故 为等边三角形，故 ， ，
又 ，
在 中，由余弦定理可得 ,
，
因 ，故平行四边形 为菱形，故 ，
又 ， ， 平面 ，故 平面 ，
作 ，由 平面 ，则 ，
由 ， 平面 ，则 平面 ，
即 为斜四棱柱 的高，
在直角三角形 中， ，
；
（2）
{#{QQABJYSUggiAAhAAARhCQQWqCkMQkAGACQoORAAYMAAAAAFABAA=}#}
取 的中点 ，连接 ，由（1）可知 为等边三角形，
则 ， ，
故 为平面 与平面 所成角的一个平面角，
在 中，由余弦定理可得 ，
.
17. （1）由 ，得 .
要证 只要证
令 ，则
当 时， 则 单调递减，
当 时， 则 单调递增，
所以 则 即
（2）由已知可得 ，
令 ，求导可得 ，
(1)当 时，由 ，得 ，因此 ，满足题意.
(2)当 时，由 ，得 ，则 在 上单调递增.
①当 时， ，所以 ，即 在 单调递
增，
{#{QQABJYSUggiAAhAAARhCQQWqCkMQkAGACQoORAAYMAAAAAFABAA=}#}
所以 在 单调递增，所以 ，
则 在 上单调递增，所以 满足题意.
②当 时， ， ，则存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，
所以 不满足题意.
综上：
18.
解：（1）设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为 = ；
（2）设曲线 上任意一点 在旋转角是 的旋转变换下所得点坐标为 ．
则 即
得 ，
所求曲线方程为 ．
（3）
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直线 斜率存在时，可设直线 的方程为 ，设 ， ，
由 得 ，则 >0 -3>0 > ,
所以 ， ，
当 时，取 ，所以直线 方程为： ．
直线 方程与双曲线 方程联立可得 ，解得 或 ，
所以 ．
所以 ，所以 ，可得
当 时，设 的斜率分别为 .
， ．
所以 ，
，
所以 ．
因为 在第一象限，所以 ，所以 ，所以 ．
直线 斜率不存在时，可得 ，
{#{QQABJYSUggiAAhAAARhCQQWqCkMQkAGACQoORAAYMAAAAAFABAA=}#}
可得 ， ，
所以 ，同理可得 ．
综上可得， 为定值 ，得证．
19.
解：（1）因为当 ，且 时，可近似地认为 ，即
，
这里 ， ，
所以，
.
（2）①若 ，则
；
②若 ，其中 ，
则 .
比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果
是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布.
（3）由于 ，所以， ，
由泊松分布的概率公式可得 ， ，
所以， ，
因为 ，即 ，
构造函数 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
由于 ， ，所以， ，
又因为 ，需要比较 与 的大小，
{#{QQABJYSUggiAAhAAARhCQQWqCkMQkAGACQoORAAYMAAAAAFABAA=}#}
而 ，所以，相当于比较 与 的大小，
构造函数 ，
所以， 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递减，且 ，
所以， ，所以， ，
即 ，
且 ，需要比较 与 的大小关系，而 ，
所以相当于比较 与 的大小，
构造函数 ，其中 ，且 ，
，
当 时， ，所以，函数 在 上单调递增，
即 ，即 ，即 ，
因此， 的最大值为 .
{#{QQABJYSUggiAAhAAARhCQQWqCkMQkAGACQoORAAYMAAAAAFABAA=}#}

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