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第 5章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程
课时 3积分问题与行程问题
知识点 1积分问题
1.为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如表：
胜一场 平一场 负一场
积分（分） 3 1 0
人均奖金（元） 1500 700 0
当比赛进行到每队比赛完 12场时，A队共积分 20 分，并且没有负一场.
（1）试判断 A队胜、平各几场.
（2）每赛一场，A队每名队员均得出场费 500元，那么比赛完 12场后，A 队每名队员所得奖
金与出场费累计为多少元？
知识点 2行程问题
2.如图，等边三角形跑道的三个端点 ， ， 上分别站着甲、乙、丙三人，其中甲的速度是丙
的 5倍.若三人同时顺时针出发，20分钟后甲首次追上丙，同时乙也首次追上了丙.若三人同
时逆时针出发，甲首次追上丙和首次追上乙之间相差( )
A.20 分钟 B.30分钟 C.35分钟 D.40分钟
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第 5章 一元一次方程
3.如图，一个直径为6cm的圆中阴影部分面积为 ，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同
一条直线同时相向无滚动滑动.圆每秒滑动3cm，正方形每秒滑动2cm，第______秒时，圆与
正方形重叠部分面积是 .
4.某人乘船在顺次有 A、C、B三地的河流上行驶，先由 A地顺流而下到 B地，然后又逆流而上
到 C地，共乘船6h.已知船在静水中的速度是16km/h，水流速度是4km/h，若 A、C两地间的
距离为4km，设 A、B两地间的距离为 km.
（1）B、C两地间的距离为________km（用含有 的式子表示）；
（2）A、B两地间的距离是______km.
5.甲、乙两地相距600km，一辆客车从甲地开往乙地，速度为60km/h，一辆出租车从乙地开
往甲地，速度为100km/h，两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶.设客车行驶时间为 h.
（1）出发多长时间两车相遇（中途不停留）？
（2）分别写出 = 3， = 5和 = 8时两车的距离（中途不停留）；
（3）甲、乙两地之间有 A、B两个加油站，相距200km，若客车进入 A站加油时，出租车恰好
进入 B站加油.求 A加油站到甲地的距离.
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5.3实际问题与一元一次方程
课时 3积分问题与行程问题
知识点 1积分问题
1.为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如表：
胜一场 平一场 负一场
积分（分） 3 1 0
人均奖金（元） 1500 700 0
当比赛进行到每队比赛完 12场时，A队共积分 20 分，并且没有负一场.
（1）试判断 A队胜、平各几场.
解：设 A队胜 场，则平(12 )场.由题意得3 + (12 ) = 20，解得 = 4，
所以12 = 12 4 = 8.
答：A队胜 4场，平 8场.
点拨：设 A队胜 场，则平(12 )场.根据积分列出方程求解是解题的关键.
（2）每赛一场，A队每名队员均得出场费 500元，那么比赛完 12场后，A 队每名队员所得奖
金与出场费累计为多少元？
解：因为每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，赢了4场，奖金为1500 × 4 = 6000
（元），平了 8场，奖金为700 × 8 = 5600（元），所以奖金加出场费一共 17600元.
答：比赛完 12场后，A队每名队员所得奖金与出场费累计为 17600元
知识点 2行程问题
2.如图，等边三角形跑道的三个端点 ， ， 上分别站着甲、乙、丙三人，其中甲的速度是丙
的 5倍.若三人同时顺时针出发，20分钟后甲首次追上丙，同时乙也首次追上了丙.若三人同
时逆时针出发，甲首次追上丙和首次追上乙之间相差( )
A.20 分钟 B.30分钟 C.35分钟 D.40分钟
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第 5章 一元一次方程
解析：设丙的速度为 ，则甲的速度为5 .设乙的速度为 乙，等边三角形跑道的边长为 .由题
意可得20(5 ) = 2 ，20( 乙 ) = ，解得 = 40 ， 乙 = 3 .设甲追上乙需要 1分钟，
由题意可得 1 × (5 3 ) = 2 = 80 ，解得 1 = 40.设甲追上丙需要 2分钟，由题意可得
2 × (5 ) = = 40 ，解得 2 = 10，所以甲首次追上丙和首次追上乙之间相差 1 2 = 40
10 = 30（分），故选 B.
点拨
解题的关键是根据追及问题公式（追及时间×速度差=路程差），结合题目条件求出三人的速
度关系.
3.如图，一个直径为6cm的圆中阴影部分面积为 ，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同
一条直线同时相向无滚动滑动.圆每秒滑动3cm，正方形每秒滑动2cm，第______秒时，圆与
正方形重叠部分面积是 .
解析：设第 秒时，圆与正方形重叠部分面积为 .当圆与正方形刚接触重叠时，如图（1），
根据题意，得2 + 3 + 2 = 22，解得 = 4；
图（1）
图（2）
当圆与正方形将要分开重叠时，如图（2），根据题意，得2 + 3 (6 + 2) = 22，解得 = 6.
综上，第 4或 6秒时，圆与正方形重叠部分面积为 .故答案为 4或 6.
4.某人乘船在顺次有 A、C、B三地的河流上行驶，先由 A地顺流而下到 B地，然后又逆流而上
到 C地，共乘船6h.已知船在静水中的速度是16km/h，水流速度是4km/h，若 A、C两地间的
距离为4km，设 A、B两地间的距离为 km.
（1）B、C两地间的距离为________km（用含有 的式子表示）；
解析：因为 A、C两地间的距离为4km，A、B两地间的距离为 km，所以 B、C两地的距离为(
4)km.故答案为( 4).
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第 5章 一元一次方程
（2）A、B两地间的距离是______km.
4
解析：由题意得 + = 6，解得 = 47.5，所以 A、B两地间的距离是47.5km.故答案为
16+4 16 4
47.5.
5.甲、乙两地相距600km，一辆客车从甲地开往乙地，速度为60km/h，一辆出租车从乙地开
往甲地，速度为100km/h，两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶.设客车行驶时间为 h.
（1）出发多长时间两车相遇（中途不停留）？
15 15
解：根据题意得60 + 100 = 600，解得 = ，所以出发 h两车相遇.
4 4
（2）分别写出 = 3， = 5和 = 8时两车的距离（中途不停留）；
解：当 = 2时，两车相距600 2 × (60 + 100) = 280(km)；当 = 5时，两车相距5 × (60 + 100
) 600 = 200(km)；当 = 8时，出租车已经到达目的地，此时两车距8 × 60 = 480(km).
（3）甲、乙两地之间有 A、B两个加油站，相距200km，若客车进入 A站加油时，出租车恰好
进入 B站加油.求 A加油站到甲地的距离.
600 200
解：设 A 加油站到甲地的距离为 km.当 A 加油站比 B 加油站更靠近甲地时， = ，
60 100
600 +200
解得 = 150；当 A加油站比 B加油站更靠近乙地时， = ，解得 = 300，所以 A
60 100
加油站到甲地的距离为150km或300km.
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