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萧红中学2025届毕业班·综合训练（三）
考号
数学学科试卷
姓名
一、选择题（每小题3分，共计30分）》
1.哈尔滨市四月份某天的最低气温为-3℃，最高气温为8℃，则这一天的最高气温比最低气温
高()
班级
A,5℃
B.11℃
C.-11℃
D.-5℃
2.下列运算正确的是（
A.m÷m3=m
B.m2-m=m
C.(m+1)(m-1)=m2-1
D.m°=0
学校
3.下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
装
米
订装
4.下图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，其左视图是(
线
订
正面
内
5.反比例函数ym+
的图像在每一个象限内，y都随x的增大而
增大，则m的取值范围是(
不
A.m<-2
B.m>-2
C.m>2
D.m<2
线
6.如图，在Rt△ABC中，∠C90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分
要
别交BC,BA于点D,E,再分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径作
弧，两弧在∠ABC的内部相胶于点P,作射线BP交AC于点F.已知CF=3,AF=5,
第6题图
则BF的长为
答
A.3V5
B.2√5
C.4
D.4V2
题
7.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若⊙0半径为4，且∠B=2∠D,
连接AC,则线段AC的长为()
A.42
B.4v3
C.6
D.8
第7题图
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8.如图，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE(点B与点D是对应点，点C点E是对应点)，连
接BE,若AC=BC,∠ACB=1O0°，则∠BED的度数为(
A.130°
B.131
C.1329
D.133
9,如图，在□ABCD中，点E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC交CD于点F,连接AF并延长
交BC的延长线于点H.则下列结论中错误的是(
A=B熙=
AE
C.
·B丽=AB
D.AE CH
CD AH
BE
EF
A
第8题图
第9题图
第10题图
10.如图在正方形ABCD中，AC与BD交于点O,H为AB延张线上的一点，BH=BD,连接DH,分别交
AC,BC于点起，F,连接E,
则下列结论：0器=V2:②an 作2v2-2:@B距平分∠C0:@
2AB2=DE·DH.其中正确结论的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（每题3分，共30分）
11.雾霾已经成为现在生活中不得不面对的重要问题，PM2.5是大气中直径小于或等于0.000
002'5米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为
12.在函数y2x中，自变量x的取值范围是」
3-X
13.计算93
-√2的结果为
14.把多项式2a3-4a+2a分解因式的结果是
15.分式方程的
2
3
=0解为
x-1x+1
16.一个不透明的袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机
摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率为
17.已知扇形的弧长为2π，圆心角为120°，则扇形面积为
18.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，点F是BC的中点，点E是对角线BD上的一个动
点，则EA+EF的最小值为
19.矩形ABCD,AB=7,BC=10,点E在BC的垂直平分线上，∠BEC=90°，则DE的长为一
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南岗区 2025 年数学学科
答案
选择题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C D C A A B A D B
填空题答案：
-6
11. 2.5×10 12.x≠3 13. 14. 2
15. x=5 16. 17.3π 18.
19. 13 或 20.
三、解答题（其中 21-22题各 7分，23-24 题各 8分，25-27 题各 10分，共计 60 分）
21.解：原式= --------1 分
= --------1 分
= .--------1 分
= .--------1 分
∵a= -2× = -1, --------2 分
∴原式= --------1 分
22.(1)如图：--------3 分
(2)如图, --------3 分
CE= --------1 分
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23.解：（1）8÷20%=40（本）.
答：本次抽样调查的书籍有 40 本. --------3 分
（2）40-8-14-12=6（本）.
答：其它类书籍有 6 本. --------1 分
补全条形图如图：--------1 分
（3）解：1 200× =360(本).
答：估计科普类书籍有 360 本. ------3 分
24. 解：（1）略------------4 分
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝ BD＝3，
∴OA＝ ＝ ＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴菱形 ABCD 的面积＝ AC×BD＝ ×8×6＝24，
∵CE⊥AB，
∴菱形 ABCD 的面积＝AB×CE＝5CE＝24，
∴CE＝ ．--------4 分
25.解：(1)设 A种纪念品每件的进价为 x元，则 B种纪念品每件的进价为(x+10)元.
,解得 x=40
经检验 x=40 是原分式方程的解.∴x+10=40+10=50.
∴A种纪念品每件的进价为 40元，B种纪念品每件的进价为 50元. --------5 分
(2)设购进 A种纪念品 a件.
(45-40)a+(60-50)(200-a)≥1600,解得 a≤80.
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∴A种纪念品最多购进 80件. --------5 分
26.（1）证明：连接 OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAD+∠ODA＋∠AOD=180°,
∴2∠OAD+∠AOD=180°.
即∠OAD+ ∠AOD=90°.
∵弧 AD=弧 AD,∴ ∠AOD=∠ACD.
∴∠OAD+∠ACD=90°.
∵AB⊥CD,∴∠ACD+∠CAB=90°.∴∠CAB=∠OAD. --------3 分
（2）证明：过点 O 作 OP⊥CD 于点 P.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵AB⊥CD,
∴∠OAB+∠AFH=90°,
∠OBA+∠BEH=90°.
∴∠AFH=∠BEH.
∵∠OEF=∠BEH,
∴∠OFE=∠OEF.∴OE=OF.
∵OP⊥CD,∴EP=FP,CP=DP.
∴CP-FP=DP-EP.∴CF=DE. --------3 分
（3）解：过点 O 作 OP⊥CD 于点 P，延长 PO 交 DA 的延长线于点 G，连接 DB.
∵OA=BO,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠ACD=∠ABD,∠DBE=∠ABD+∠OBA,
又∠DEB=∠BAO+∠ACD,∴∠DEB=∠DBE.
∴DB=DE.
∵AB⊥CD,
∴∠AHD=∠OPD=90°.∴PG∥AB.
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∴∠BAD=∠G,∠BAO=∠AOG.
∵∠CAB=∠OAD,∴∠CAF=∠BAD.
∵∠DEB=∠BAO+∠ACD=∠OEF=∠OFE=∠ACD+∠CAF,
∴∠BAO=∠CAF.∴∠BAD=BAO.
∴∠AOG=∠G.∴AO=AG.
∴AD+AO=AD+AG=DG.
∵OP⊥CD,∴DC=2DP.
∵AO+AD= CD,∴ = .
∵DP2+PG2=DG2,∴ =2=tan∠PDG= .
∵DH=3,∴AH=6.
∵∠OAB=∠AOG,∴∠G=∠ABO.∴∠PDG=∠BEH.
∴tan∠BEH=2.∴BH=2EH.
设 EH=k,BH=2k,则 DB=DE=k+3.
∵DH2+BH2=DB2,∴32+(2k)2=(k+3)2.
∴k1=0(舍去），k2=2.∴BH=4.
∴AB=AH+BH=10.
过点 O 作 OM⊥AB 于点 M.∴AM=5.
tan∠OAM=tan∠G= = ,∴OM= .
∴AO= = .∴⊙O 的半径为 . --------4 分
27.解:(1)y=ax2-5ax-5a=a -5a
=
∵顶点 D 的纵坐标为- ，∴- a=- .
∴a= .
∴抛物线的解析式为 y= x2-2x-2. --------2 分
(2) 过点 P 作直线 PR∥x 轴，交 y 轴于点 R，交 QL 于点 T，设对称轴交 x 轴于点 H.
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∴∠ROL+∠ORP=180°,∠RTL+∠TLO=180°.
∵QL⊥x 轴,∴∠TLO=90°.∴∠RTL=∠ORP=90°.
∵∠RCP+∠RPC=90°,∠RPC+∠TPC′=180°-90°=90°,
∴∠RCP=∠TPC′.由旋转得，PC=PC′
∴△ CPR≌△ PC′T.
∴CR=PT,x=0 时,代入 y= x2-2x-2 得 y=-2
即 C(0，-2)∴RC=t+2=PT.
∵∠TLH=∠LHP=∠PTL=90°,
∴四边形 PTLH 为矩形.
∴HL=PT=t+2.∴OL=t+2+ =t+ .
∴点 Q 的横坐标为 t+ .
∵点 Q 在抛物线 y= x2-2x-2 上,
∴点 Q 的纵坐标为 t2+ t- ,
d= (t>5). --------3 分
（3）过点 C 作 CN⊥PD，过点 Q 作 QK⊥PD.
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∵顶点 D ,d= t2+ t- ,
∴KD= t2+ t- + = t2+ t+
= (t2+4t+4)= (t+2)2.
KQ=t+ =t+2.
在 Rt△ CPN 中和 Rt△ KDQ 中，
tan∠CPN= ,
tan∠KDQ= .
∴tan∠CPN=tan∠KDQ.∴∠CPN=∠KDQ.
设∠CPN=∠KDQ=∠DPM=a.
∵DM⊥PD,DH⊥PM,
∴∠DPM+∠M=∠M+∠MDH=90°.
∴∠MDH=∠DPM=a.∴∠FDH=90°-2a.
∵FR∥PD,∴∠DFR=∠PDF=a.
∵∠SFH=45°,∴∠DFH=45°+a.
∴∠FHD=180°-（90°-2a ）-（45°+a ）=45°+a.
∴∠DFH=∠FHD.∴DF=DH.
过点 D 作 DT⊥FD 交 FR 的延长线于点 T
∵∠DFT=∠MDH,∠FDT=∠DHM=90°,DF=DH,
∴△ FDT≌△ DHM.∴FT=DM.
设 SR=m,则 FT=DM=5m.
∵∠RDT=90°-（90°-a ）=a,∠RDS=a,
∴∠RDS=∠RDT.
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∵∠DRT=∠DRS=90°,∵DR=DR,
∴△ DRS≌△ DRT.∴RT=RS=m.∴FR=4m.
∵tan∠DFR=tan∠RDT,∴ .∴DR2=4m2.
即 DR=2m.
tana=tan∠DFR= .
∴t=3,t+ ,
d= .
∴点 Q 的坐标为 . --------5 分
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