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（最后一卷）2025年高考数学考前模拟冲刺卷（一）全国甲卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 南充模拟）已知i为虚数单位，若zi＝1﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025 泰安模拟）已知，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 江西模拟）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 佛山二模）已知函数，命题p：f（x）是奇函数，命题q：f（x）在（0，+∞）上是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025 石家庄模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 亳州校级二模）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
7．（2025 义乌市三模）将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（　　）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
8．（2025 增城区模拟）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，则（　　）
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 朝阳区校级模拟）设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若m∥β，α⊥β，则m⊥α
（多选）10．（2025 深圳模拟）一组样本数据（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100），其中xi＞1895，，970，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：xi′＝ln（xi﹣1895），得到新的数据（xi′，y1），求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且～N（0，σ12），～N（0，σ22），则（　　）
A．样本（xi，yi）负相关
B．49.7
C．σ12＜σ22
D．处理后的决定系数变大
（多选）11．（2025 江苏校级模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的m∈N*，均存在k∈N*，使得Sm＝ak，则称{an}为“和数列”；若{bn}可拆分为2个“和数列”的和，则称{bn}为“双和数列”，下列说法正确的是（　　）
A．{2n+4}为“和数列” B．{n﹣3}为“和数列”
C．{3n+5}为“双和数列” D．为“双和数列”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 黄浦区校级二模）若集合{a，1}∪{2}＝{2，1}，则实数a＝　 　 ．
13．（2025 思明区校级模拟）已知抛物线C：2x2+my＝0恰好经过圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0的圆心，则C的准线方程为 　 　 ．
14．（2025 临沂一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子．刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位．假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动．完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 广州模拟）已知数列{an}满足a1＝1，a3＝6，且对任意的n≥2，n∈N*，都有an+1+an﹣1＝2an+3．
（1）设bn＝an+1﹣an，求数列{bn}的通项公式；
（2）数列cn＝[lgbn]，[x]表示不超过x的最大整数，求{cn}的前350项和T350．
16．（2025 浙江模拟）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．现随机地将骰子抛掷n（n∈N*） 次，各次抛掷结果相互独立．
（1）当n＝3时，求向上的点数最大是5的概率；
（2）求向上的点数最大是2的概率；
（3）记随机变量X表示向上的点数最大值，若X的数学期望不小于5，求抛掷次数n的最小值．
17．（2025 临翔区校级模拟）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形．E，F分别是棱AB，BC的中点，DE⊥D1C．
（1）求证：CD⊥DE；
（2）若直线EF与平面D1EC所成角的正弦值为．
（i）求B1到平面D1EC的距离；
（ii）求平面D1EC与平面D1EF夹角的余弦值．
18．（2025 嘉兴模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．过点F1的直线l分别交C的左、右两支于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且|AF1| |BF1|＝|AB|2．
（1）求的值；
（2）求e的取值范围；
（3）若e＝3，证明：|AF2|＝|BF2|．
19．（2025 开封模拟）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos（A﹣C）+1＝4sinAsinC．
（1）求B；
（2）求的取值范围．
（最后一卷）2025年高考数学考前模拟冲刺卷（一）全国甲卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A A C D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南充模拟）已知i为虚数单位，若zi＝1﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由zi＝1﹣i，得z，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
2．（2025 泰安模拟）已知，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据两角差的正切公式可得，所以tanα＝﹣2，
所以．
故选：B．
3．（2025 江西模拟）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，
∴，解得，
且，
向量与的夹角是．
故选：C．
4．（2025 佛山二模）已知函数，命题p：f（x）是奇函数，命题q：f（x）在（0，+∞）上是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，若f（x）是奇函数，而f（x），其定义域为{x|x≠0}，
则有f（﹣x）+f（x）a0，
必有a＝1，
此时f（x）1，
设t＝2x﹣1，则y＝1，
在区间（0，+∞）上，t＝2x﹣1为增函数，且t＞0，则y＝1为减函数，故f（x）在（0，+∞）上是减函数，
充分性成立，
反之，当a＝0时，f（x）1，
设t＝2x﹣1，则y＝1，
在区间（0，+∞）上，t＝2x﹣1为增函数，且t＞0，则y＝1为减函数，故f（x）在（0，+∞）上是减函数，
必要性不成立，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2025 石家庄模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得g（x）＝f（x）＝sin[2（x）]+3＝sin（2x）+3，
令2xkπ，k∈Z，解得xkπ，k∈Z，
当k＝0时，可得函数g（x）图象的一个对称中心是（，3）．
故选：A．
6．（2025 亳州校级二模）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，
设双曲线C的方程为，半焦距为c，取渐近线，
在Rt△POF2中，，则，|OF2|＝c，|OP|＝a，|PF2|＝b，
则|PF1||OP|a，且，
在△POF1中，由余弦定理得，
，则c2＝3a2，即，
所以双曲线C的离心率为．
故选：C．
7．（2025 义乌市三模）将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（　　）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【解答】解：设该圆锥体零件的高为h，
则根据题意可得，
解得h≈24cm．
故选：D．
8．（2025 增城区模拟）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，则（　　）
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C． D．
【解答】解：，个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，
由已知，，
两式相除可得，2lnN1＝3lnN2，即，
∴．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 朝阳区校级模拟）设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若m∥β，α⊥β，则m⊥α
【解答】解：若m⊥α，n∥α，则m⊥n，所以A选项正确；
若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或异面，所以B选项错误；
若m⊥α，m∥β，则根据线面垂直与线面平行的性质定理可得α⊥β，所以C选项正确；
若m∥β，α⊥β，则m⊥α或m∥α或m α或m与α成（0，）的任意角，所以D选项错误．
故选：AC．
（多选）10．（2025 深圳模拟）一组样本数据（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100），其中xi＞1895，，970，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：xi′＝ln（xi﹣1895），得到新的数据（xi′，y1），求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且～N（0，σ12），～N（0，σ22），则（　　）
A．样本（xi，yi）负相关
B．49.7
C．σ12＜σ22
D．处理后的决定系数变大
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，样本数据（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100）的经验回归方程为：，
其相关系数为负值，则样本（xi，yi）负相关，A正确；
对于B，样本数据（xi，yi），i∈（1，2，3，…，100）的经验回归方程为：，
其中xi＝2×103，xi＝9.7，则有9.7＝﹣0.02×2×103，解可得49.7，B正确；
对于C，由分布图，的分布更加集中，故σ12＞σ22，C错误；
对于D，处理后，残差的绝对值更小，即拟合的效果变好，其决定系数变大，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025 江苏校级模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的m∈N*，均存在k∈N*，使得Sm＝ak，则称{an}为“和数列”；若{bn}可拆分为2个“和数列”的和，则称{bn}为“双和数列”，下列说法正确的是（　　）
A．{2n+4}为“和数列” B．{n﹣3}为“和数列”
C．{3n+5}为“双和数列” D．为“双和数列”
【解答】解：对于A，对于数列{an}＝{2n+4}，注意到a1＝6，
an+1﹣an＝2（n+1）+4﹣2n﹣4＝2，则{2n+4}为等差数列，
且a1＝6，公差d＝2，，
若对任意的m∈N*，均存在k∈N*，使得Sm＝ak，
则，因m∈N*，则m，m+5奇偶性不同，
则m（m+5）为正偶数，为正整数，又函数在x∈N*时单调递增，
则且k∈N*，
由数列的新定义：若对任意的m∈N*，均存在k∈N*，使得Sm＝ak，则称{an}为“和数列”，
故A正确；
对于B，由A可知：{n﹣3}为等差数列，且a1＝﹣2，d＝1，
，
若对任意的m∈N*，均存在k∈N*，使得Sm＝ak，
则，注意到m＝2或3时，k＝0 N*，
由数列的新定义：若对任意的m∈N*，均存在k∈N*，使得Sm＝ak，则称{an}为“和数列”，
则B错误；
对于C，对于任意等差数列{an}，公差为d，
则an＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，，
令Sm＝ak，则，
因为m∈N*时，m（m﹣1）为偶数，则，
则当时，，即时，{an}为“和数列”．
对于{an}＝{3n+5}，由A可知，{an}为等差数列，且a1＝8，公差d＝3，
设an＝bn+cn，且{bn}，{cn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，则，
取b1＝6，c1＝2，d1＝2，d1＝1，则，
由上分析，可知{bn}，{cn}为“和数列”，
由数列的新定义：若{bn}可拆分为2个“和数列”的和，则称{bn}为“双和数列”，
又an＝bn+cn，则{an}＝{3n+5}为“双和数列”，故C正确；
对于D，由A可知为等差数列，且，公差，
设an＝bn+cn，且{bn}，{cn}均为等差数列，设公差分别为d1，d2，则，
取，，因，
由C分析，{bn}，{cn}均为“和数列”，
由数列的新定义：若{bn}可拆分为2个“和数列”的和，则称{bn}为“双和数列”，
又an＝bn+cn，则为“双和数列”，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 黄浦区校级二模）若集合{a，1}∪{2}＝{2，1}，则实数a＝　2　 ．
【解答】解：因为集合{a，1}∪{2}＝{2，1}，
所以a＝2．
故答案为：2．
13．（2025 思明区校级模拟）已知抛物线C：2x2+my＝0恰好经过圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0的圆心，则C的准线方程为 　y　 ．
【解答】解：圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，
则（x﹣1）2+（y+2）2＝1，圆心为（1，﹣2），
抛物线C：2x2+my＝0恰好经过圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0的圆心，
则2﹣2m＝0，解得m＝1，
故，
所以准线方程为y．
故答案为：y．
14．（2025 临沂一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子．刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位．假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动．完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是 　　 ．
【解答】解：根据题意，勺子用“s”表示，筷子用“k”表示，杯子用“b”表示，
例如skb代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，
一开始的状态有skb，sbk，bks，bsk，ksb，kbs六种情况，我们用→表示一次调换，
那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：skb→ksb，
第二种初始状态下的变换过程为：sbk→skb，
第三种初始状态下的变换过程为：bks→kbs→ksb，
第四种初始状态下的变换过程为：bsk→bks→kbs，
第五种初始状态下的变换过程为：ksb→ksb，（本质上没有调换），
第六种初始状态下的变换过程为：kbs→ksb，
从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况，
在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是skb（对应的初始状态是第二种初始状态），
故所求概率为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 广州模拟）已知数列{an}满足a1＝1，a3＝6，且对任意的n≥2，n∈N*，都有an+1+an﹣1＝2an+3．
（1）设bn＝an+1﹣an，求数列{bn}的通项公式；
（2）数列cn＝[lgbn]，[x]表示不超过x的最大整数，求{cn}的前350项和T350．
【解答】解：（1）由an+1+an﹣1＝2an+3，得an+1﹣an＝an﹣an﹣1+3（n≥2），
所以bn﹣bn﹣1＝3，则{bn}是以3为公差的等差数列，
又a1＝1，a3＝6，得b1＝a2﹣a1＝a2﹣1，b2＝a3﹣a2＝6﹣a2，得（6﹣a2）﹣（a2﹣1）＝3，
解得a2＝2，故b1＝a2﹣1＝1，
所以bn＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
（2）由（1）可知b4＝10，b34＝100，b334＝1000，
所以cn，
所以T350＝0×3+1×30+2×300+3×17＝681．
16．（2025 浙江模拟）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．现随机地将骰子抛掷n（n∈N*） 次，各次抛掷结果相互独立．
（1）当n＝3时，求向上的点数最大是5的概率；
（2）求向上的点数最大是2的概率；
（3）记随机变量X表示向上的点数最大值，若X的数学期望不小于5，求抛掷次数n的最小值．
【解答】解：（1）设将一个质地均匀的骰子掷3次最大点数是5为事件A，
若出现一次5点，则共有3×1×4×4＝48种可能，
若出现两次5点，则共有3×1×1×4＝12种可能，
若出现3次5点，则只有1种可能．
所以；
（2）掷n次骰子出现一次2点，其余全是1点有种可能，出现两次2点，其余全是1点有种可能，
以此类推，n次全是2点有种可能．
由古典概型的概率公式得；
（3）随机变量X可取1，2，3，4，5，6，
若最大点数为m，则n出现点数都不超过m的概率为，
出现点数都不超过m﹣1 的概率为，
所以m∈{1，2，3，4，5，6}，
所以E（x）6，
令，得，
记，
则f（n）关于n单调递减，而，，
所以n的最小值为4．
17．（2025 临翔区校级模拟）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形．E，F分别是棱AB，BC的中点，DE⊥D1C．
（1）求证：CD⊥DE；
（2）若直线EF与平面D1EC所成角的正弦值为．
（i）求B1到平面D1EC的距离；
（ii）求平面D1EC与平面D1EF夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，所以DD1⊥平面ABCD，
又因为DE 平面ABCD，所以DD1⊥DE，
因为DE⊥D1C，DD1⊥DE，DD1∩D1C＝D1，D1C，DD1 平面CDD1C1，
故DE⊥平面CDD1C1，
又CD 平面CDD1C1，所以CD⊥DE．
（2）（i）以D为坐标原点，DE，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，
设DD1＝h，因为CD⊥DE，则DE⊥AE，，故，
则，
因F是棱BC的中点，故，
于是，，．
设平面D1EC的法向量为，
则，由，
则可取，
设EF与平面D1EC所成角为θ，
则，
解得h＝6，此时，，且，
故点B1到平面D1EC的距离．
（ii）设平面D1EF的法向量为，
则，由，
则可取，
因为，
故平面D1EC与平面D1EF夹角的余弦值为．
18．（2025 嘉兴模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．过点F1的直线l分别交C的左、右两支于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且|AF1| |BF1|＝|AB|2．
（1）求的值；
（2）求e的取值范围；
（3）若e＝3，证明：|AF2|＝|BF2|．
【解答】解：（1）如图，
设直线l与x轴所成锐角为θ，
则，同理得出，
因为，即，即，
因为y1，y2同号且，得，
所以，则；
（2）设直线l为x＝my﹣c，联立，得（b2m2﹣a2）y2﹣2mcb2y+b4＝0，
则Δ＞0，，y1y2；
因为直线l交C的左、右两支于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
所以y1y2＞0，则b2m2﹣a2＞0，
由（1）知，即，
化简得，
由b2m2﹣a2＞0，所以，
即0，则e∈（，+∞）；
（3）证明：当e＝3时，则c＝3a，，由（2）得，
设A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点为M（x0，y0），
则，y0，
又F2（3a，0），所以m，
那么 kl＝﹣1，所以F2M⊥l，根据三线合一可知，|AF2|＝|BF2|．
19．（2025 开封模拟）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos（A﹣C）+1＝4sinAsinC．
（1）求B；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）因为2cos（A﹣C）+1＝4sinAsinC，整理可得2（cosAcosC+sinAsinC）+1＝4sinAsinC，
即cosAcosC﹣sinAsinC，
即，
即，
因为B∈（0，π），
所以；
（2）由（1）知，
由正弦定理知，
因为△ABC为锐角三角形，，
所以解得，
所以，可得，
所以，
所以的取值范围是．
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