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（最后一卷）2025年高考数学考前模拟冲刺卷（三）全国甲卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 开封模拟）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x+2∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}
2．（2025 青州市校级模拟）设每个工作日甲、乙、丙、丁需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（　　）
A．0.31 B．0.30 C．0.35 D．0.25
3．（2025 青州市校级模拟）函数f（x）＝3x+ln2的导数为（　　）
A．3xln3 B． C． D．3x
4．（2025 靖远县模拟）已知向量，且与的夹角为，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 湖南模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（　　）
A． B．4π C． D．12π
6．（2025 岳麓区校级模拟）将函数的图象向左平移个单位关于y轴对称，则ω的值可以为（　　）
A． B．1 C．2 D．5
7．（2025 河北模拟）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），若斜率为﹣1的直线经过点与C交于A，B两点，且|AB|＝4，则C的准线方程为（　　）
A．x＝1 B． C． D．x＝﹣1
8．（2025 江西模拟）已知，则cos（β﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 安徽模拟）已知平面直角坐标系中，坐标原点为O，A（1，﹣2），B（m，﹣1），则（　　）
A．若，则
B．若，则m＝2
C．不可能为单位向量
D．若m＝﹣1，则
（多选）10．（2025 河南模拟）下列命题中，正确的有（　　）
A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18
B．数据1、5、2、3、4的上四分位数是4
C．若随机变量，则
D．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
（多选）11．（2025 福建校级模拟）已知函数f（x）＝ex（x2﹣x+1），则下列选项正确的有（　　）
A．函数f（x）极小值为1
B．函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为3e2
D．当时，方程f（x）＝k恰有3个不等实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 广东校级模拟）在的二项展开式中，常数项是 　 　 ．（用数值作答）
13．（2025 温州模拟）2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有 　 　 种．
14．（2025 河西区三模）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，过点F作直线l，当圆心C到直线l的距离最大时，直线l的方程为 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 三元区校级二模）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x．
（1）若函数f（x）的极值点在（2，3）内，求m的取值范围；
（2）若f（x）有两个零点，求m取值的范围．
16．（2025 安徽模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝10．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn；
（3）若n≥N0（N0∈N*）时，有2Sn3（n+1）﹣2，求N0的最小值．
17．（2025 开福区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，A1A⊥BC，A1C⊥AB．（1）求证：三棱锥A1﹣ABC是正三棱锥；
（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值．
18．（2025 福建模拟）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如表所示．
成绩区间 [50.60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 100 200 300 240 160
（1）求上表中成绩的平均值及下四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）该运动员用分层抽样的方式从[50，80）的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选3次，设成绩落在区间[70，80）的次数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化．优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响；优化失败则原成绩会降低10分．已知该运动员优化动作成功的概率为p（0＜p＜1）．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分．用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围．
19．（2025 雨湖区校级模拟）如图，过点P（m，0）（m＞0）倾斜角为45°的直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两个不同点．当时，|PA| |PB|＝8．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设过点Q（﹣m，0）平行于AB的直线与抛物线E相交于C，D两个不同点，
①求证：|PA| |PB|＝|QC| |QD|；
②求四边形ABCD面积的最大值．
（最后一卷）2025年高考数学考前模拟冲刺卷（三）全国甲卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A D B B B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ABC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 开封模拟）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x+2∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}
【解答】解：集合A＝{1，2，3，4，5}，
所以B＝{x|x+2∈A}＝{﹣1，0，1，2，3}，
根据集合交集运算可得，A∩B＝{1，2，3}．
故选：B．
2．（2025 青州市校级模拟）设每个工作日甲、乙、丙、丁需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（　　）
A．0.31 B．0.30 C．0.35 D．0.25
【解答】解：根据题意可得同一工作日至少3人需使用设备的概率为：
0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31，
故选：A．
3．（2025 青州市校级模拟）函数f（x）＝3x+ln2的导数为（　　）
A．3xln3 B． C． D．3x
【解答】解：∵f（x）＝3x+ln2，
∴f'（x）＝（3x）′+（ln2）′＝3xln3．
故选：A．
4．（2025 靖远县模拟）已知向量，且与的夹角为，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，且与的夹角为，
所以，且m＞0，
解得．
故选：D．
5．（2025 湖南模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（　　）
A． B．4π C． D．12π
【解答】解：设PO＝h＞0，则母线，由圆锥PO侧面展开图的圆心角为，可得，即h＝3，
∴圆锥PO的体积为V．
故选：B．
6．（2025 岳麓区校级模拟）将函数的图象向左平移个单位关于y轴对称，则ω的值可以为（　　）
A． B．1 C．2 D．5
【解答】解：由题意得f（x）的图象关于直线x对称，
当x时，ω kπ（k∈Z），解得ω＝6k+1，k∈Z，
取k＝0得ω＝1，可知B项符合题意．
故选：B．
7．（2025 河北模拟）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），若斜率为﹣1的直线经过点与C交于A，B两点，且|AB|＝4，则C的准线方程为（　　）
A．x＝1 B． C． D．x＝﹣1
【解答】解：易知直线AB的方程为，
联立，消去y并整理得，
此时，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得x1+x2＝﹣3p，
由抛物线的定义知4，
解得p＝1，
则抛物线C的准线方程为．
故选：B．
8．（2025 江西模拟）已知，则cos（β﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：把等式两边同时平方可得：，
把等式两边同时平方可得：②，
①+②得，，
即，则，解得．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 安徽模拟）已知平面直角坐标系中，坐标原点为O，A（1，﹣2），B（m，﹣1），则（　　）
A．若，则
B．若，则m＝2
C．不可能为单位向量
D．若m＝﹣1，则
【解答】解：若，则1×（﹣1）﹣（﹣2）×m＝0，解得正确；
若，则1×m+（﹣2）（﹣1）＝0，解得m＝﹣2，B错误；
若，当m＝1时，是单位向量，C错误；
若m＝﹣1，则，D正确．
故选：AD．
（多选）10．（2025 河南模拟）下列命题中，正确的有（　　）
A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18
B．数据1、5、2、3、4的上四分位数是4
C．若随机变量，则
D．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
【解答】解：对于A选项，若随机变量X N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，
根据正态分布曲线的对称性，可得P（2≤X＜3）＝P（1＜X≤2）＝P（X＞1）﹣P（X＞2）＝0.68﹣0.5＝0.18，故A选项正确；
对于B选项，将数据由小到大排列为1、2、3、4、5，
因为5×0.75＝3.75，所以数据1、5、2、3、4的上四分位数是4，故B选项正确；
对于C选项，因为随机变量，所以根据二项分布的方差公式可得，故C选项正确；
对于D选项，若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，
所以|rA|＜|rB|，故B组数据比A组数据的相关性较强，故D选项错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2025 福建校级模拟）已知函数f（x）＝ex（x2﹣x+1），则下列选项正确的有（　　）
A．函数f（x）极小值为1
B．函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为3e2
D．当时，方程f（x）＝k恰有3个不等实根
【解答】解：f（x）＝ex（x2﹣x+1），
f′（x）＝ex（x2﹣x+1）+ex（2x﹣1）＝ex（x2+x）＝xex（x+1），
所以在（﹣∞，﹣1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
对于A：函数f（x）极小值＝f（0）＝1，故A正确；
对于B：函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故B错误；
对于C：由上可知函数f（x）在（﹣2，﹣1），（0，2）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
又f（﹣2）＝7e﹣2，f（﹣1）＝3e﹣1，f（0）＝1，f（2）＝3e2，
所以函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值为3e2，故C正确；
对于D：因为f（0）＝1，f（﹣1）＝3e﹣1，
再结合函数的单调性可得，当1＜k时，方程f（x）＝k有3个不等的实根，故D错误，
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 广东校级模拟）在的二项展开式中，常数项是 　160　 ．（用数值作答）
【解答】解：在的二项展开式中，其通项Tr+1（2x）6﹣rx﹣r26﹣rx6﹣2r，r＝0，1，2，…，6．
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
所以常数项为23＝160．
故答案为：160．
13．（2025 温州模拟）2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有 　9　 种．
【解答】解：由题意可知：该考生报名的可能情况有9种．
故答案为：9．
14．（2025 河西区三模）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，过点F作直线l，当圆心C到直线l的距离最大时，直线l的方程为 　2x﹣y﹣8＝0　 ．
【解答】解：易知抛物线的焦点F（4，0），
圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝1，圆心C（0，2），半径r＝1，
此时，
因为过点F的直线l到圆心C的最大距离为C到F的距离，
此时直线l与CF垂直，
即kl kCF＝﹣1，
解得kl＝2，
所以直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣4），
即2x﹣y﹣8＝0．
故答案为：2x﹣y﹣8＝0．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 三元区校级二模）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x．
（1）若函数f（x）的极值点在（2，3）内，求m的取值范围；
（2）若f（x）有两个零点，求m取值的范围．
【解答】解：（1）根据函数f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x，
那么导函数，
要使f（x）的极值点在（2，3）内，
那么方程f′（x）＝0在（2，3）上有解，
所以mx﹣1＝0在（2，3）上有解，那么，解得，
所以m∈．
（2）根据函数f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x，x＞0，
那么导函数，
当m≤0时，mx﹣1＜0，2x+1＞0，那么f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当m＞0时，2x+1＞0，令导函数f′（x）＝0，得，
当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
又x→+∞时，f（x）→﹣∞，x→0时，f（x）→﹣∞，
要使函数f（x）有两个零点，那么恒成立，
设函数g（x）＝lnx+x﹣1，x＞0，那么导函数，
因此g（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为g（1）＝0，
则，解得0＜m＜1．
综上所述，m取值的范围为（0，1）．
16．（2025 安徽模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝10．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn；
（3）若n≥N0（N0∈N*）时，有2Sn3（n+1）﹣2，求N0的最小值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，
由，，解得，
所以an＝4+（n﹣1）×（﹣1）＝5﹣n；
（2）由（1）可得an＝5﹣n，
所以Sn（a1+an）（4+5﹣n）n2n；
（3）因为，
所以，
整理得n2﹣11n+10＞0，解得n＜1或n＞10，
又因为n∈N*，，所以正整数N0的最小值为11．
17．（2025 开福区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，A1A⊥BC，A1C⊥AB．（1）求证：三棱锥A1﹣ABC是正三棱锥；
（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：过点A1作A1O⊥平面ABC于点O，
因为BC 平面ABC，所以A1O⊥BC，
又AA1⊥BC，AA1∩A1O＝A1，AA1，A1O 平面A1AO，
所以BC⊥平面A1AO，AO 平面A1AO，
所以BC⊥AO，
同理可证AB⊥CO，
故O是△ABC的垂心，
又△ABC是正三角形，则O是△ABC的中心，
因此三棱锥A1﹣ABC是正三棱锥；
（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，
结合，可知底面积为，所以高A1O＝2，
以BC的中点E为坐标原点，以EA，EB所在直线分别为x轴，y轴，过E且与OA1平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，A1（1，0，2），
设平面AA1B1B的法向量为，
因为，
则，则，
取z＝1，则，
又，
设直线AC1与平面AA1B1B所成角为θ，
所以．
18．（2025 福建模拟）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如表所示．
成绩区间 [50.60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 100 200 300 240 160
（1）求上表中成绩的平均值及下四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）该运动员用分层抽样的方式从[50，80）的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选3次，设成绩落在区间[70，80）的次数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化．优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响；优化失败则原成绩会降低10分．已知该运动员优化动作成功的概率为p（0＜p＜1）．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分．用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，平均值（100×55+200×65+300×75+240×85+160×95）＝76.6，
因为0.1＜0.25，0.1+0.2＝0.3＞0.25，
所以下四分位数落在区间[60，70），且等于．
（2）由样本数据可知，训练成绩在[50，60），[60，70），[70，80）之内的频数之比为1：2：3，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在[50，80）中随机抽取了6次成绩，
在[50，70）之内抽取了3次，在[70，80）之内抽取了3次，
所以X可取的值有：0，1，2，3，
则，
，
，
．
分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）设事件A1，A2，A3分别表示动作优化前成绩落在区间[70，80），[80，90），[90，100]，
则A1，A2，A3相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率，
设事件B为”动作优化成功”，则P（B|A1）＝P（B|A2）＝P（B）＝p，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：A1B∪A2B∪A3，且事件A1B，A2B，A3相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率P（A1B∪A2B∪A3）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3）
＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3），
故，
由0.54p+0.16＞0.4，
解得，又因为p＜1，
所以p的取值范围是．
19．（2025 雨湖区校级模拟）如图，过点P（m，0）（m＞0）倾斜角为45°的直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两个不同点．当时，|PA| |PB|＝8．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设过点Q（﹣m，0）平行于AB的直线与抛物线E相交于C，D两个不同点，
①求证：|PA| |PB|＝|QC| |QD|；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）当时，
设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣2py﹣p2＝0，
由韦达定理得y1+y2＝2p，，
因为，，
所以，
解得p＝2，
则抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）①证明：由（1）知抛物线E的方程为y2＝4x，
设直线AB的方程为x＝y+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣4y﹣4m＝0，
此时Δ＝16+16m＞0，
由韦达定理得y1+y2＝4，y1y2＝﹣4m，
此时，，
所以|PA| |PB|＝﹣2y1y2＝8m，
设直线CD的方程为x＝y﹣m，C（x3，y3），D（x4，y4），
联立，消去x并整理得y2﹣4y+4m＝0，
此时Δ＝16﹣16m＞0，
解得0＜m＜1，
由韦达定理得y3+y4＝4，y3y4＝4m，
因为，，
所以|QC| |QD|＝2y3y4＝8m，
则|PA||PB|＝|QC| |QD|；
②由①知，
，
直线AB与CD的距离，
因为AB∥CD，
所以，0＜m＜1，
设，函数定义域为（0，1），
可得，
当时，f′（m）＞0，f（m）单调递增；
当时，f′（m）＜0，f（m）单调递减，
所以当时，f（m）取得最大值，最大值为．
则四边形ABCD面积取最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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