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如果把它切成棱长为 1 cm 的小正方体，可以切成多少块小正方体？
如果把这个正方体的表面涂上蓝色，需要涂几个面？
想一想，这些小正方体会有几个面是涂色的？
用棱长1cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。
说一说每个大正方体分别是由多少块小正方体组成的？
8块
27块
64块
①
②
③
（1）找一找:每类小正方体都在正方体的什么位置？
（2）数一数:每类小正方体有多少块？填入表中。
（3）想一想:每类小正方体的个数变化有什么规律？
为什么？
小正方体总数 三面涂色 两面涂色 一面涂色 没有涂色 个数 位置 个数 位置 个数 位置 个数 位置
①
②
③
①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？
棱长 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
①
①
8
0
0
0
2
棱长 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
②
②
8
12
6
1
3
棱
顶点
面
中心
棱长 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
③
8
24
24
8
4
③
序号 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
① 8 0 0 0
② 8 12 6 1
③ 8 24 24 8
按这样的规律摆下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？
序号 小正方体总数 三面涂色 两面涂色 一面涂色 没有涂色 块数 位置 块数 位置 块数 位置 块数 位置
① 8块 8 顶点 0 0 0
② 27块 8 顶点 12 棱中间 6 面中间 1 中心
③ 64块 8 顶点 24 棱中间 24 面中间 8 中心
④
⑤
125块
8
顶点
棱中间
面中间
中心
36
54
27
216块
8
顶点
棱中间
面中间
中心
48
96
64
在顶点位置的正方体露出 3 个面，三面涂色的块数与顶点数相同，无论是哪一种正方体都是 8 个。
在每条棱中间位置的正方体露出2个面，两面涂色的块数与棱有关，即（n－2）×12。
在每个面中间位置的正方体露出 1 个面，一面涂色的块数与面有关，即
（n－2）×（n－2）×6。
没有涂色的小正方体在正方体里面除去表面一层的位置，所以有(n－2)3 块。
（1）你能继续写出第⑥、⑦、⑧个大正方体中4类小
正方体的块数吗？
序号 棱长 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
⑥
8
7
5×12＝60个
25×6＝150个
(7－2)3＝125个
⑦
8
8
6×12＝72个
36×6＝216个
(8－2)3＝216个
⑧
8
9
7×12＝84个
49×6＝294个
(9－2)3＝343个
（2）*如果摆成下面的几何体，你会数吗？
第一层：
第二层：
1块
1＋2＝3块
总块数：
1＋3＝4块
第一层：
第二层：
1块
1＋2＝3块
总块数：
1＋3＋6＝10块
第三层：
1＋2＋3＝6块
第一层：
第二层：
1块
1＋2＝3块
总块数：
1＋3＋6＋10＝20块
第三层：
1＋2＋3＝6块
第四层：
1＋2＋3＋4＝10块
小正方体所在层数 小正方体的块数 小正方体的块数与所在层数的关系
1＋2＋3＋……＋n
n×(n＋1)÷2
1＋2＝3
1
1＋2＋3＝6
1
2
3
4
1＋2＋3＋4＝10
n
4×(4＋1)÷2
3×(3＋1)÷2
2×(2＋1)÷2
1×(1＋1)÷2
①小正方体的总块数等于各层小正方体的块数之和;
②第n(n为非零自然数)层小正方体的块数＝n×(n＋1) ÷2。

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