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【决战期末·50道综合题专练】浙教版七年级下册期末数学试卷
1．河南省三门峡灵宝苹果色泽鲜艳，清甜爽口，营养丰富，是河南省的农产品地理标志．某百货超市计划购进A，B两种苹果进行销售．请根据下面的信息（如图所示），计算A，B两种苹果每千克的进价．
2．某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加10%，总支出比去年减少10%，已知该企业去年的利润（利润=总产值一总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？
3．“有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁”，高铁的便捷性使得其成为越来越多百姓出行的首选．已知广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，分别计算高铁列车和特快列车的平均速度．
4．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）
（1）求图2中的阴影部分面积（用a，b的代数式表示）；
（2）观察如图1，2，请你直接写出，ab之间的数量关系；
（3）根据（2）中的结论，若，则等于多少？
5．已知：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，E为AB上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG∥AB交AC于点G.
（1）依题意补全图形；
（2）请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明.
6．福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？
7．已知，关于 ， 的方程组 的解满足 .
（1）求 的取值范围；
（2）化简 .
8．以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第　 　步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
9．如图下图所示，已知AB//CD， ∠B=30°，∠D=120°；
（1）若∠E=60°，则∠F=　 　；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系 说明理由.
（3）如下图所示，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数；
10．已知a＝＋1，b＝﹣1，求下列各式的值．
（1）a2＋2ab＋b2；
（2）a2﹣b2
11．把下列各式分解因式：
（1）4x2﹣16；
（2）2a2b﹣8ab＋8b．
12．小明妈妈在批发市场购买某种海鲜销售，第一次用3000元购进一批，并以每千克40元的价格出售，很快售完．由于海鲜捕获量减少，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用3240元所购买的海鲜质量比第一次少了10千克，此次以每千克50元售出30千克后，因销售情况不佳，且海鲜不易保存，小明妈妈为减少损失，便降价售完剩余的海鲜．
（1）求第一次购进的海鲜的进价．
（2）在这两次销售中，小明妈妈总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
13．夏季是吃水果的季节，某水果超市用4000元购进某种新品种水蜜桃，面市后供不应求，该超市又用10000元购进第二批这种水蜜桃，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．
（1）第一批水蜜桃进货单价为多少元？
（2）超市销售水蜜桃的单价均为15元，两批水蜜桃全部售完后可获利多少元？
14．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙、丙纸片各1块，其面积和表示为　 　；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片1块，还需取丙纸片　 　块．
（3）通过两种不同的方法计算（2）所拼接的正方形面积，可以得到一个数学等式，请你写出这个等式　 　．
15．随着5G网络技术的快速发展，市场对5G产品的需求越来越大.某5G产品生产厂家承接了27000个电子元件的生产任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人，合作生产20天完成．已知甲车间每人每天生产25个，乙车间每人每天生产30个．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人将参与生产？
（2）为提前完成生产任务，该厂家设计了两种生产方案：方案1：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变；方案2：乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．若设计的这两种生产方案，厂家完成生产任务的时间相同，求乙车间需要临时招聘的工人数.
16．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克元和元（，，），请问谁的购买方式合算？
17．太阳能是一种新型能源．某小区居民安装了甲、乙两种太阳能板进行发电．已知2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2片乙种太阳能板一天共发电260度．求甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量．
18．已知：AB//CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图①，EM平分∠BEF， FN平分∠CFE，试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；
19．如图（a），已知∠BAG+∠AGD=180°，AE、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E=∠F，如图（b）所示，求证：∠1=∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
20．已知与如图放置，点在边上，点在边上，、相交于点，、相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）当时，请直接写出与互余的角．
21．初中数学共380课时的教学内容结束后，李老师计划用60课时进行总复习，根据教学内容所占课时比例绘制如下统计图表．请根据图表提供的信息，回答下列问题：
数与代数（内容） 课时数
数与式 67
方程组与不等式组 a
函数 44
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 ；
（2）图2、3中的 ， ；
（3）在60课时的总复习中，李老师应该用 课时复习“数与代数”内容．
22．年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进A、B两种世界杯吉祥物共个，且用于购买A种吉祥物与购买B种吉祥物的费用相同，已知A种吉祥物的单价是B种吉祥物的倍．求A、B两种吉祥物的单价各是多少元？
23．已知 ， .
（1）求xy的值；
（2）求 的值.
24．为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：
（1）问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？
（2）问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
25．雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资 吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，还需要多少辆丙型车来运送？
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆
（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗 此时的运费又是多少元
26．为切实做好新冠疫情防控工作，我区某校准备在药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
27．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE．
（1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相　 　．
（3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相　 　．
28．我市会展中心举行消夏灯会节，计划在现场安装小彩灯和大彩灯，已知安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元.
（1）会展中心计划在当天共安装200个小彩灯和50个大彩灯，共需多少元？
（2）若承办方安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩灯多少个？
29．已知x，y满足方程组 ，
（1）用x的代数式表示y；
（2）若不论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+ x）的值都为常数，求此时k的值以及该代数式的值．
30．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 .
（1）将 向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）尺规作图：连接 ，作 的角平分线 ，交y轴于点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）直接写出点P的坐标.
31．在如图所示的单位正方形网格中
（1）将△ABC向右平移3个单位后得到△A′B′C′；
（2）连结A′A、A′B，则∠BA′A的度数是　 　度；
（3）求△ABC的面积.
32．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
33．如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）当∠BOC＝30°，∠DOE＝　 　；
当∠BOC＝60°，∠DOE＝　 　；
（2）通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由.
34．因式分解：
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2；
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25．
35．增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根.对于分式方程：
（1）若该分式方程有增根，则增根为　 　.
（2）在（1）的条件下，求出 的值.
36．某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ：若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元，工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
37．在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．°
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2 = 2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明 ∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示．
38．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是　 　（填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．
（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式　 　．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．
39．我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千；甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”其大意是：“现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个；九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱．请问甜果和苦果各买多少个，各花多少文钱？”
（1）每个甜果　 　文钱，每个苦果　 　文钱．
（2）求甜果和苦果各买多少个，各花多少文钱？
40．已知中，平分，交于，在上，点在延长线上，连接、，交于点，交于点，．
（1）求证：；
（2）点为上一点，连接，，，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，，，求的度数．
41．观察下面的变形规律：
……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想　 　；
（2）计算：.
（3）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如.
解法如下：
通分，得，
化简，得，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程：
42．如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
（1）请直接写出直线与的位置关系　 　；
（2）如图2，动点P在直线，之间，且在直线左侧，连接，，探究，，之间的数量关系．
小明经过分析证明的过程如下：过点P作//．∴　 　（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴　 　（等量代换）．
请你补全上述的证明过程．
（3）小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3．
①若，则　 　．
②探究与的数量关系，小明思路如下：设，进一步可知　 　（用含的式子表示）．设．用等式表示与的数量关系　 　．
43．已知：如图，点C在的一边上，过点C作，平分，于点C．
（1）若，求，的大小；
（2）过点O作，交于点H，
①依题意补全图形；
②求证：是的平分线．
44．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a-b）2， ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求m+n的值；
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=26，求图中阴影部分面积．
45．已知直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点．
（1）如图1，请说明；
（2）如图2，，平分，平分，，求的度数：
（3）如图3，点为上一点，，，交于点，请探究，，之间的数量关系．
46．某展览中心周六和周日举办了艺术展，周六参观的总人数有300人，周日上午参观的人数比周六上午增加，周日下午参观的人数比周六下午增加，周日参观的总人数比周六参观的总人数多100人．（参观人数只包括成人和中学生）
（1）求周日上午和下午参观艺术展的各有多少人？
（2）已知该艺术展参观票分为成人票和中学生票，周日上午售票总收入为4200元，下午的售票总收入为7200元，且周日上午参观的成人有70人，下午参观的成人有100人．
①求每张成人票和中学生票各多少元？
②嘉嘉说：“周六的售票总收入不可能为8390元．”请你说明理由．
47．如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．
（1）如图2，当与重合时，求证：；
（2）当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系．
48．已知：直线 ∥ ，A为直线 上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在 上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数　 　；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
49．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　 　．
（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积．
50．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
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【决战期末·50道综合题专练】浙教版七年级下册期末数学试卷
1．河南省三门峡灵宝苹果色泽鲜艳，清甜爽口，营养丰富，是河南省的农产品地理标志．某百货超市计划购进A，B两种苹果进行销售．请根据下面的信息（如图所示），计算A，B两种苹果每千克的进价．
【答案】A品种苹果每千克的进价是12元，B品种苹果每千克的进价是6元
2．某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加10%，总支出比去年减少10%，已知该企业去年的利润（利润=总产值一总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？
【答案】今年的总产值为1100万元，总支出为900万元．
3．“有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁”，高铁的便捷性使得其成为越来越多百姓出行的首选．已知广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，分别计算高铁列车和特快列车的平均速度．
【答案】高铁列车的平均速度为280公里小时，特快列车的平均速度为100公里小时．
4．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）
（1）求图2中的阴影部分面积（用a，b的代数式表示）；
（2）观察如图1，2，请你直接写出，ab之间的数量关系；
（3）根据（2）中的结论，若，则等于多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
5．已知：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，E为AB上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG∥AB交AC于点G.
（1）依题意补全图形；
（2）请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∠BEF＝∠ADG.理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADF＝∠EFB＝90°.
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
∴∠BEF＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）.
∵DG∥AB，
∴∠BAD＝∠ADG（两直线平行，内错角相等）.
∴∠BEF＝∠ADG.
【解析】【分析】（1）根据题干描述的作图过程画图即可；
（2） ∠BEF＝∠ADG，理由：先证AD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，可得∠BEF＝∠BAD，由
DG∥AB，可得∠BAD＝∠ADG，利用等量代换可得∠BEF＝∠ADG.
6．福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？
【答案】（1）49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；
（2）租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．
7．已知，关于 ， 的方程组 的解满足 .
（1）求 的取值范围；
（2）化简 .
【答案】（1）解：解方程组得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ 的取值范围是
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
则原式 .
【解析】【分析】（1）由题意解方程组可将x、y用含a的代数式表示出来，再根据x＞y＞0可得关于a的不等式组，解不等式组可求解；
（2）由（1）中a的取值范围可得a-3＞0，2-a＜0，再由绝对值的非负性可去绝对值，合并同类项即可求解.
8．以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第　 　步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
【答案】（1）一
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现不符合题意；
故答案为：一；
【分析】（1）第一步：去分母时出现漏乘；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1，检验进行解方程即可.
9．如图下图所示，已知AB//CD， ∠B=30°，∠D=120°；
（1）若∠E=60°，则∠F=　 　；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系 说明理由.
（3）如下图所示，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数；
【答案】（1）90°
（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB
∴EM∥AB∥FN
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN
又∵AB∥CD，AB∥FN
∴CD∥FN
∴∠D+∠DFN=180°
又∵∠D =120°
∴∠DFN=60° ∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°
∴∠EFD=∠MEF +60°
∴∠EFD=∠BEF+30°
（3）解：如图，过点F作FH∥EP
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°
设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD
∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°
∵FH∥EP
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15° ∴∠P=15°
【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.
【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；
（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.
10．已知a＝＋1，b＝﹣1，求下列各式的值．
（1）a2＋2ab＋b2；
（2）a2﹣b2
【答案】（1）解：∵a＝＋1，b＝-1，
∴原式=（a+b）2
=
=
=8；
（2）解：∵a＝＋1，b＝-1，
∴a-b=2，a+b=，
∴a2-b2
=（a-b）（a+b）
=
【解析】【分析】（1）将a、b的值代入a2＋2ab＋b2，再利用二次根式的混合运算求解即可；
（2）将a、b的值代入a2﹣b2，再利用二次根式的混合运算求解即可。
11．把下列各式分解因式：
（1）4x2﹣16；
（2）2a2b﹣8ab＋8b．
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）先提取公因式4，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式2b，再利用完全平方公式因式分解即可。
12．小明妈妈在批发市场购买某种海鲜销售，第一次用3000元购进一批，并以每千克40元的价格出售，很快售完．由于海鲜捕获量减少，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用3240元所购买的海鲜质量比第一次少了10千克，此次以每千克50元售出30千克后，因销售情况不佳，且海鲜不易保存，小明妈妈为减少损失，便降价售完剩余的海鲜．
（1）求第一次购进的海鲜的进价．
（2）在这两次销售中，小明妈妈总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【答案】（1）第一次购买的海鲜的进价是每千克30元
（2）在这两次销售中，小明妈妈总体上是盈利了，盈利了760元
13．夏季是吃水果的季节，某水果超市用4000元购进某种新品种水蜜桃，面市后供不应求，该超市又用10000元购进第二批这种水蜜桃，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．
（1）第一批水蜜桃进货单价为多少元？
（2）超市销售水蜜桃的单价均为15元，两批水蜜桃全部售完后可获利多少元？
【答案】（1）解：设第一批水蜜桃进货单价为x元，则第二批水蜜桃进货单价为（x+2）元，
依题意得：
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．
答：第一批水蜜桃进货单价为8元．
（2）解：第二批水蜜桃进货单价为8+2＝10（元），
获得的总利润为（15﹣8）×+（15﹣10）×
＝7×+5×
＝7×500+5×1000
＝3500+5000
＝8500（元）．
答：两批水蜜桃全部售完后可获利8500元．
【解析】【分析】（1）设第一批水蜜桃进货单价为x元，则第二批水蜜桃进货单价为（x+2）元，根据“ 两批水果所购数量是第一批的2倍”列出方程并解之即可；
（2）根据利润=每千克的利润×销售量进行求解即可.
14．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙、丙纸片各1块，其面积和表示为　 　；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片1块，还需取丙纸片　 　块．
（3）通过两种不同的方法计算（2）所拼接的正方形面积，可以得到一个数学等式，请你写出这个等式　 　．
【答案】（1）a2+b2+ab
（2）2
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵甲纸片的面积为a2，乙纸片的面积为b2，丙纸片的面积为ab，∴面积和为a2+b2+ab．
（2）∵甲纸片1块和乙纸片1块的面积之和为a2+b2，
且a2+2ab+b2是一个完全平方公式，
∴要用这三种纸片紧密拼成一个大正方形时，还需取丙纸片2块．
故答案为：2．
（3）根据题意，所拼接的正方形的面积可表示为（a+b）2或a2+b2+2ab，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab．
【分析】（1）结合图形，利用正方形的面积公式计算求解即可；
（2）先求出甲纸片1块和乙纸片1块的面积之和为a2+b2，再求解即可；
（3）先求出所拼接的正方形的面积可表示为（a+b）2或a2+b2+2ab，再求解即可。
15．随着5G网络技术的快速发展，市场对5G产品的需求越来越大.某5G产品生产厂家承接了27000个电子元件的生产任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人，合作生产20天完成．已知甲车间每人每天生产25个，乙车间每人每天生产30个．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人将参与生产？
（2）为提前完成生产任务，该厂家设计了两种生产方案：方案1：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变；方案2：乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．若设计的这两种生产方案，厂家完成生产任务的时间相同，求乙车间需要临时招聘的工人数.
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得：
解得
答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产.
（2）解：设方案2中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
解得m＝5．经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乙车间需临时招聘5名工人．
【解析】【分析】(1) 设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产 ，根据 甲、乙两个车间共50名工人 ，甲车间和乙车间一天工作量工作时间=总工作量列出方程组即可.
(2) 设方案2中乙车间需临时招聘m名工人 ，根据这两种生产方案，厂家完成生产任务的时间相同列出方程即可.
16．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克元和元（，，），请问谁的购买方式合算？
【答案】乙家庭合算．
17．太阳能是一种新型能源．某小区居民安装了甲、乙两种太阳能板进行发电．已知2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2片乙种太阳能板一天共发电260度．求甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量．
【答案】甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量分别为100度、80度
18．已知：AB//CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图①，EM平分∠BEF， FN平分∠CFE，试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）解：位置关系是：EM FN，理由：
∵AB CD，
∴∠BEF=∠CFE，
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠MEF= ∠BEF，∠NFE= ∠CFE，
∴∠MEF=∠NFE，
∴EM FN；
（2）解：∠EFD=2∠GEH，理由：
∵EG平分∠MEF，
∴∠MEG=∠GEH+∠HEF，
∵EH平分∠AEM，
∴∠MEG+∠GEH=∠AEF+∠HEF，
∴∠AEF=2∠GEH，
∵AB CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∴∠EFD=2∠GEH．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BEF=∠CFE， 再求出 ∠MEF=∠NFE， 最后求解即可；
（2）先求出 ∠MEG=∠GEH+∠HEF， 再求出∠AEF=2∠GEH，最后求解即可。
19．如图（a），已知∠BAG+∠AGD=180°，AE、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E=∠F，如图（b）所示，求证：∠1=∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
【答案】（1）解：∵∠BAG+∠AGD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠E=∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG=∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG=∠AGC﹣∠AGE
∴∠1=∠2
（2）解：由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF=∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA=∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E=∠2+∠F
【解析】【分析】（1）由∠E=∠F可知AF∥EG，又因为∠BAG+∠AGD=180°，所以AB∥CD，利用内错角相等即可求证；（2）利用对顶角相等即可得出：∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，利用平行线的性质即可求出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系；
20．已知与如图放置，点在边上，点在边上，、相交于点，、相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）当时，请直接写出与互余的角．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
与互余．
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠A=∠AEC，结合∠A=∠D可得∠AEC=∠D，根据平行线的判定可得AE∥DF，可得∠AEB=∠FHB，结合已知可得∠CFD=∠FHB，根据平行线的判定即证；
（2）根据平行线的性质及余角的定义进行解答即可.
21．初中数学共380课时的教学内容结束后，李老师计划用60课时进行总复习，根据教学内容所占课时比例绘制如下统计图表．请根据图表提供的信息，回答下列问题：
数与代数（内容） 课时数
数与式 67
方程组与不等式组 a
函数 44
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 ；
（2）图2、3中的 ， ；
（3）在60课时的总复习中，李老师应该用 课时复习“数与代数”内容．
【答案】（1）
（2）60，14
（3）27
22．年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进A、B两种世界杯吉祥物共个，且用于购买A种吉祥物与购买B种吉祥物的费用相同，已知A种吉祥物的单价是B种吉祥物的倍．求A、B两种吉祥物的单价各是多少元？
【答案】A种吉祥物的单价为元，B种吉祥物的单价为元
23．已知 ， .
（1）求xy的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解： ，
，
又 ，
，
.
（2）解：
【解析】【分析】（1）把 两边平方得到 ，然后利用完全平方公式和 可计算出 的值；（2）利用完全平方公式得到 ，然后利用整体的方法计算.
24．为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：
（1）问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？
（2）问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
【答案】（1）解：设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，依题意得
50x+50（x+10）=7500，
解得x=70，
∴x+10=80，
答：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；
（2）解：由题可得， ×1000+ ×1000=150000，
解得a=15，
经检验：a=15是所列方程的解，
故a的值为15．
【解析】【分析】（1）由题意可得相等关系；A型车的成本总价+B型车的成本总价=投放成本7500元，列方程即可求解；
（2）由题意可得相等关系；甲区人数+乙区人数=两个街区的总人数，列方程即可求解。
25．雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资 吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，还需要多少辆丙型车来运送？
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆
（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗 此时的运费又是多少元
【答案】（1）根据题意得：
（辆），
答：丙型车需 辆来运送
（2）设需要甲 辆，乙 辆，根据题意得：
解得
答：分别需甲、乙两种车型为 辆和 辆．
（3）设甲车有 辆，乙车有 辆，则丙车有 辆，由题意得 ，
即 ，
， ， 均为正整数，
只能等于 ，从而 ， ，
甲车 辆，乙车 辆，丙车 辆，
则需运费 （元），
答：甲车 辆，乙车 辆，丙车 辆，需运费 元
【解析】【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出方程，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案．
26．为切实做好新冠疫情防控工作，我区某校准备在药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
【答案】（1）解：设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是(x＋150)元，
由题意得： ，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，
50＋150＝200元，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；
（2）解：∵购买口罩m盒，
∴共有口罩100m个，
∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，
∴需要发放 支水银体温计，
∴需要购买 盒水银体温计．
【解析】【分析】（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是(x＋150)元，由题意得方程，解之即可；
（2）设购买口罩m盒，n盒水银体温计，则100m=10n×2，解的n的值，即可得出用含m的代数式表示．
27．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE．
（1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相　 　．
（3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相　 　．
【答案】（1）EM∥FN.证明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，∴∠1=∠EFD，
∴AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE.
∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3=∠4，
∴EM∥FN.
（2）平行
（3）垂直.
【解析】【解答】(2)由(1)可知EM∥FN，
∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行。
故答案为：平行；平行。
( 3 )由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：
如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直。
故答案为：平行；垂直。
【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠1=∠EFD，可证得AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CFE.再根据角平分线的定义，可证得∠3=∠4，然后根据平行线的判定即可得出结论。
（2）根据（1）的结论可知如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行。
（3）由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直。
28．我市会展中心举行消夏灯会节，计划在现场安装小彩灯和大彩灯，已知安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元.
（1）会展中心计划在当天共安装200个小彩灯和50个大彩灯，共需多少元？
（2）若承办方安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩灯多少个？
【答案】（1）解：设安装1个小彩灯需x元，1个大彩灯需y元，
由题意得： ，
解得： ，
200×10+50×25=3250（元）
答：安装200个小彩灯和50个大彩灯，共需3250元；
（2）解：设安装大彩灯a个，则小彩灯(300 a)个，
由题意得，10(300 a)+25a 4350，
a 90，
答：最多安装大彩灯90个．
【解析】【分析】（1）设安装1个小彩灯需x元，1个大彩灯需y元，根据题干的等量关系建立方程组求出其解即可；（2）设安装大彩灯a个，则小彩灯（300-a）个，根据题意列不等式解得a．
29．已知x，y满足方程组 ，
（1）用x的代数式表示y；
（2）若不论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+ x）的值都为常数，求此时k的值以及该代数式的值．
【答案】（1）解： ，
将①式左右两边都乘3得，3x+9y=12﹣3a③，
②+③，得4x+8y=12，即y=﹣ x+
（2）解：（kx﹣y）（y+ x）=（kx+ x﹣ ）（﹣ x+ + x）= [（k+ ）x﹣ ]，
当k=﹣ 时，无论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+ x）的值都为常数﹣
【解析】【分析】（1）方程组两方程变形后，得到一个二元一次方程，用x表示出y即可；（2）把表示出的y代入原式，利用多项式乘以多项式法则化简，根据代数式值为常数确定出k的值，以及此时代数式的值即可．
30．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 .
（1）将 向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）尺规作图：连接 ，作 的角平分线 ，交y轴于点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1就是平移后的三角形，
（2）解：如图所示，点P就是所要求作∠BCC1的角平分线CP，交y轴于点.
（3）解：由图可得点P的坐标为(0，2).
【解析】【分析】（1）分别将点A、B、C向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）直接根据角平分线的作法进行作图即可；
（3）根据（2）中点P的位置可得对应的坐标.
31．在如图所示的单位正方形网格中
（1）将△ABC向右平移3个单位后得到△A′B′C′；
（2）连结A′A、A′B，则∠BA′A的度数是　 　度；
（3）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：如图， ∴△A′B′C′就是所求的三角形.
（2）45
（3）解：S△ABC=3×6 ×1×4 ×2×3 ×2×6=7
【解析】【解答】(2)由上图可知，∠A′DB=90°，且A′D=BD，
∴∠BA′A=45°，
故答案为：45.
【分析】根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；等腰直角三角形的性质即可得；利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
32．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送
（2）一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆
（3）最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元
33．如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）当∠BOC＝30°，∠DOE＝　 　；
当∠BOC＝60°，∠DOE＝　 　；
（2）通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由.
【答案】（1）45°；45°
（2）解：∠DOE＝ ∠AOB.理由如下：
设∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝ （α＋β），∠COE＝ β，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝ （α＋β－β）＝ α＝ ∠AOB
【解析】【解答】（1）①∵OA⊥OB，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°＋30°＝120°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝60°，∠COE＝15°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝60°－15°＝45°.
②∵OA⊥OB，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°＋60°＝150°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝75°，∠COE＝30°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝75°－30°＝45°.
【分析】（1）先求出∠AOC，然后根据角平分线的定义求出∠COD和∠COE，最后根据∠DOE＝∠COD－∠COE进行计算即可；（2）设∠AOB＝α，∠BOC＝β，仿照（1）中的求出进行计算即可.
34．因式分解：
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2；
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25．
【答案】（1）解：9（m+n）2﹣16（m﹣n）2
=[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]
=（7m﹣n）（﹣m+7n）
（2）解：（x+y）2﹣10（x+y）+25=（x+y﹣5）2
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
35．增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根.对于分式方程：
（1）若该分式方程有增根，则增根为　 　.
（2）在（1）的条件下，求出 的值.
【答案】（1）x=3或x=-3
（2）解：
①若 时，
②若 时，
【解析】【解答】解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：
，解得： 或 ，
即增根是： 或 ，
故答案为： 或 ；
【分析】(1)分式方程有增根的条件是分母等于0，据此列式求解即可；
(2)先把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，即①若 时，②若 时，分别代值求解即可.
36．某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ：若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元，工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要 x天．
根据题意，得 ，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，∴ = ×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天
（2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有 ，解得 y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元
【解析】【分析】（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键.
37．在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．°
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2 = 2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明 ∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
∵∠2＋∠FGE＋∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1＋60°＋∠1＝180°，解得∠1＝40°
（2）解：∠AEF＋∠FGC＝90°，理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP，
∴∠AEF＋∠FGC＝∠EFP＋∠GFP＝∠EFG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AEF＋∠FGC＝90°；
（3）解：α+β＝300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF＋∠CFE＝180°，
∴∠AEG ∠FEG＋∠CFG ∠EFG＝180°，
∵∠FEG＝30°，∠EFG＝90°，
∴∠AEG 30°＋∠CFG 90°＝180°，
∴∠AEG＋∠CFG＝300°，即：α+β＝300°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD，依据∠2＋∠FGE＋∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，可求出∠1的度数；
（2）过点F作FP∥AB，可得出FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AEF和∠FGC转化得到∠EFG上即可；
（3）依据AB∥CD，可知∠AEF＋∠CFE＝180°，再代入∠AEG 30°＋∠CFG 90°＝180°，即可求出α+β＝300°．
38．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是　 　（填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．
（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式　 　．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．
【答案】（1）（a－b）2
（2）（a－b）2＝（a＋b）2－4ab
（3）解：由（2）题关系式可得，
，
∴x－y的值是．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：图②中间空白部分的面积是（a－b）2；
故答案为：（a－b）2；
（2）由题意得：（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；
故答案为：（a－b）2＝（a＋b）2－4ab．
【分析】（1）图②中间空白部分是边长为a-b的正方形，利用正方形的面积公式计算即可；
（2）图②中间空白部分的面积=大正方形的面积-4个矩形的面积，据此即可求解；
（3） 由（2）题关系式可得，然后代入即得即可.
39．我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千；甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”其大意是：“现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个；九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱．请问甜果和苦果各买多少个，各花多少文钱？”
（1）每个甜果　 　文钱，每个苦果　 　文钱．
（2）求甜果和苦果各买多少个，各花多少文钱？
【答案】（1）；
（2）解：设甜果买 个，苦果买 个
根据题意，得
①－②得：
即： ③
① ＋③：
把 代入①得：
所以：
（文）， （文）
答：甜果买了657个，花了803文钱，苦果买了343个，花了196文钱．
【解析】【解答】解：（1）每个甜果的价格= （文），每个苦果的价格= （文），
故答案为： ； ．
【分析】（1）根据甜果九个十一文，苦果七个四文钱，进行计算求解即可；
（2）根据现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个；九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，列方程组计算求解即可。
40．已知中，平分，交于，在上，点在延长线上，连接、，交于点，交于点，．
（1）求证：；
（2）点为上一点，连接，，，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
又平分，
∴∠EBD=∠CBD，
．
（2）解：，
，
由（1）知，
，
又，
，
又，
，
平分．
（3）解：，平分，
，
又，
，
，
又，
，
由（2）知，平分，
．
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等可得
，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，继而得解；
（2）根据平行线的判定与性质可得
，由
可得
，根据角平分线的定义即证；
（3）由平行线的性质及角平分线的定义可得
.易求∠BPE=52°
根据
求出∠BGE的度数，由（2）知
，根据角平分线的定义即可求解.
41．观察下面的变形规律：
……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想　 　；
（2）计算：.
（3）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如.
解法如下：
通分，得，
化简，得，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）原方程变形为：，
整理得：，
解得：
当时，原方程的分母不为0，
所以是原方程的解.
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
【分析】（1）由已知的等式可得规律：=；
（2）由（1）中的规律可得原式=1-+-+-+…+-=1-=；
（3）由题意先将方程左边通分，再去分母可得关于x的一元一次方程，解方程求得x的值，再检验即可求解.
42．如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
（1）请直接写出直线与的位置关系　 　；
（2）如图2，动点P在直线，之间，且在直线左侧，连接，，探究，，之间的数量关系．
小明经过分析证明的过程如下：过点P作//．∴　 　（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴　 　（等量代换）．
请你补全上述的证明过程．
（3）小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3．
①若，则　 　．
②探究与的数量关系，小明思路如下：设，进一步可知　 　（用含的式子表示）．设．用等式表示与的数量关系　 　．
【答案】（1）
（2）；；
（3）135°；；
【解析】【解答】解：(1)，
，
；
(3)①如图，过点Q作，
同理可得，
，
，
分别为和的角平分线，
，
，
②设， ，
，
设，
分别为和的角平分线，
，
．
故答案为：，．
【分析】（1）利用平行线的判定方法证明求解即可；
（2）结合图形，利用平行线的判定方法与性质求解即可；
（3）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②先求出，再利用角平分线的性质计算求解即可。
43．已知：如图，点C在的一边上，过点C作，平分，于点C．
（1）若，求，的大小；
（2）过点O作，交于点H，
①依题意补全图形；
②求证：是的平分线．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①如图，即为所求；
②∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即是的平分线．
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质计算求解即可；
（2）①根据题意作图即可；
②根据平行线的性质求出 ， 再根据角平分线求出 ， 最后证明求解即可。
44．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a-b）2， ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求m+n的值；
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=26，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：阴影部分的正方形边长为a-b，故周长为4(a-b)=4a-4b；
故答案为：4a-4b；
（2）解：大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，
故可表示为：4ab+(a-b)2，大正方形边长为a+b，
故面积也可表达为：(a+b)2，
因此(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
（3）解：由(2)知：(m+n)2=(m-n)2+4mn；
已知m-n=4，mn=-3；
所以(m+n)2=42+4×(-3)=16-12=4；
所以m+n=2或-2；
（4）解：设AC=a，BC=b；
因为AB=8，S1+S2=26；
所以a+b=8，a2+b2=26；
因为(a+b)2=a2+b2+2ab，
所以64=26+2ab，解得ab=19，
由题意：∠ACF=90°，
所以S阴影=ab=，
故答案为：．
【解析】【分析】（1）先求出正方形的边长，再利用正方形的周长公式计算即可；
（2）利用不同的表达式表示出同一个图形的面积即可得到 (a+b)2=(a-b)2+4ab；
（3）根据 (m+n)2=(m-n)2+4mn，再结合m-n=4，mn=-3，求出(m+n)2=42+4×(-3)=16-12=4，即可得到m+n的值；
（4）设AC=a，BC=b，根据(a+b)2=a2+b2+2ab， 可得64=26+2ab，解得ab=19，再结合∠ACF=90°，利用三角形的面积公式可得S阴影=ab=。
45．已知直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点．
（1）如图1，请说明；
（2）如图2，，平分，平分，，求的度数：
（3）如图3，点为上一点，，，交于点，请探究，，之间的数量关系．
【答案】（1）证明：如图1所示，过点E作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
；
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴．　
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1） 如图1所示，过点E作EE'∥AB，可得AB∥EE'∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠AME，∠2=∠CNE，进而得出结论；
（2）根据AB∥EF，可得∠MEF=∠AME=30°，因为EF平分∠MEN，可得∠FEN=30°，根据NP平分∠ENC，可得，由（1）的结论知：∠MEN=∠AME+∠ENC，∠MEN=∠MEF+∠FEN，可得∠ENC=∠FEN，根据EQ∥PN，可得∠ENP=∠NEQ=
（3）根据，，可得，，根据EH∥MN，可得∠MEH=∠NME，等量代换为：，等量代换为：，进一步可整理为：。
46．某展览中心周六和周日举办了艺术展，周六参观的总人数有300人，周日上午参观的人数比周六上午增加，周日下午参观的人数比周六下午增加，周日参观的总人数比周六参观的总人数多100人．（参观人数只包括成人和中学生）
（1）求周日上午和下午参观艺术展的各有多少人？
（2）已知该艺术展参观票分为成人票和中学生票，周日上午售票总收入为4200元，下午的售票总收入为7200元，且周日上午参观的成人有70人，下午参观的成人有100人．
①求每张成人票和中学生票各多少元？
②嘉嘉说：“周六的售票总收入不可能为8390元．”请你说明理由．
【答案】（1）解：设周六上午和下午参观艺术展的各有人和y人，根据题意得：
，
解得：，
∴（人），（人），
答：周日上午和下午参观艺术展的各有140人和260人．
（2）解：①周日上午参观的成人有70人，学生有（人），
下午参观的成人有100人，学生有（人），
设每张成人票和中学生票各为m元和n元，根据题意得：
，
解得：，
答：每张成人票和中学生票各为40元和20元；
②设周六有成人t人，则有中学生人，根据题意得：
，
解得：，
∵必须是整数，
∴周六的售票总收入不可能为8390元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组求解即可；
（2）①根据题意先求出周日上午参观的成人有70人，学生有70人，再求出下午参观的成人有100人，学生有160人，最后列方程组求解即可；
②根据题意先求出， 再解方程即可。
47．如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．
（1）如图2，当与重合时，求证：；
（2）当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
∵是的角平分线，且与重合，
∴，
∴．
（2）或
【解析】【解答】解：（2）如图1，当PN在PM的上方，
∵，， ∴AB∥CD∥PM，
图1 图2
∴∠B=∠BPM，∠D=∠MPD，
∵PN平分∠BPD，
∴∠BPN=∠DPN，
∵∠MPN=∠DPN-∠DPM=∠BPN-∠D=∠BPM-∠MPN-∠D=∠B-∠MPN-∠D，
∴∠B-∠D=2∠MPN，
如图2，当PN在PM的下方，
同理可求出∠D-∠B=2∠MPN，
综上所述：或
【分析】（1）由平行线的判定可得AB∥CD∥PM，利用平行线的性质可得， ， 由角平分线的定义知，利用等量代换即得结论；
（2）分两种情况：当PN在PM的上方和当PN在PM的下方，据此分别画出图形，利用平行线的判定与性质、角平分线的定义及角的和差分别求解即可.
48．已知：直线 ∥ ，A为直线 上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在 上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数　 　；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
【答案】（1）125°
（2）解：① ．
证明：设 ， ．
∴ ．
∵ 为 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
② 或
【解析】【解答】解：（1）设在 上有一点N在点A的右侧，如图所示：
∵
∴ ，
∴
∴
（2）②当点D在点B右侧时，如图：
由①得：
又∵
∴
∵
∴
当点D在点B左侧，E在B右侧时，如图：
∵ 为 的角平分线
∴
∵
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
当点D和F在点B左侧时，设在 上有一点G在点B的右侧如图：
此时仍有 ，
∴
∴
综合所述： 或
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ， ，从而可得∠ABM=
；
（2）①设 ， ，得出，利用角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而求出，继而得出 ②分三种情况：当点D在点B右侧时；当点D在点B左侧，E在B右侧时；当点D和F在点B左侧时，据此分别解答即可.
49．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　 　．
（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
a+b+c=10，ab+ac+bc=37
∴100=a2+b2+c2+37×2，
∴a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
（3）解：S阴影部分=S△BCD-S梯形CEFD
=a2-（b+a）×b
=（a2-b2-ab）
=[（a+b）（a-b）-ab]
=[5（a+b）-6]
∵a-b=5，ab=6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
=25+24
=49，
又∵a＞b＞0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=[5×7-6]=
【解析】【解答】解： （1）∵图2整体是边长为a+b+c的正方形，
∴面积为（a+b+c）2，
又∵图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
【分析】 （1）从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积；
（2）利用（1）的结论代入计算即可；
（3）根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD-S△BCD-S梯形CEFD，再代入计算即可．
50．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
【答案】（1）解：设小红步行的平均速度是 米/分，则骑自行车的平均速度是 米/分.
根据题意，得
，
方程两边同乘最简公分母 ，得
，
解得 .
检验：把 代入最简公分母 ，得
，
因此， 是原方程的根.
答：小红步行的平均速度是70米/分.
（2）解：由（1），得 ， ，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
（分），
由于 ，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校.
【解析】【分析】（1）设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论.
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