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期末复习巩固卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列各式，，，，是分式的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（ ）
A．3 B． C．5 D．
4．《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
8．把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
9．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
10．已知反比例函数与一次函数的图象相交，其中一个交点的横坐标为4，则的值为 ．
11．如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，与相交于点E，则的长为 ．
12．如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为 ．
13．如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为 ．
14．如图1，对于平面内的点，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，若，则点B的坐标为 ．
15．如图，四边形是正方形，点是反比例函数图象上一点，若点A的坐标是，则 ．
16．如图，在边长为4的等边中，D是的中点，E是直线上一动点，连结，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连结．
（1）当点E是线段的中点时，的长为 ．
（2）在点E的运动过程中，线段长度最小时，点D到的距离为 ．
三、解答题
17．计算：
18．解方程：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出．
21．如图，在中，，垂足为E，点F在CD上，且．
求证：四边形是矩形．
22．已知：如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，求反比例函数的解析式．
23．如图，四边形是正方形，以点为坐标原点，分别在轴，轴上，点在边上，点的坐标为，点在边的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，连接和，且．
(1)求证：垂直平分；
(2)求正方形的边长；
(3)求点的坐标．
24．文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同．
(1)求、两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
25．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，求的长；
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由．
《期末复习巩固卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B B B A D
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可解答．
【详解】解：由题意得，分式有，，，共3个．
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查的是矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，即．
解得：，
在中，．
由翻折的性质可知：，．
∴．
设，则．
在中，由勾股定理得：，
∴．
解得：，
∴．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据相遇时乙船行驶了48里，可得乙船的航行时间为小时，甲船的航行时间为小时，即可得出关于的分式方程．
【详解】设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据题意得，
即．
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题．
【详解】解：由题意及旋转变换的性质得：，
，
，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，，
则，
，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
②当点在的右侧时，根据题意得：，，
则，
，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．
根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解．
【详解】解：由条件可知，
解得：，
∵，
∴，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．先求出，再根据旋转角可得，可判定是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出，从而得到，最后由勾股定理即可得到．
【详解】解：，
绕点顺时针旋转得到
又
是等腰直角三角形
又，，
在中，
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为4，
∴，
∴反比例函数与一次函数图象的一个交点为，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了旋转的性质．根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据将绕点B逆时针旋转得到，得出，，推出，即可推出结果．
【详解】解：在中，，，，
∴，
将绕点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可．熟练掌握该知识点是关键．
【详解】解：点为双曲线上一点，若轴于点，
．
故答案为：4．
13．
【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，，，则有，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线，
，
四边形ABCD为正方形，
，，，
，
，
，
由勾股定理得，，
的长为；
故答案为：．
14．
【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出，过点B作轴于点C，证明，由全等三角形的性质可得出，，进而可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
又∵点P在y轴上，
∴点P的坐标为，
过点B作轴于点C，
∵线段绕点P逆时针旋转得到线段，
∴，．
∴，
∵，
∴
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴
点B在第一象限，横坐标为正，纵坐标为正，
∴点B的坐标为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握旋转的性质以及构造全等三角形是解题的关键．
15．3
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，涉及求反比例函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、坐标与图形等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．过A作轴于E，过C作交延长线于F，利用正方形的性质和全等三角形的判定证明，利用坐标与图形性质得到，，进而求得点C坐标为，利用待定系数法求解k值即可．
【详解】解：过A作轴于E，过C作交延长线于F，
则轴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点A的坐标是，
∴，，
∴点C坐标为，
∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
故答案为：3．
16．
【分析】（1）先判定是的中位线，则，再结合旋转性质得，，运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）连接，在的延长线上取点M，使得，连接．根据全等三角形的性质可得出点F的运动轨迹，再结合勾股定理列式计算，据此可解决问题．
【详解】解：（1）∵在边长为4的等边中，D是的中点，点E是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）连接，在的延长线上取点M，使得，连接，
由旋转的性质得：，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴点F在与夹角为的直线上运动．
过点A作的垂线，垂足为，当点F在点时，取得最小值．
延长与的延长线交于点N，
∵，
∴．
∴在中，，
过点作
∴在中，，
即，
则，
∵，
∴，
∴在点E的运动过程中，线段长度最小时，点D到的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键；先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查分式方程的求解，解题关键是通过去分母将分式方程化为整式方程，求解后进行验根，确保分母不为零．
根据分式方程的解题步骤解答即可．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
检验：把代入，
∴是原方程的解．
19．，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
当时，原式．
20．见解析
【分析】本题主要考查了画旋转图形，连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
21．详见解析
【分析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，
，即
又，
∴四边形是平行四边形
，
矩形．
22．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
把点A代入一次函数解析式，可得点A坐标，把点A代入反比例函数可求得k的值．
【详解】解：点在一次函数图象上，
，即．
反比例函数的图象与一次函数的图象交于点
，即
反比例函数解析式为
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据：，，即可得证；
（2）证明，得出，进而根据，，即可求解；
（3）根据中点坐标公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴
∴垂直平分；
（2）解：在正方形中，，
在和中，
，
∴，
∴
∵点的坐标为，
∴，
∵
∴
（3）解：∵，
∴
∴
又点的坐标为，是的中点
∴
24．(1)种工具的单价是元，则种工具的单价是元
(2)最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元．
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键．
（1）设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意，
则种工具的单价是：元，
答：种工具的单价是元，则种工具的单价是元
（2）解：设够买种工具件，则购买种工具件，根据题意得，
解得：，
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴随的增大而减小,
∴时，取的最小值，此时元，
购进种工具件，
答：最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元．
25．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知，
．
．
，
．
．
由勾股定理得，，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
26．(1)；
(2)
(3)是定值，2
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可；
（2）用割补法表示出的面积，设参求解即可；
（3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可．
【详解】（1）解：将代入直线得，
，
解得，，
再将代入得，
联立得：，
解得：（舍去），
∴；
（2）解：如图，过C作轴交于点T，
设，则，
∴，
∴
，
解得（舍去），
∴点C的坐标为；
（3）解：是定值
设点，
设直线解析式为，将A、D坐标代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
令得，即，
令得，即，
同理可得直线解析式为，
令得，即，
令得，即，
∴，
∴为定值．
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