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【决战期末·50道综合题专练】浙教版八年级下册期末数学试卷
1．某水果店以640元的成本收购了某种水果，目前可以按12元的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失，且每个星期需支付各种费用16元，但同时每个星期价格会上涨2元．
（1）设水果店储藏了x个星期后出售，则售出的价格为________元；
（2）水果店为了获取利润1156元，且为了减少浪费，应储藏几个星期后出售？
2．某商场一种商品的进价为每件 元，售价为每件 元．每天可以销售 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价 1 元，每天可多销售 8 件，那么每天要想获得 640 元的利润，每件应降价多少元？
3．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件小商品应降价多少元？
4．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同.
（1）求平均年增长率？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点，连接，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
6．如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证：四边形 是矩形.
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根．
8．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示.请根据图象中的信息解决下列问题：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
9．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式．
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集．
10．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
11．如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标．
12． 我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下：
成绩得分用表示，共分成四组：
（A）.；（B）；（C）；（D）．
七年级名学生的成绩：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　 　，　 　，　 　．
（2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
（3）我校八年级共人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？
13．东城区为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各180名学生进行了体育测试，从中各随机抽取30名学生的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：
成绩（分）
甲校 2 3 5 10 10
甲校参与测试的学生成绩在这一组的数据是：
96，96.5，97，97.5，96.5，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：
学校 平均数 中位数 众数
甲校 96.35 m 99
乙校 95.85 97.5 99
（1）m＝　 　；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为97分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是　 　（填“王”或“李”）同学，请简要说出理由　 　．
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
14．游泳是一项全身性运动，可以舒展肌体，增强人体的心肺功能．在学校举办的一场游泳比赛中，抽得 10名学生200米自由泳所用时间（单位：秒）如下：
245 270 260 265 305 265 290 250 255 265
（1）这10名学生200米自由泳所用时间的平均数、中位数和众数分别是多少？
（2）如果有一名学生的成绩是267秒，你觉得他的成绩如何？请说明理由．
15．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小.
∵ 又∵ 则
∴，
∴.
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是　 　，的小数部分是　 　；
（2）比较与的大小.
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小.
16．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＜0）交于C（﹣8，1），D（﹣m，m2）两点.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）比较AC和BD的大小，直接填空：AC　 　BD；
（3）写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x的取值范围，直接填空：　 　.
17．直线y＝3x与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，m）和点B．
（1）求m、k的值，并直接写出点B的坐标
（2）过点P（t，0）（﹣1≤t≤1且t≠0）作x轴的垂线分别交直线y＝3x与反比例函数y＝ 的图象于点E，F．
①当t＝ 时，求线段EF的长；
②若0＜EF≤8，请根据图象直接写出t的取值范围．
18．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝，求一次函数的表达式．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根、满足，求m的值．
20．某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，每天销售量（y件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表.
销售单价x（元/件） … 20 30 40 …
每天销售量（y件） … 500 400 300 …
（1）
把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
（2）
相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
21．如图，一次函数y1=kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C，D两点，点A（-2，0），C（1，3）.
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式.
（2）当时，求x的取值范围。
（3）连结DO，CO，求△COD 的面积。
22．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 ＝0的两个实数根.
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
23．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
24．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
25．某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数／万人 a 　 　
（2）求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
26．如图，用99米长的木栏围成个矩形菜园 ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米.
（1）用含x的代数式表示AB的长.
（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长.
27．已知，四边形 是菱形，
（1）若 ，则菱形 的周长 　 　；
（2）如图①， ， 是对角线，则 与 的位置关系是　 　；
（3）如图②，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， 与 相交于点 ．
求证：四边形 是菱形．
28．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
29． 2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元.
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
30．丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度；
31．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点
（1）利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围.
32．问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
（1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
（3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
33．如图，点，分别在的边，上，，连接，.请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形.
（1）你添加的条件是　 　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明为菱形.
34．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象相交于点A（，6），B（n，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数y＝的图象上．当S△OCM：S△ACO＝1：3时，请求出点M的坐标．
35．已知：在中，，，点为直线上一动点（点不与、重合），以为边作正方形，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，证明．
（2）如图2，当点在线段的反向延长线上，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变时：
①猜想、、三条线段之间的数量关系并证明你的结论．
②连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．
36．某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．九年级成绩频数分布直方图
b．九年级成绩在 70≤x＜80 这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c．七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 75.9 77
八 77.2 78.5
九 77.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，九年级在70分以上（含70分）的有　 　人；
（2）表中的值为　 　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数．
37．观察下列式子的化简过程：
①；
②；
③；…
根据观察，解答下列各题：
（1）写出式子（n≥1）的化简过程；
（2）计算：+….
38．已知a＝2＋ ，b＝2﹣ ，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab＋b2；
（2）（a＋1）（b＋1）.
39．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点.
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标.
40．如图，一次函数的图象上A，B两点，点A在第一象限，点B在x轴上．点D在x轴正半轴上，点C的坐标为，四边形OADC为菱形．
（1）求k的值；
（2）求的面积；．
（3）设点P是直线AB上一动点，且，求点P的坐标．
41．
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F，
求证：OE=OF．
（2）在图①中，过点O作直线GH分别交AB、CD于点G、H，且满足GH⊥EF，连结EG、GF、FH、HE．如图②，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，
若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是　 　；
若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是　 　；
若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是　 　．
42．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边交于点E，连接，已知．
（1）点D的坐标是　 　；
（2）求的值；
（3）观察图象，请直接写出满足的x的取值范围；
（4）连接，在x轴上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长．
43．如图所示，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点.
（1）若△PEF的周长为20，求MN的长.
（2）若∠O=50°，求∠EPF的度数.
（3）请直接写出∠EPF与∠O的数量关系是　 　
44．如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，对角线AC、BD交于点E，且BC＝5，菱形ABCD的面积为24．
（1）求点A的坐标；
（2）求AC＋BD的值；
（3）若反比例函数y＝ 经过点E，且与边AD交于点F，过点F作FG垂直x轴于点G，请求出△BFG的面积．
45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 （k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2 ，点A的纵坐标为4.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求不等式mx+n＞ 的解集；
（3）连接MC，AO在x轴上，是否存在点P使S△PAO＝ SMBOC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
46．如图，已知反比例函数y1= 与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式 x+b的解．
47．如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒．
（1）　 　含的代数式表示；
（2）如图2，连接，，，当时，求的面积；
（3）如图3，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为　 　.
48．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=
与y=
(x>0，0（1）当m=10，n=30时
①若点P的纵坐标为4，求直线AB的函数表达式
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由。
（2）四边形ABCD能否成为正方形 若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由。
49．已知，如图正方形ABCD中，E为BC上任意一点，过E作EF⊥BC，交BD于F，G为DF的中点，连AE和AG．
（1）如图1，求证：∠FEA+∠DAG=45°；
（2）如图2在（1）的条件下，设BD和AE的交点为H，BG=8，DH=9，求AD的长．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．
（1）求和的值；
（2）当点在线段上时，如果，求的值；
（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．
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【决战期末·50道综合题专练】浙教版八年级下册期末数学试卷
1．某水果店以640元的成本收购了某种水果，目前可以按12元的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失，且每个星期需支付各种费用16元，但同时每个星期价格会上涨2元．
（1）设水果店储藏了x个星期后出售，则售出的价格为________元；
（2）水果店为了获取利润1156元，且为了减少浪费，应储藏几个星期后出售？
【答案】（1）
（2）应储藏11个星期后出售．
2．某商场一种商品的进价为每件 元，售价为每件 元．每天可以销售 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价 1 元，每天可多销售 8 件，那么每天要想获得 640 元的利润，每件应降价多少元？
【答案】每件应降价4元
3．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件小商品应降价多少元？
【答案】每件小商品降价10元
4．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同.
（1）求平均年增长率？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
【答案】（1）解：设平均年增长率为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
开方得： ，
解得： 或 （舍去），
则平均年增长率为 ；
（2）解：根据题意得： （万元），
则2019年盈利2592万元．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）求出 （万元）， 即可作答。
5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点，连接，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
作轴于点D，则，，
∴；
（2）解：点，都在一次函数的图象上，
∴，
解之得，
∴，
∴，
∴的面积=的面积-的面积=．
【解析】【分析】（1）先利用点C的坐标求出m，从而确定反比例函数的解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，从而确定点B的坐标；最后过点B作y轴的垂线，交y轴于点D，在Rt△BOD中，根据点B坐标可以求出BD、OD长，从而可以求出tan∠AOD的值；
（2）先利用B、C两点的坐标，求出一次函数的解析式，然后根据一次函数解析式确定点A的坐标；△BOC的面积可以看成△AOC的面积减去△AOB的面积.
6．如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证：四边形 是矩形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形
【解析】【分析】（1） 根据平行四边形的性质得出AD∥BC，且AD=BC，由线段的中点得出BC=CE，由等量代换可得AD=CE，由AD∥CE，利用一组对边平行且相等可证四边形ACED是平行四边形；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根．
【答案】（1）解：，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：．
（2）解：当k=0时，原方程为，
，
或，
解得：．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将ｋ＝0代入方程，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
8．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示.请根据图象中的信息解决下列问题：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
∴7=，
∴k=14，
∴y与x之间的函数表达式为y=；
（2）解：当x=0.5时，y==28米，
∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；
（3）解：当y≥35时，即≥35，
∴x≤0.4，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米.
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，将（2，7）代入求出k的值，据此可得对应的函数表达式；
（2）令（1）关系式中的x=0.5，求出y的值即可；
（3）令y≥35，求出x的范围即可.
9．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式．
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集．
【答案】（1）解：将 代入 ．
∴
∴
当 时，
∴
将 ， 代入
∴
∴
（2）解：由图象得，当 或 时， ，
∴关于x的不等式 的解集为 或 ．
【解析】【分析】（1）将点A（3，2）代入 中，求出m值即得 ，将点B坐标代入，求出n值即得点B坐标，然后将A、B坐标代入中，求出k、b的值即可；
（2） 由图象得当 或 时 ，反比例函数在一次函数图形的上方，据此即得结论.
10．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）证明：∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB=90°，
∵AE=3，DE=4，DF=5，
∴AD=，
∴AD=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
【解析】【分析】（1）先证四边形DEBF为平行四边形，由垂直的定义可得∠DEB=90°，根据矩形的判定定理即证；
（2） 由矩形的性质可得∠DEB=90°， 利用勾股定理求出AD=5， 即得AD=DF=5，利用等边对等角可得∠DAF=∠DFA，由AB∥CD可得∠FAB=∠DFA，从而得出∠FAB=∠DFA，根据角平分线的定义即得结论.
11．如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把点A代入直线得：，
解得：，
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
（2）解：把点B代入直线得：，
解得：，
∴点B的坐标为：，
结合点A的坐标为：，
数形结合，不等式的解集为：或；
（3）解：把代入得：，
解得：，
即点C的坐标为：，即，
结合点A的坐标为：，
∴，
∵，
即：，
∵，即，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出点B的坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点C的坐标，可得OC=2，再结合，即，求出，再求出点P的坐标即可。
12． 我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下：
成绩得分用表示，共分成四组：
（A）.；（B）；（C）；（D）．
七年级名学生的成绩：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　 　，　 　，　 　．
（2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
（3）我校八年级共人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？
【答案】（1）；；
（2）解：七八年级的平均数相等，根据已知条件可得，七年级成绩的方差为：
，即七年级成绩的方差为，
，
七年级成绩的方差比八年级小，七年级的成绩更稳定；
（3）解：由题意得：八年级成绩大于或等于分的有人，
（人），
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人．
【解析】【解答】（1）、由题意得，八年级A组2人，B组1人，C组3人，故D组4人，∴D组百分数为40%，即a=40 ；将七年级的成绩排序为82，86，86，89，90，96，96，96，99，100，故中间的成绩为90和96的平均数，即b=93；因96出现的次数最多，∴众数为96.
【分析】本题考查数据统计中中位数，众数，方差和扇形统计图中百分比的计算方法，知道方差的意义，并由样本估计总体的实际意义.
13．东城区为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各180名学生进行了体育测试，从中各随机抽取30名学生的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：
成绩（分）
甲校 2 3 5 10 10
甲校参与测试的学生成绩在这一组的数据是：
96，96.5，97，97.5，96.5，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：
学校 平均数 中位数 众数
甲校 96.35 m 99
乙校 95.85 97.5 99
（1）m＝　 　；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为97分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是　 　（填“王”或“李”）同学，请简要说出理由　 　．
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
【答案】（1）96.5
（2）王；97分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前；
（3）解：样本中，96分以上的学生人数所占的百分比为；
所以甲校96分以上的学生人数为（人），
因此乙校96分以上的学生人数为120×2－100＝140（人），
答：乙校96分以上（含96分）的总人数为140人．
【解析】【解答】解：(1)把甲校所抽取的30名学生的成绩从小到大排序后，处在中间位置的两个数都是96.5，因此中位数是96.5，即m＝96.5，
故答案为：96.5；
(2)甲校的中位数是96.5，乙校的中位数是97.5，而97分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前，
故答案为：王，理由：97分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前；
【分析】（1）利用中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用中位数的定义求解即可；
（3）根据题意列出算式求解即可。
14．游泳是一项全身性运动，可以舒展肌体，增强人体的心肺功能．在学校举办的一场游泳比赛中，抽得 10名学生200米自由泳所用时间（单位：秒）如下：
245 270 260 265 305 265 290 250 255 265
（1）这10名学生200米自由泳所用时间的平均数、中位数和众数分别是多少？
（2）如果有一名学生的成绩是267秒，你觉得他的成绩如何？请说明理由．
【答案】（1）解：平均数为267秒，中位数和众数为265秒．
（2）解：根据（1）中得到的样本数据的平均数可以估计，在这次比赛中，该名学生的成绩处于平均水平；从样本数据的中位数可以估计，大约有70%的学生200米自由泳所用的时间不大于 265秒，可得这名学生的成绩处于中等偏下水平．
【解析】【解答】解：（1）平均数=（245+270+260+265+305+265+290+250+255+265）=267，
把数据从大到小排列为245，250，255，260，265，265，265，270，290，305，
∴中位数==265，
∵数据265出现的次数最多，
∴众数为265；
【分析】（1）根据平均数公式列式进行计算，根据中位数和众数的定义，即可得出答案；
（2）根据平均数、中位数、众数的特征进行分析，即可得出答案.
15．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小.
∵ 又∵ 则
∴，
∴.
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是　 　，的小数部分是　 　；
（2）比较与的大小.
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小.
【答案】（1）5；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出7-的范围，据此解答；
（2）作差可得2--(-3)=5-=-，据此进行比较；
（3）作差并利用分母有理化化简可得= ，然后进行比较.
16．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＜0）交于C（﹣8，1），D（﹣m，m2）两点.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）比较AC和BD的大小，直接填空：AC　 　BD；
（3）写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x的取值范围，直接填空：　 　.
【答案】（1）解：∵双曲线经过点C（﹣8，1），
∴a＝﹣8×1＝﹣8，
∴双曲线解析式为y＝﹣，
将D（﹣m，m2）代入，得，
∴m3＝8，
∴m＝2，
∴D（﹣2，4），
∴，解得k＝，b＝5，
∴直线解析式为y＝x+5；
（2）=
（3）﹣8＜x＜﹣2
【解析】【解答】解：（2）作CE⊥x轴于E，DF⊥y于F，如图所示：
∵直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣10，0），B（0，5），
∵C（﹣8，1），D（﹣2，4），
∴AE＝DF＝2，CE＝BF＝1，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴AC＝BD，
故答案为：＝；
(3)直线对应函数值大于双曲线，由图象可知：
图中段满足题意，其对应函数值自变量x的取值范围是﹣8＜x＜﹣2.
故答案为：﹣8＜x＜﹣2.
【分析】（1）将C（-8，1）代入y=中可得a的值，据此可得双曲线的解析式，将D（-m，m2）代入可得m的值，进而可得点D的坐标，将C、D的坐标代入y=kx+b中求出k、b，进而可得直线解析式；
（2）作CE⊥x轴于E，DF⊥y于F，易得A（-10，0），B（0，5），结合C、D的坐标可得AE＝DF=2，CE＝BF＝1，证明△ACE≌△DBF，据此可得结论；
（3）根据图像，找出直线位于双曲线上方部分所对应的x的范围即可.
17．直线y＝3x与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，m）和点B．
（1）求m、k的值，并直接写出点B的坐标
（2）过点P（t，0）（﹣1≤t≤1且t≠0）作x轴的垂线分别交直线y＝3x与反比例函数y＝ 的图象于点E，F．
①当t＝ 时，求线段EF的长；
②若0＜EF≤8，请根据图象直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：把A（1，m）代入y＝3x得：m＝3，
即A（1，3），
把A的坐标代入y＝ 得：3＝ ，
解得k＝3，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（﹣1，﹣3）；
（2）解：①点P（t，0），
∴点E的坐标为（t，3t），点F的坐标为（t， ）．
当t＝ 时，则E（ ，1），F（ ，9），
∴EF＝9﹣1＝8；
②﹣1＜t≤﹣ 或 ≤t＜1．
【解析】【解答】（2）②由函数的对称性可知当t＝± 时，EF＝8，当t＝±1时EF＝0，
∴若0＜EF≤8，则t的取值范围是﹣1＜t≤﹣ 或 ≤t＜1．
【分析】（1）把点A（1，m）的坐标代入直线y＝3x，即可得出m=3，从而得出点A的坐标，再代入反比例函数y=，即可得出k=3，然后根据点B与点A关于原点对称，即可得出点B的坐标；
（2）①先求出点E和点F的坐标，即可得出EF的长；
②根据函数的对称性得出当t＝±时，EF＝8，当t＝±1时EF＝0，再根据0＜EF≤8，即可得出t的取值范围.
18．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝，求一次函数的表达式．
【答案】（1）解：对于一次函数y＝kx﹣2k（k≠0），
令y＝0，则kx﹣2k＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
设C（a，b），
∵CB⊥y轴，
∴B（0，b），
∴BC＝﹣a，
∵S△ABC＝3，
∴，
∴ab＝﹣6，
∴m﹣1＝ab＝﹣6，
∴m＝﹣5，
即A（2，0），m＝﹣5
（2）解：在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∵，
∴b2+4＝8，
∴b2＝4，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴a＝﹣3，
∴C（﹣3，2），
将C代入到直线解析式中得，
∴一次函数的表达式为．
【解析】【分析】（1）将y=0代入y＝kx﹣2k，求出x的值，即可得到点A的坐标，再设C（a，b），利用S△ABC＝3，可得，求出 ab＝﹣6，结合m﹣1＝ab＝﹣6，可得m的值；
（2）先求出点C的坐标，再将点C的坐标代入解析式求出k的值即可。
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根、满足，求m的值．
【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程，
，
无论为何实数，总有，即，
无论为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：方程的两个实数根、，
，，
，
解得或，
即m的值为或．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
20．某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，每天销售量（y件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表.
销售单价x（元/件） … 20 30 40 …
每天销售量（y件） … 500 400 300 …
（1）
把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
（2）
相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
【答案】（1）解：可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴ ，
解得 ，
∴函数关系式是y＝﹣10x+700
（2）解：设工艺厂试销该工艺品实际售价为x元，
依题意得：（x﹣10）（﹣10x+700）＝8000，
解得，x1＝30，x2＝50（舍），
所以，当售价为30元时，利润为8000元.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（20，500）、（30，400）代入可得k、b的值，据此可得函数关系式；
（2）设工艺厂试销该工艺品实际售价为x元，依题意得：(x-10)·(-10x+700)＝8000，求解即可.
21．如图，一次函数y1=kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C，D两点，点A（-2，0），C（1，3）.
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式.
（2）当时，求x的取值范围。
（3）连结DO，CO，求△COD 的面积。
【答案】（1）解：将点，代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故一次函数表达式为：，
将点代入解得：，
故反比例函数表达式为：；
（2）解：由图象可知，当时，x的取值范围为或；
（3）解：解：联立一次函数和反比例函数可得：，
解得：，，
故点C、D的坐标分别为、，
当时，，
∴，
∴的面积.
22．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 ＝0的两个实数根.
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又∵AB、AD的长是关于x的方程 =0
∴△=（-m）2-4×（ ）=（m-1）2=0，
∴m=1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形.
当m=1时，原方程为
解得：x1=x2= ，
∴菱形ABCD的边长是 .
（2）把x=1代入原方程，得：
解得：m= .
将m= 代入原方程，得：
∴x1=1，x2=
∴AD= ，
∴ ABCD的周长是2×（1+ ）=3.
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，结合根的判别式，可得△=b2－4ac=0，求出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；（2）将x=1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出 ABCD的周长.
23．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）解：设年销售量y与销售单价x的函数式为：
y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴ 年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000.
（2）解：设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x - 30)万元，销售数量为(- 10x + 1000)台，
则：(x-30)(-10x+1000) =10000，
整理得：x2 -130x+4000=0，
解得： x1=50，x2 = 80，
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50.
答：该设备的销售单价应是50万元/台.
【解析】【分析】(1)设年销售量y与销售单价x的函数式为：y=kx+b（k≠0），根据题意，利用待定系数法求一次函数式即可；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x - 30)万元，销售数量为(- 10x + 1000)台，根据“年利润=每台利润×销售数量”建立关于x的一元二次方程，结合单价不得高于70万元， 求解即可。
24．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【解析】【分析】（1）先根据点D，E分别是AC，AB的中点， 证明DE是△ABC的中位线，得DE//BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，再根据一组对边平行且相等即可证明四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，根据平行四边形的性质，得：BD＝EF，再在中由勾股定理，即可求得BD.
25．某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数／万人 a 　 　
（2）求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】（1），
（2）20%
（3）每件售价应定为50元
26．如图，用99米长的木栏围成个矩形菜园 ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米.
（1）用含x的代数式表示AB的长.
（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长.
【答案】（1）解： .
（2）解：由题意得 ，
解得 ， .
∵ ， ，∴ .
答：所利用旧墙AD的长为10米.
【解析】【分析】（1）抓住题中关键已知条件：BC边上留了一个宽1米的进出口，因此可得到AB+DC=99-x+1，可表示出AB的长。
（2）利用矩形ABCD的面积=AB·AD=450，列出关于x的一元二次方程，解方程求出符合题意的x（x≤20）的值。
27．已知，四边形 是菱形，
（1）若 ，则菱形 的周长 　 　；
（2）如图①， ， 是对角线，则 与 的位置关系是　 　；
（3）如图②，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， 与 相交于点 ．
求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）20
（2）
（3）证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴AB BM＝AD DN，
∴AM＝AN，
∴四边形AMEN是菱形
【解析】【解答】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴菱形ABCD的周长＝20；
故答案为：20；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是对角线，
∴AC⊥BD，
∴AC与BD的位置关系是垂直，
故答案为：垂直；
【分析】（1）根据菱形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质即可得到结论；（3）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形．
28．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.
29． 2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元.
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
【答案】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率 ，根据题意得，
解得 （舍去）
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为 .
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，
则2022年该县将投入“扶贫工程” 万元.
【解析】【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率x，根据2021年该县计划投入“扶贫工程”的钱数=2019年该县投入“扶贫工程”的钱数×(1+增长率)2列出方程，求解即可；
（2）利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的钱数×(1+增长率)就可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的钱数.
30．丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度；
【答案】各通道的宽度为2米；
31．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点
（1）利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点A在y＝ 上，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣ ，
∵点B在y＝﹣ 上，
∴a＝﹣ ＝﹣2，
∴B点坐标为（1，-2）
∵点A，B在y＝kx＋b上，
∴将A与B代入得： ，
解得： ，则一次函数的表达式为y＝﹣x﹣1；
（2）解：对于y＝﹣x﹣1中，当y＝0时，得x＝﹣1，即C(﹣1，0)，OC＝1，
则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ ×1×1＋ ×1×2＝ ；
（3）解：通过观察可知：x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数的值.
【解析】【分析】（1）由题意把A、B两点的坐标代入反比例函数的解析式可求得a、m的值；再把A、B两点的坐标代入一次函数的解析式可得关于k、b的方程，解方程可求得K、b的值，于是可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式可求得直线与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB=S△AOC+S△BOC可求得三角形AOB的面积；
（3）观察图像，一次函数的值大于反比例函数的值即为一次函数的图象高于反比例函数的图象所对应的x的取值范围.
32．问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
（1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
（3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
【答案】（1）相等；互相垂直
（2）解：AH⊥DF，AH=DF，
证明：连接AE、DE，
∵∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH，
即：∠FED=∠AEH，
又∵EH=EF，EA=ED，
∴△FED≌△AEH（SAS），
∴DF=AH，
∵∠AHE+∠HOE=90°，
∴∠EFD+∠AOF=90°，
∴FD⊥AH；
（3）解：①S△BMN+S△CEN=10；②答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【解析】【解答】解：（1）延长HA交FD于T，
∵AB=AD，HB=AF，∠ABH=∠DAH=180°-45°=135°，
∴△ABH≌△DAF（SAS），
∴AH=DF，∠AHE=∠AFD，
又∵∠HAE=∠FAT，
∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHE，
即∠FTA=∠AEH=90°，
∴AH⊥DF，
故答案为：AH=DF，AH⊥DF（相等；互相垂直）；
（3）①连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FEH=90°，
∴∠MEB+∠BEN=∠NEC+∠BEN，
∴∠MEB=∠NEC，
∴△MBE≌△NCE（ASA），
∴BM=CN，
∵AM=2，AB=6，
∴BM=CN=4，BN=2，
∴S△BMN+S△CEN= ；
②若α=45°，如下图：
答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【分析】（1）延长HA交FD于T，易证△ABH≌△DAF，得到AH=DF，∠AHE=∠AFD，结合内角和定理可得∠FTA=∠AEH=90°，据此解答；
（2）连接AE、DE，根据角的和差关系可得∠FED=∠AEH，证明△FED≌△AEH，得到DF=AH，根据∠AHE+∠HOE=90°可得∠EFD+∠AOF=90°，据此解答；
（3）①连接BE，根据正方形的性质可得BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，∠FEH=90°，证明△MBE≌△NCE，得到BM=CN，易得BM=CN=4，BN=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
②根据正方形、平行四边形的判定定理进行解答.
33．如图，点，分别在的边，上，，连接，.请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形.
（1）你添加的条件是　 　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明为菱形.
【答案】（1）①
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为菱形.
【解析】【解答】解：（1）添加的条件是.
故答案为：①；
【分析】（1）根据菱形的判定定理进行解答；
（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，利用AAS证明△ADE≌△CDF，得到AD=CD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.
34．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象相交于点A（，6），B（n，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数y＝的图象上．当S△OCM：S△ACO＝1：3时，请求出点M的坐标．
【答案】（1）解：把点，代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，，代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
，或，．
【解析】【分析】（1）把点，代入可求出， 把代入解析式中可得B（2，1），然后根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2） 由求出点C（，0） ，可得OC=，从而求出 ， 继而得出， 设， 利用三角形的面积公式可得，据此求出x值即可.
35．已知：在中，，，点为直线上一动点（点不与、重合），以为边作正方形，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，证明．
（2）如图2，当点在线段的反向延长线上，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变时：
①猜想、、三条线段之间的数量关系并证明你的结论．
②连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：证明：，，
．
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①、与的关系：
理由：与（1）同理可证，从而可得：
，
即：；
②是等腰三角形
理由：与（1）同理可证，可得：．
又，，
，
则，
，
，
为直角三角形．
又四边形是正方形，对角线与相交于点，
，
，
是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，则∠ABC=∠ACB=45°，由正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，根据同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△BAD≌△CAF，据此可得结论；
（2）①由全等三角形的性质可得BD=CF，然后根据线段的和差关系进行解答；
②由全等三角形的性质可得∠DBA=∠FCA，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=135°，∠DCF=90°，推出△FCD为直角三角形，由正方形的性质可得OC=DF，则OC=OA，据此解答.
36．某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．九年级成绩频数分布直方图
b．九年级成绩在 70≤x＜80 这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c．七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 75.9 77
八 77.2 78.5
九 77.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，九年级在70分以上（含70分）的有　 　人；
（2）表中的值为　 　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数．
【答案】（1）34
（2）76.5
（3）解：甲学生在该年级的排名更靠前，
七年级学生甲的成绩高于中位数77分，所以其名次在该年级抽查的学生数的25名及以前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78.5分，其名次在该年级抽查的学生数的26名及以后，
甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）解：估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数为（人）．
答：估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数是216人．
【解析】【解答】（1）解：在这次测试九年级在70分以上（含70分）的有（人）；
故答案为：34；
（2）解：九年级50人成绩的中位数按从小到大排列是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为76、77，
故答案为：76.5；
【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据求出即可作答；
（2）根据中位数的定义计算求解即可；
（3）根据中位数，结合题意判断求解即可；
（4）根据该校九年级学生有450人， 计算求解即可。
37．观察下列式子的化简过程：
①；
②；
③；…
根据观察，解答下列各题：
（1）写出式子（n≥1）的化简过程；
（2）计算：+….
【答案】（1）解：原式＝
＝.
（2）解：原式＝
＝.
【解析】【分析】（1）给分子、分母同时乘以，然后利用平方差公式化简即可；
（2）对原式中每一个加数进行分母有理化进行化简 ，进而再计算加减法即可算.
38．已知a＝2＋ ，b＝2﹣ ，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab＋b2；
（2）（a＋1）（b＋1）.
【答案】（1）解：a2﹣3ab＋b2
= ，
∵a＝2＋ ，b＝2﹣ ，代入得，
原式= ；
（2）解：（a＋1）（b＋1）= ，
∵a＝2＋ ，b＝2﹣ ，代入得，
原式= .
【解析】【分析】（1）由题意先将所求代数式根据完全平方公式变形为（a-b）2-ab，再把a、b的值代入原式计算即可求解；
（2）由题意先用多项式乘以多项式法则去括号，再把a、b的值代入原式计算即可求解.
39．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点.
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标.
【答案】（1）解：将点代入反比例函数，
得，，，
∴，
将代入，
得，，，
∴，；
（2）解：将点和分别代入一次函数，
得，，
解得，，
∴；
（3）解：作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，
理由：的周长为最小，
设的表达式为
∵点、，
∴，
解得，，
∴的表达式为，
∴时，，
故点P的坐标为；
（4）（2，1），或（-2，9），或（4，3）
【解析】【解答】解：（4）D的坐标为，或，或.理由：
由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，
设点D的坐标为，
①当是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，
则0+2=s，5-4=t或0-2=s，5+4=t，
解得或；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：， ，
解得；
故点D的坐标为，或，或.
【分析】（1）将A（1，6）代入y2=中求出m的值，可得反比例函数的解析式，然后将B（n，2）代入可求出n的值；
（2）将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得一次函数的表达式；
（3）作点A关于y轴的对称点G（-1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点，此时△PAB的周长最小，为BG+AB的值，利用待定系数法求出直线BG的解析式，令x=0，求出y的值，据此可得点P的坐标；
（4）由（1）（2）知：点A、B、P的坐标分别为（1，6）、（3，2）、（0，5），设D（s，t），然后分①AB是边，②AB是对角线，结合平行四边形的性质求出s、t的值，据此可得点D的坐标.
40．如图，一次函数的图象上A，B两点，点A在第一象限，点B在x轴上．点D在x轴正半轴上，点C的坐标为，四边形OADC为菱形．
（1）求k的值；
（2）求的面积；．
（3）设点P是直线AB上一动点，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：由点C的坐标为，结合菱形的性质可知，
∴点A的坐标为（1，2），D（2，0），
把点A（1，2）代入y=kx+1得， k+1=2，
解得k=1；
∴直线AB为
（2）解：由（1）得一次函数的关系式为y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点B（-1，0），
即OB=1，
∴BD=1+2=3，
∴S△ABD=×3×2=3；
（3）解：
如图，记AB与y轴的交点为Q，
当时，则 即Q
设点P（x，x+1），
，
而S△AOP= S菱形OADC，
∴
解得x=5或x=-3，
当x=5时，y=6， 当x=-3时，y=-2，
∴点P的坐标为（5，6）或（-3，-2）．
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出点B的坐标，再求出BD的长，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（3）设点P（x，x+1）， 求出，再利用S△AOP= S菱形OADC， 列出方程求出x的值即可。
41．
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F，
求证：OE=OF．
（2）在图①中，过点O作直线GH分别交AB、CD于点G、H，且满足GH⊥EF，连结EG、GF、FH、HE．如图②，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，
若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是　 　；
若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是　 　；
若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是　 　．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由：如图②：由（1）可知，OE=OF，
同理可得：OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形
（3）菱形；菱形；正方形
【解析】【解答】⑶解：若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是菱形；
理由：由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
故答案为：菱形；
若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是菱形；
理由：由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC⊥BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
故答案为：菱形；
若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是四边形EGFH是正方形；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
在△BOG和△COF中
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，
同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．
故答案为：正方形．
【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质结合三角形全等可证明OE=OF；（2）结合（1）证明的OE=OF，同理可证OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形EGFH是平行四边形，再有EF⊥GH，根据对角线互相垂直的平行四边形是棱形，可证四边形EGFH是菱形；（3）若平行四边形ABCD变为矩形和菱形，证出四边形EGFH仍是菱形，若平行四边形ABCD变为正方形，则对角线相等且互行垂直，可根据三角形全等，证明四边形EGFH是正方形。
42．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边交于点E，连接，已知．
（1）点D的坐标是　 　；
（2）求的值；
（3）观察图象，请直接写出满足的x的取值范围；
（4）连接，在x轴上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，A（1，0）
又∵AB=3，
∴B（4，0），E点横坐标为4，AB=4，
∴E点纵坐标为，即E(4，)，BE=，
∴tan∠EOB=.
故答案为：.
（3）解：；
（4）解：或
【解析】【解答】（1）解：∵AB=3
∴AD=3，即D点纵坐标为3，
带入正比例函数 ，得3=3x，解得x=1，
∴ 点D的坐标是。
故答案为：.
（3）解：当时，此时x=1，由此可知，当 时，x的取值范围为；
故答案为：.
（4）解：∵E(4，)，D，
∴直线DE解析式为，
如图所示，在AD上取一点F，使得DF=，则S△DEF=，AF=，F（1，），
∴PF∥DE，直线PF解析式为，
∴点P（4，0），点Q（4，）
∴PQ=，
当点P在B点右侧时，设直线DE与x轴交于点G（5，0），
则点G为PP'的中点，
∴点P'（6，0），
∴点Q（6，），
∴PQ=.
综上，PQ的长为或。
【分析】（1）将y=3带入正比例函数解析式，即可求出D点坐标；
（2）由D点坐标求出反比例函数解析式，从而得到E点坐标，即可求出结果；
（3）根据图像，当 时，图像在直线y=3的上方，由此可确定x取值范围；
（4）先求出直线DE解析式，再利用 ，从AD上取点F，使得DF=，则S△DEF=，得到PF∥DE，再求出直线PF解析式，得到P点第一个坐标，求出PQ的长；当P点在B点右侧时，先求出直线DE于x轴交点坐标，根据平行线间距离相等，推出点G为PP'的中点，继而可求出另一种情况下点P的坐标及PQ的长。
43．如图所示，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点.
（1）若△PEF的周长为20，求MN的长.
（2）若∠O=50°，求∠EPF的度数.
（3）请直接写出∠EPF与∠O的数量关系是　 　
【答案】（1）解：∵点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点.
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴EM=EP，FP=FN，
∴MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周长，
又∵△PEF的周长为20，
∴MN=20cm.
（2）解：由（1）知：EM=EP，FP=FN，
∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，
∵∠PCE=∠PDF=90°，
∴在四边形OCPD中，∠CPD+∠O=180°，
又∵在△PMN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，且∠CPD+∠O=180°，
∴∠M+∠N=∠O=50°.
∴在△PEF中，∠EPF+∠PEF+∠PFE=∠EPF+2∠M+2∠N=180°，
即∠EPF=180°-2∠M-2∠N=180°-2（∠M+∠N）=180°-2∠O=80°.
（3）∠EPF=180°-2∠O
【解析】【解答】解：（3）由（2）可直接得到∠EPF=180°-2∠O.
故答案为：∠EPF=180°-2∠O.
【分析】（1）根据轴对称的性质可得EM=EP，FP=FN，进而推出MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周长即可；
（2）由（1）及等腰三角形的性质、四边形的内角和找出∠M+∠N与∠O、∠EPF与∠O的关系即可；（3）由（2）可直接得到∠EPF=180°-2∠O.
44．如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，对角线AC、BD交于点E，且BC＝5，菱形ABCD的面积为24．
（1）求点A的坐标；
（2）求AC＋BD的值；
（3）若反比例函数y＝ 经过点E，且与边AD交于点F，过点F作FG垂直x轴于点G，请求出△BFG的面积．
【答案】（1） ，菱形 的面积为24， ，
，
解得 ，
则点 的坐标为 ；
（2） 四边形 是菱形，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
菱形 的面积为24，
，即 ，
解得 ，
则 ；
（3）画图如下：
，
，
，
，
将点 代入 得： ，解得 ，
则反比例函数的解析式为 ，
由题意得：点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，即为 ，
对于反比例函数 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
，
，
则 的面积为 ．
【解析】【分析】（1）根据菱形的面积公式求出 OA 的长，由此即可得；
（2）先根据菱形的性质可得 ，再利用勾股定理分别求出 的长，然后利用菱形的面积公式可得 的长，最后代入求值即可得；
（3）先根据点 坐标求出点 的坐标，再利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，然后根据点 的纵坐标与点 的纵坐标相同可求出点 的坐标，从而可得 的长，最后利用直角三角形的面积公式即可得．
45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 （k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2 ，点A的纵坐标为4.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求不等式mx+n＞ 的解集；
（3）连接MC，AO在x轴上，是否存在点P使S△PAO＝ SMBOC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵BM⊥x轴，
∴∠BMO=90°，
∴ ，
∵BM＝OM，OB＝2 ，
∴ ，
∴BM＝OM=2，
∴B（-2，-2）
将点B的坐标代入反比例函数 中，得k=4，
∴反比例函数解析式为 ，
将x=4代入 ，得y=1，
∴A（1，4），
将点A、B的坐标代入一次函数y＝mx+n中，得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y=2x+2；
（2）解：由图象知，当-21时，
（3）解：存在.过点A作AD⊥x轴于D，
∵一次函数y=2x+2与y轴交点为C（0，2），
∴OC=2，
∴SMBOC= ，
∴ S△PAO＝ SMBOC=2，
∴ .
∴OP=1，
∴P（1，0）或（-1，0）.
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠BMO=90°，结合勾股定理可得BM＝OM=2，则B（-2，-2），代入中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，将x=4代入，得y=1，则A（1，4），然后利用待定系数法就可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可；
（3）过点A作AD⊥x轴于D，易得OC=2，根据S四边形MBOC=S△AOC+S△BMO可得四边形MBOC的面积，进而求出△PAO的面积，然后根据三角形的面积公式可得OP，据此可得点P的坐标.
46．如图，已知反比例函数y1= 与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式 x+b的解．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= 与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1=1×8=8，m=8÷（﹣4）=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．
将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y2=k2x+b中，
，解得： ．
∴k1=8，k2=2，b=6．
（2）解：当x=0时，y2=2x+6=6，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，6）．
∴S△AOB= ×6×4+ ×6×1=15．
（3）解：观察函数图象可知：当﹣4＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式 x+b的解为﹣4≤x＜0或x≥1．
【解析】【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．
47．如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒．
（1）　 　含的代数式表示；
（2）如图2，连接，，，当时，求的面积；
（3）如图3，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为　 　.
【答案】（1）4-t(0＜t≤2）
（2）解：如图2中，
四边形BPDQ是平行四边形，
∴，，
∵，
四边形APQD是平行四边形，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，∠A=30°，
∴BC=AB=4，AC=，
由题意得CQ=t，
∴BQ=4-t（0＜t≤2）；
故答案为：4-t（0＜t≤2）；
（3）如图2，∵BP=4t，AB=8，
∴AP=8-4t，
在Rt△APE中，∠A=30°，
∴PE=PA=4-2t，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴PD=BQ=4-t，
∴DE=PD-PE=4-t-（4-2t）=t=CQ，
∵∠EFD=∠CFQ，∠D=∠CQF，
∴△EFD≌△CFQ（AAS），
∴EF=CF；
如图3，当D'与Q重合，
由对称性质得PD=PQ，
∴PQ=BQ，
∵∠A=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴4t=4-t，
∴t=；
如图4，点D'在斜边AB上，
由对称得：∠DPF=∠D'PF=60°，
∵∠PDF=∠B=60°，
∴△PDF是等边三角形，
∴PD=DF，
∴4-t=2t，
解得t=，
∴t的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据含30°角直角三角形性质得BC=4，根据路程、速度和时间的关系可得CQ=t，进而根据BQ=BC-CQ可得答案；
（2）根据四边形BPDQ是平行四边形，证明四边形APQD是平行四边形，可得t=1，再用AAS证明△EFD ≌△CFO，得FD=FQ，EF=CF=，最后利用三角形的面积公式可解答；
(3)易得BP=4t，则AP=8-4t，由含30°角直角三角形的性质得PE=PA=4-2t，由平行四边形性质得PD=BQ=4-t，则DE=PD-PE=4-t-（4-2t）=t=CQ，由AAS证△EFD≌△CFQ，得EF=CF；如图3，当D'与Q重合，由对称性质得PD=PQ，推出PQ=BQ，进而判断出△PBQ是等边三角形，得PB=BQ，据此建立方程求解可得t的值；如图4，点D'在斜边AB上，由对称得：∠DPF=∠D'PF=60°，进而判断出△PDF是等边三角形，得PD=DF，据此建立方程，求解可得t的值，综上即可得出答案.
48．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=
与y=
(x>0，0（1）当m=10，n=30时
①若点P的纵坐标为4，求直线AB的函数表达式
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由。
（2）四边形ABCD能否成为正方形 若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由。
【答案】（1）解：①设B点坐标为（5， ），当m=10时，B点坐标为（5，2），
∵PD∥y轴，BD⊥AC，则AC∥x轴，
∵P点纵坐标为4，则A点纵坐标也为4，A点横坐标为 ，
则A点坐标为（ ，4），
设直线AB的函数解析式为：y=kx+b， 把A、B点坐标代入得：
，解得：
；
②边形ABCD是菱形，理由如下：
B点坐标为（5，2），把x=5代入 ， 得y=6，
∴D点坐标为（5，6），
P为BD的中点则P点坐标为（5，4），
当y=4，由y= 得，x= ， 由y= 得，x= ，
∴PA=xP-xA=5- = ， PC=xC-xP= -5= ，
∴PA=PC，
∵PB=PD，BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解： 四边形ABCD能成为正方形 ，m+n=40，理由如下：
当四边形ABCD为正方形时，AC=BD，
当x=5时，y= ， y= ，
∴B点坐标为（5， ），D点坐标为（5， ），
∴P点坐标为（5， ），
∴A点坐标为（ ），C点坐标为（ ），
由AC=BD得， ，
整理得：m+n=50.
【解析】【分析】（1）已知m的值和B点横坐标，代入 y= ，求出B点坐标，PB平行y轴，则P、B两点横坐标相等，AC⊥BD，则A、P点纵坐标相等，代入y=
中，求得A点坐标，A、B点坐标已求，由待定系数法即可求出直线AB的函数解析式；
（2）由BD∥y轴得B、D的横坐标相等，结合y= ，求出D点的坐标，再根据中点坐标公式求出P点坐标，由P点纵坐标，分别代入 和 ， 求出A、C点横坐标，由于AC平行x轴，根据A、P、C的横坐标即可求出PA和PC，因求得PC=PA，结合PD=PA，AC垂直BD，推得四边形ABCD为菱形；
（3）根据B的横坐标为4，结合反比例函数式，把BD的坐标用含m或n的代数式表示，根据中点坐标公式求出P点坐标，因AC平行x轴，则纵坐标相同，由P点纵坐标结合反比例函数式把A、C两点坐标用含m、n的代数式表示，求出AC的长度，根据AC=BD列关系式整理化简即可得出m+n的值。
49．已知，如图正方形ABCD中，E为BC上任意一点，过E作EF⊥BC，交BD于F，G为DF的中点，连AE和AG．
（1）如图1，求证：∠FEA+∠DAG=45°；
（2）如图2在（1）的条件下，设BD和AE的交点为H，BG=8，DH=9，求AD的长．
【答案】（1）证明：作GM⊥BC于M，连接GE、GC，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG，
∴AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，
∵G点为DF的中点，FE⊥BC，GM⊥BC，DC⊥BC，
∴GM为梯形CDFE的中位线，
∴EM=CM，
∴GE=GC，∠5=∠4，
∴GM平分∠EGC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，
∵GM∥CD，
∴∠MGD=180°﹣∠GDC=135°，即∠2+∠DGC=135°，
∴∠AGD+∠3=∠2+∠DGC=135°，
∴∠AGE=90°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴∠AEG=45°，即∠FEA+∠6=45°，
∴∠FEA+∠DAG=45°；
（2）解：把△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QH，如图2，
∴∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，
∵∠FEA+∠DAG=45°；
而∠FEA=∠BAE，
∴∠BAE+∠DAG=45°；
∴∠EAG=45°，
∴∠QAE=45°，
在△QAH和△GAH中
，
∴△QAH≌△GAH，
∴HQ=HG，
设BH=x，则HG=BG﹣BH=8﹣x，
∴HQ=8﹣x，
∵DH=BG+DG﹣BH，
∴DG=9﹣8+x=x+1，
∴BQ=x+1，
∵∠ABQ+∠ABD=45°+45°=90°，
∴△BQH为直角三角形，
∴BQ2+BH2=QH2，即（x+1）2+x2=（8﹣x）2，解得x=3，
∴BD=BH+DH=3+9=12，
∴AD= BD=6 ．
【解析】【分析】（1）作GM⊥BC于M，连接GE、GC，如图1，由正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，再证明△ADG≌△CDG得到AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，接着利用等腰三角形的判定与性质得到GC=GE，∠5=∠4，∠2=∠3，从而得到∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，再证明△AGE为等腰直角三角形得到∠AEG=45°，从而得到∠FEA+∠DAG=45°；（2）把△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QH，如图2，利用旋转的性质得∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，再证明△QAH≌△GAH得到HQ=HG，设BH=x，用x表示出则HG=HQ=8﹣x，BQ=x+1，然后在Rt△BQH中利用勾股定理得到（x+1）2+x2=（8﹣x）2，解得x=3，则BD=BH+DH=12，然后根据等腰直角三角形的性质求AD．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．
（1）求和的值；
（2）当点在线段上时，如果，求的值；
（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，得：，
解得：；把点代入，得：，
解得：；
（2）解：在直线中，令，得：，
，，令，得：，
解得：，，
直线分别与直线和双曲线交于点、．
，，点在线段上，，
，，
，解得：，，
经检验，，都是原方程的解，但，；
（3）解：如图，过点作轴于点，
，，，，
，
，又有，
四边形是菱形，，
，解得：，，
当时，，，
，，
；当时，，，
，，；
综上所述，点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入求出k的值，再将点P的坐标代入求出b的值即可；
（2）先求出点A的坐标，再求出，，可得，再结合可得求出m的值即可；
（3）过点作轴于点，先求出可得，再结合可得求出m的值，再分别求出D、E的坐标，最后求出点C的坐标即可.
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