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九年级数学练习单
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．据统计，某日某搜赏平台使用DeepSeek解决的问愿超过13700000个．数字13700000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是将一个底面为等边三角形的三棱柱切去一个角后的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点为某光源，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴彩部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她途择从或入口进入，从出口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
10．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ）
A．
B．当时，随的增大而增大
C．当四边形为平行四边形时，
D．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算：__________．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________．
14．如图，在矩形中，，为边上一点，将沿翻折到处，分别延长、，交、边于点、．
（1）若，则__________；
（2）连接交于点．若，则__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．
（1）画出关于直线成轴对称的；
（2）将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出．
（3）仅用无刻度直尺作高．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了．
（1）设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表：
年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元
2023 ____________
2025 ____________
（2）该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
18．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，特例2：，
特例3：，特例4：____________．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________．
（3）应用运算规律：
①化简：____________．
②若（均为正整数），则____________．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，cm，m，．求按压柄下端到导管的距离，（结果保留一位小数，参考数据：）
20．如图，是的直径，于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
六、（本题满分12分）
21．某校开展综合实践知识竞赛活动，从八、九年级参加竞赛的同学中各随机抽取了20名同学，将他们的竞赛成绩由高到低分为5个等级，并绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图，部分信息如下：
八年级同学成绩频数分布表
成绩等级
人数 5 4 1
已知在两个年级被抽取的问学的成续中，等级的人数相等，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）____________，____________；
（2）在九年级被抽取同学的成绩中，等级所对应的扇形的圆心角的度数是____________；九年级被抽取同学的成绩的中位数落在____________等级；
（3）如果八、九年级参加竞赛的同学分别有200人、185人，请估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多多少人．（等级及以上为良好）
七、（本题满分12分）
22．在菱形中，是对角线上一点，连接．
（1）如图1，延长交与点，，求证：；
（2）如图2，，点在边上，连接，与交于点，．
①求证：；
②如图3，作，垂足为点，连接，若，，求的值．
八、（本题满分14分）
23．已知抛物线与抛物线相交于点．
（1）求出的值；
（2）设点在抛物线上，点在抛物线上．
①当时，求的取值范围；
②当三点共线时，求的值．
九年级数学练习单参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C A C A B A D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 12． 13．3 14．（1） （2）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式，
当时，原式．
16．解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）；
（2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为．
18．解：（1）．
（2）（为正整数）．
（3）①． ②22．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
由题意得：，
∵是的一个外角，∴，
在中，cm，
∴（cm），
∵，∴，
在中，cm，
∴（cm），
∴（cm），
答：按压柄下端到导管的距离约为cm．
20．（1）证明：∵是的直径，∴，
21．解：（1）6，4；（2），；
（3）（人）
答：估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多1人．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）∵四边形为菱形，
∴
在与中，
，∴≌（SAS），∴，
设，则，∵，
∴，又．
∴ ∴ ∴
（2）①：，
∴≌（SAS）， ∴，
∵，∴，
∴，又，∴∽．
∴，
∵ ∴
②将绕点顺时针旋转交的延长线于，连接，
∴，
∴≌（SAS），∴．
∵，∴为等边三角形，
∵，∴，
∵ ∴
在中，由勾股定理得：．
∵，
∴≌（SAS），∴，∴，∴，
∵，∴，
∵ ∴．
八、（本题满分14分）
23．解：（1）将点的坐标代入函数表达式得：，则；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，则，则，
①时，点，而，即，则，
当0②设点，点，由点从、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或，
即，则．

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