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2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷
数学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
2．华为手机的5G下载速度可达每秒比特，这个数用普通记数法表示为（ ）
A．12亿 B．亿 C．1200万 D．千兆
3．如图，直线，直线， 若，则 （ ）
A． B． C． D．
4．由五个相同正方体组成的几何体如图所示，说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．三视图都不相同 D．左视图与主视图相同
5．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
7．中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从右图4个动画人物图象中随机选用2幅制作海报，则其中至少有一幅是哪吒的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
8．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，．则检查点B和C之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
9．骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损，有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距15cm，测量档部离地面的距离x（单位：cm），得出的数据乘就是相应的骑行时最合适的AC长度（由长度为48cm的立管AB和可调节的坐杆BC组成，如图所示）．设AC长度最合适时坐杆BC的长度为ycm，则下列说法不正确的是（ ）
A．若某人档部离地面的距离为100cm，则他骑行最合适的AC长是cm
B．当时，
C．y与x的关系式为
D．若某人裆部离地面的距离为110cm，某山地车坐杆BC的最大调节长度为45cm，那么他适合骑该山地车
10．如图1，在正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿A-B-C的方向匀速运动，当点P到达点C时停止运动，过点P作，交CD于点设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若点在第四象限，那么a的取值范围是 ．
12．某校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如表：
应试者 项目
口语表达 写作能力
甲 80 90
乙 90 80
学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取，通过计算，你认为______同学将被录取．
13．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”又如：四位数5224，∵，∴5224不是“递减数”．若一个“递减数”为，则的值为 ．
14．如图，AC是的直径，点B，D在上，，AC与BD交于点E．若，则的度数为______
15．如图，已知在正方形ABCD中，，，，，点D为FG中点，连接BE，点P为BE中点．连接CP，则CP的最大值为______
三、解答题（本题有8小题，满分75分）
16．（1）（5分）计算：； （2）（5分）化简：
17．（9分）2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，为切实加强安全宣传教提升师生安全防范意识，我校组织七年级480名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
分数段班级
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93
乙 90 87 b
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：______分，______分
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少名．
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生的整体成绩较好 请说明理由．（一条理由即可）
18．（9分）如图，ABC是一张锐角三角形纸片．
（1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的角平分线，交BC于点D；
②在AB、AC上分别取两点E和F，连接DE、DF，使四边形AEDF是菱形．
（2）若，，求DE的长．
19．（9分）如图，AB为的直径，弦，过点A作的切线交BC的延长线于点E，连接AD
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求CE的长．
20．（9分）如图，反比例函数的图象经过点，连接AO并延长交反比例函数的图象于点C，以AC为对角线作正方形ABCD，以AB为直径画弧．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求弧OB的长度；
（3）请直接写出阴影部分的面积．
21．（9分）高空走钢丝是一项传统的杂技项目，在我国有着悠久的历史．如图1，某马戏团正在表演高空走钢丝，如图2，杂技演员所在位置点C到AD所在直线的距离，，此时．当杂技演员走至钢丝中点F处时，恰好，杂技演员运动过程中钢丝总长不变，求杂技演员从点C走到点F下降的高度．（参考数据：）
22．（10分）洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O．建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为上边缘抛物线y的最高点A 离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口，求上边缘抛物线y的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC；
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线y向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围．
23．（10分）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形 的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在中，于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则 ， ；
（2）如图2，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在中 ，于点E，，．
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上：（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将沿AC翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长 ．
2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷（数学）答案
一、选择题
1．答案：C
解析：绝对值越小，说明与标准质量的偏差越小，越接近标准质量．，，，，，所以最接近标准质量．
2．答案：A
解析：亿．
3．答案：A
解析：因为，所以．又因为，，根据两直线平行，同位角相等，可得与同位角为，则．
4．答案：D
解析：通过观察几何体可知，主视图和左视图都是由三个正方形组成，形状相同；俯视图是由四个正方形组成，与主视图、左视图不同．
5．答案：C
解析：，，所以，则，即 （这里）．
6．答案：B
解析：将方程展开得，即．其中，，，判别式，所以方程有两个不相等的实数根．
7．答案：D
解析：从4个动画人物图象中随机选用2幅的所有可能情况有种．至少有一幅是哪吒的对立事件是没有哪吒，没有哪吒的情况有种，所以至少有一幅是哪吒的概率是．
8．答案：B
解析：过点B作于点D．在中，，，，则，．在中，，所以，则千米．
9．答案：D
解析：
选项A：当时，，A正确．
选项B：当时，，B正确．
选项C：因为，，所以，C正确．
选项D：当时，，所以他不适合骑该山地车，D错误．
10．答案：B
二、填空题
11．答案：
解析：因为点在第四象限，所以，解得．
12．答案：甲
解析：甲的总成绩为分；乙的总成绩为分．因为，所以甲同学将被录取．
13．答案：3
解析：因为“递减数”满足，即，，，解得．
14．答案：
解析：因为AC是的直径，，所以．因为，所以，则．
15．答案：
解析：取BD中点M，连接PM、CM．因为点P为BE中点，所以．在中，，，根据勾股定理可得，因为点D为FG中点，所以，则．在正方形ABCD中，，M为BD中点，所以．根据三角形三边关系，，所以CP的最大值为．
三、解答题
16．（1）
答案：
解析：根据负整数指数幂法则 （，p为正整数），可得；任何非零数的0次幂都为1，所以；，则．
（2）：题目中未给出具体化简内容，无法解答．
17．（1）
答案：分，分
解析：甲班成绩中100出现的次数最多，所以众数分；乙班15名学生测试成绩从小到大排列后，第8个数是91，所以中位数分．
（2）
答案：264名
解析：甲班成绩92分及其以上的有人，乙班成绩92分及其以上的有人，两班共人，其中成绩优秀的有人．所以480名学生中成绩为优秀的学生大约有名．
（3）
答案：甲班的学生整体成绩较好．理由：甲班的平均数92分大于乙班的平均数90分，说明甲班的平均成绩更高．
解析：平均数是反映一组数据平均水平的量，平均数越大，整体水平越高．
18．（1）
答案：按要求完成尺规作图（略）
解析：
作的角平分线：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧相交于一点，过A与该点作射线，交BC于点D．
在AB、AC上分别取两点E和F，使四边形AEDF是菱形：分别以A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交AB、AC于E、F，连接DE、DF，则四边形AEDF是菱形．
（2）
答案：
角解析：因为四边形AEDF是菱形，所以，则．设，则，．所以，即，解得．
19．（1）
答案：证明过程如下
解析：因为AB为的直径，弦，所以，则．又因为AE是的切线，所以，即．而，所以．
（2）答案：
20．（1）
答案：
解析：因为反比例函数的图象经过点，所以，解得，则反比例函数的表达式为．
（2）
答案：
解析：因为，所以．因为四边形．ABCD是正方形，所以，则弧OB所在圆的半径为．，根据弧长公式 （n为圆心角度数，r为半径），可得弧OB的长度为．
（3）
答案：2
解析：阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半减去的面积．正方形ABCD的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．
21．答案：
解析：在中，，m，，，
所以m．设m，在中，，
，所以m．则杂技演员从点C走到点F下降的高度为m（此处数据可能有误，根据后续计算推测应该是m）．若m，在中， m．设m，在中，，m，m．
22．（1）
①答案：，m
解析：设上边缘抛物线，因为最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口m，喷水口，所以，，把代入得，解得， 所以．当时，，，，（舍去负根），所以m．
②
答案：
解析：下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y向左平移得到，其开口方向与大小不变，设．因为下边缘抛物线过点，所以，，，解得或 （舍去），所以．当时，，，， （舍去负根），所以．
（2）
答案：
解析：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内，所以OD的最小值为下边缘抛物线与c轴正半轴交点的横坐标减去绿化带的水平宽度2，最大值为上边缘抛物线与c轴正半轴交点的横坐标减去绿化带的水平宽度2．
23．（1）
答案：，
解析：因为F为AD的中点，，所以，．在中，设，则．在中，．因为四边形ABCD是平行四边形，所以，在中，．又因为
，，所以．同时在中，，联立可得，则，．
（2）
答案：
解析：连接DF，因为四边形ABCD是平行四边形，，F为AD的中点，所以，．又因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，且，所以是等腰三角形，BF是AD的中垂线，所以．因为，，和全等（SSS），所以．
（3）或

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