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襄城区2025年中考适应性考试数学试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 一批食品，标准质量为每袋450 g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是( )
A.－2 B.－5 C.＋4 D.7
2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的
折射现象(如图所示)，图中∠1＝80 ，∠2＝40 ，则∠3的度数为(　)
A.30 B.40 C.50 D.70
3. 下列计算正确的是(　　)
A.()－1＝－ B.a12÷a6＝a2 C.×＝ D.(a＋2)2＝a2＋2a＋4
4. 下列说法正确的是(　　)
A.“某市明天降雨的概率为75%”表示该市明天一定会下雨
B.甲、乙两人10次数学测试的平均分都是96分，
且方差＝2.5，＝2.3，则发挥稳定的是甲
C.调查某批次充电器的使用寿命，适合采用全面调查
D.“经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是随机事件
5. 如图，由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①、②、③、
④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心
对称图形，则应取走(　　)
A.① B.② C.③ D.④
6. 在平面直角坐标系中，边长为的正方形OABC如图这样放置，则顶点C的坐标为( )
A.(－1，1) B.(－1，－) C.(－1，－1) D.(－，－1)
7. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像，设AB＝36 cm，＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到的距离为( )
A.25 cm B.20 cm C.15 cm D.10 cm
8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为(　　)
A. B. C. D.
9. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB的值等于( )
A.2 B. C. D.
10.已知关于x的二次函数y＝ax2＋(2a3)x＋a1的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　)
A.1≤a＜ B.0＜a＜ C.0＜a＜ D.1≤a＜
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.计算：|2|＋(2025)0＝__________.
12.长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是________.
13.写出一个y随x的增大而减小的正比例函数解析式_________.
14.如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作弧BD，剪出图中的阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________.
15.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，AB＝8，BC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转90 ．得到△C，连接A，B，并延长B交A于点D，则∠ABD＝_______ ，D的长为________.
三、解答题(共75分)
16.(6分)计算：a(a1)＋(＋1)÷.
17.(6分)如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上. 仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
⑴ 画出以AB、BC为边的平行四边形ABCD；
⑵ 四边形ABCD是菱形吗？______(请在横线上填“是”或“否”)；
⑶ 直接写出点D到AB的距离为______；
⑷ 在CD上画点E，使∠ABE＝45 .
18.(6分)如图，小林在高度为24米的楼顶C处观测到楼后一棵树AB的最高点A的俯角为45 ，小红在高4米的二楼窗户D处观测到树AB的最高点A的仰角为37 ，已知他们的观测点C，D和楼底E在一条直线上，求树AB的高度．(精确到0.1米，参考数据：sin37 ≈0.60，cos37 ≈0.80，tan37 ≈0.75)
19.(8分)为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动.体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩(引体向上个数).
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图.
平均数 中位数 众数
5.8 a b
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如右表：
根据以上信息，解答下列问题：
⑴ a＝________，b＝________；
⑵ 补全条形统计图；
⑶ 如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有　　　　人；
⑷ 从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义.
20.(8分)如图，一次函数y＝2x＋2与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于点A(1，m).
⑴ 求m的值和反比例函数y＝的解析式；
⑵ 将直线y＝2x＋2向下平移后得直线y＝ax＋b，若直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象的交点为B(2，2)，请求出a、b的值，并结合图象直接写出不等式＞ax＋b的解集.
21.(8分)如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.
⑴ 求证：直线DE是⊙O的切线；
⑵ 若AB＝10， DE＝4，求AE的长.
22.(本小题满分10分)综合与实践:
当下快递行业高速发展. 某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧.
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；
兴趣小组将长40 cm，宽30 cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，
再将四周沿虚线折叠90 ，这样便可以制作完成
一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边
长为x cm，长方体的长、宽、高的和为y cm，
长方体包装盒的底面积为S cm2.
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包
装盒.
【解决问题】请按要求完成下列任务：
⑴ 分别求y关于x，S关于x的函数解析式；
⑵ 若设计的长方体包装盒的底面积为352 cm2，求x的值；
⑶ 经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20 cm且不高于44 cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长.
23.(本小题满分11分)在△ABC中，∠ACB＝90 ，点D是射线BC上一点，点E是边AB上的点，将△BDE沿直线DE折叠，使点B的对应点F恰好落在直线AC上.
⑴ 如图1，若EF⊥AC，求证：四边形BEFD是菱形；
⑵ 如图2，若点F在AC的延长线上，且AC＝6，BC＝9，CF＝3，求折痕DE的长；
⑶ 如图3，若点D在BC的延长线上，点F在CA的延长线上，且∠ABC＝∠CFB，＝，试探究线段BE与AE之间的数量关系，并说明理由.
24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(4，0)，与y 轴交于点C.
⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 若点P是y轴右侧抛物线上的点，满足∠1＝∠CAO，求点P的坐标；
⑶ 将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w与y轴交于点Q，设w的顶点的横坐标为m，CQ的长为d.
①直接写出d关于m的函数解析式；
②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当d随m的增大而增大，且抛物线w将△ABC内(不计边界)的“整点”个数恰好平分(△ABC内“整点”不在抛物线上)，直接写出m的取值范围.
襄城区2025年中考适应性考试数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D A C B C B D
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15.45，
说明：第13题答案不唯一，只要是系数k的值小于0均可；第15题填对45给1分，填对给2分.
三、解答题
16.解：a(a1)+(+1)÷
…………………………………………………3分
…………………………………………5分
…………………………………………………6分
17.解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；………2分
（2）是； ………………………………3分
（3）4； ……………………………4分
（4）如图，点E即为所求. ………………6分
(BM与CD交于点E）
说明：第（1）问画出两条实线段CD、AD,各给1分，
第（4）问画出两条虚线段BM、AM,各给1分.
18.解：如图，过点A作AF⊥CD于点F， ……………………1分
∴AB=EF，
设DF=x，则CF=244x=20x，……………………2分
由题意得，∠ACF=45 ，∠DAF=37 ，
在△AFC中，AF=CF=20x， …………………………3分
在△AFD中，tan∠DAF=，
∴AF==x，
∴20x=x， …………………………………………4分
解得x≈8.57(米)， ……………………………………………………………5分
∴AB=EF=DF+DE=8.57+4=12.57≈12.6(米)，
答：树AB的高度约为12.6米. ……………………………………………6分
19.解：（1）6，5； ………………………2分
（2）补图如图所示； …………………4分
（3）275； ………………………6分
（4）任选一个说法合理即可． ………8分
从平均数来看，估计该校八年级男生引体
向上的平均个数是5.8；从中位数来看，
估计该校八年级至少有一半男生引体向
上个数不少于6个；从众数来看，估计该
校八年级男生引体向上次数5个的人数
最多．
20.解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=2x+2图象上，
∴m=2×（1）+2=4， …………………………1分
∴A（1，4）， …………………………………2分
∵点A在反比例函数y=图象上，
∴k=1×4=4， …………………………………3分
∴反比例函数解析式为y=； …………………4分
（2）由题意可得a=2, ……………………………5分
∵点B（2，2）在直线y=ax+b上，
∴2=2×(2)+b，解得，b=2. ……………………………………………6分
根据函数图象及交点坐标可知，不等式＞ax+b的解集为2＜x＜0．……8分
说明：若第（2）问只写出了x＞2，给1分.
21.（1）证明：如图，连接OD， ……………………………………………………1分
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠EAD， ………………………………2分
∴EA∥OD，
∴∠AED＋∠ODE=180 ，
∵DE⊥EA， ∴∠AED=90 ， …………………3分
∴∠ODE=90 ，∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切. ………………………………4分
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∴∠DFA=∠DEA=90 ， ……………………………………………………5分
在△EAD和△FAD中，
，
∴△EAD≌△FAD(AAS)， …………………………………………………6分
∴DF=DE=4，AF=AE，
∵AB为⊙O的直径，且AB=10，
∴OA=OD=5，
在Rt△DOF中，OF===3， ……………………7分
∴AE=AF=OA+OF=5+3=8. ……………………………………………………8分
22.解：（1）y=30－2x＋20－x＋x=50－2x， ………………………………………1分
S=(30－2x)(20－x)=2x2－70x＋600， ………………………………………3分
即y=50－2x，S=2x2－70x＋600.
（2）当S=352时，2x2－70x＋600=352， ………………………………………4分
∴x2－35x＋124=0，
解得，x1=4，x2=31＞30(舍去)，
答：x的值为4. ……………………………………………………6分
（3）由题意知，20≤y≤44，
∴20≤50－2x≤44，
解得，3≤x≤15， …………………………………………………………7分
∵S=2x2－70x＋600=2（x－）2－， ……………………………8分
又∵2＞0，
∴当3≤x≤15时，S随x的增大而减小， ……………………………9分
∴当x=3时，S有最大值，最大值为408，
即S的最大值为408 cm2，此时小正方形的边长为3 cm.………………10分
23.（1）证明：由折叠性质知：EB=EF，DB=DF，∠BED=∠FED， ………………1分
∵EF⊥AC，∠ACB=90 ，
∴∠AFE=∠ACB=90 ，
∴BC∥EF， ∴∠DEF=∠BDE， …………………2分
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴BD=BE=EF=DF，
∴四边形BEFD是菱形. ………………………3分
（2）解：过E作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H， ………………………4分
∵EG⊥AC，EH⊥BC，∠ACB=90 ，
∴四边形CGEH是矩形，AB===，
∴EG∥BC，EH∥AC，CH=EG，
∴△AEG∽△ABC，
∴==，即==，………………5分
∴设AG=2x，EG=3x，AE=x，
则BE=－x，CG=6－2x，
由折叠性质知，EF=BE=－x，DB=DF，
在Rt△EFG中，EG2＋FG2=EF2，
∴(3x)2＋(6－2x＋3)2=(－x)2，解得，x=，
∴EH=CG=，CH=EG=， ……………………………………………6分
设CD=m，则DF=DB=9－m，
同理解得，m=4，即CD=4，
∴DH=CD－CH=，
∴DE===. ………………………………7分
（3）解：过点E作EG⊥AC于点G， …………………………………………8分
∵=，
∴令BC=4k，AC=3k，则AB=5k，
∵∠ACB=∠BCF，∠ABC=∠CFB，
∴△CBA∽△CFB，
∴=，即，
…………………………………………9分
同理由（2）知，
∴设AE=5ak，AG=3ak，EG=4ak，则BE=5k－5ak，
由折叠性质知，EF=EB=5k－5ax.
在Rt△EFG中，EG2＋FG2=EF2，
∴(4ak)2＋(3ak＋k)2=(5k－5ak)2，
解得，a=， ………………………………………………………10分
∴(或25AE=11BE). ………………………………11分
24.解：（1）∵A(0，－1)和点B(0，4)在y=－x2＋bx＋c上，
∴， ………………………………………………………2分
解得， ………………………………………………………3分
∴y=－x2＋3x＋4. ………………………………………………………4分
（2）过P作PD⊥y轴于点D， ……………………………………………5分
设P(t，－t2＋3t＋4)，则D(0，－t2＋3t＋4)，
当x=0时，y=－x2＋3x＋4=4，
∴C(0，4)，OC=4，
∴PD=t，CD=－t2＋3t＋4－4=－t2＋3t，
∵A(－1，0)， ∴OA=1， …………………………6分
∵∠1=∠CAO，
∴tan∠1=tan∠CAO，即=，
∴=， …………………………………7分
解得，t1=0(舍去)，t2=，
∴P(，). …………………………………8分
（3）①d=. ………………………………………10分
说明：本问解析式写对一个给1分，写对两个给2分.
②－≤m＜1－或＜m＜1＋. …………………………………12分
说明：本问取值范围写对一个给1分，写对两个给2分.
具体解答如下：（供参考）
①∵y=－(x－)2＋，
∴抛物线w可设为：w=－(x－m)2＋，
当x=0时，w=－(0－m)2＋=－m2＋，
∴Q(0，－m2＋)，
当点Q在点C上方或重合时，即－≤m≤，
∴d=CQ=－m2＋－4=－m2＋，
当点A在点C下方时，即m＜－或m＞，
∴d=CQ=4－(－m2＋)=m2－，
综上可得，d=.
②－≤m＜1－或＜m＜1＋.
解法一：∵d=，
∴如图2，当－≤m≤0或m≥时，d随m的增大而增大，
∵△ABC内共有6个“整点”，w将△ABC内“整点”个数平分，
∴当抛物线w的对称轴右侧抛物线平分“整点”时，如图3，
∴，
解得，－＜m＜1－，
∴－≤m＜1－，
当抛物线w的对称轴左侧抛物线平分“整点”时，如图4，
∴，
解得，＜m＜1＋，
综上可得，－≤m＜1－或＜m＜1＋.
解法二： ∵d=，如图2，
∴当－≤m≤0或m≥时，d随m的增大而增大，
∵△ABC内共有6个“整点”，抛物线w将△ABC内“整点”个数平分，
∴当(0，1)在抛物线w上时，1=－m2＋，
解得，m1=－，m2=，
当(0，3)在抛物线w上时，
同理，m1=－，m2=，
当(1，1)在抛物线w上时，
同理，m1=1－，m2=1＋，
当(1，2) 在抛物线w上时，
同理，m1=1－，m2=1＋，
结合函数图象知，当抛物线w将“整点”个数恰好平分时，
m的取值范围是－≤m＜1－或＜m＜1＋.

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