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专题3.6 利用导数研究双变量问题
目录
方法一：分离双参数，构造函数 1
方法二：比值法换元 11
方法三：借助根与系数关系化双变量为单变量 20
方法四：借助对数平均不等式解决双变量问题 29
方法五：值域法解决双变量函数相等问题 39
方法六：最值法解决双变量不等式问题 47
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方法一：分离双参数，构造函数
典型例题
例题1．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)假设存在正实数，满足．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增．
(2)（i）；（ii）证明见解析
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求导，由导数符号即可求解；
（2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解；
【详解】（1）由题意知，，
令，解得，
令，解得，
故函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即，
两边取对数，可得．记，易知在上是增函数，
故可等价于，即．
记，则，得在上单调递减，在上单调递增，
有最小值，故，即．
（ii）根据题意得，不妨设．
构造函数，
则．
当时，，则，得在上单调递减，
有，即．
将代入不等式，得，又，
故，
又在上单调递增，
故，即．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；
(3)如果，且，证明：．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）由导数知识可得的单调区间；
（2）由题可得，然后研究单调性，可完成证明；
（3）方法1，由导数知识可得大致图象，据此可得，然后通过研究函数，可得对恒成立，最后由题意，结合，可完成证明；方法2，要证，即证，然后通过研究可完成证明；方法3，令，要证，即证：，然后通过研究可完成证明.
【详解】（1）.
。
则的单调递增区间为，单调递减为；
（2）因的图象与的图象关于直线对称，
则.
构造函数，
则.
因，则，
则在上单调递增，则，
即当时，；
（3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，，
函数在处取得极大值，且，如图所示．
由，不妨设，则必有，
构造函数，
则，
所以在上单调递增，，
也即对恒成立．由，得，
所以，即，
又因为，且在上单调递减，所以，
即
法二：欲证，即证，由法一知，
故，
又因为在上单调递减，故只需证，
又因为，
故也即证，构造函数，
则等价于证明对恒成立．
由，则在上单调递增，
所以，即已证明对恒成立，
故原不等式成立．
法三：由，得，化简得，
不妨设，由法一知，．令，则，
代入，得，反解出，则，
故要证：，即证：，
又因为，等价于证明：，
构造函数，则，
令.
故在上单调递增，，
从而也在上单调递增，，即证成立，
也即原不等式成立．
【点睛】关键点睛：对于极值点偏移问题，常有两种思路，第一种将所证不等式转化为，后利用，构造与或有关的函数，将双变量问题转变为单变量问题；第二种思路，将双变量问题转变为与，之间差值或商值有关的单变量问题.
例题3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)当时，试讨论的单调性；
(2)若函数有两个不相等的零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性；
（2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围；
（ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论.
【详解】（1）由题设，且，
当时，在上，在上，在上，
所以，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒成立，故在上单调递增；
当时，在上，在上，在上，
所以，在、上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）由，
若时，，
令且，则，
所以时，时，
故在上递增，在上递减，则，
所以，
结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点，
又时，在上只有一个零点，不满足，
所以，此时，在上，在上，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立，
显然在上递减，且当时，
所以，时恒成立，即所求范围为；
（ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点，
不妨令，要证，即证，而，
由（i）知：在上单调递增，只需证，
由，则
令，且，
则
，
所以，在上，即在上递增，
所以，即成立，
所以，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在，进而利用导数研究其最值求范围，再令，将问题转化为证是关键.
精练高频考点
1．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
（3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题.
【详解】（1）当时，，，
，故，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由题意得，解得，
故，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可知函数在处取得极值，故符合题意，
因为，，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，恒成立，，当时，，
画出的图象如下：
故，
令，，
，
因为，所以，，
故在上单调递减，
又，故在上恒成立，
即，，
因为，所以，所以，
其中，故，
其中，，在上单调递增，
所以，即.
2．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，且，求证：．
【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数中的极值偏移问题、求已知函数的极值、利用导数证明不等式
【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案；
（2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）因为，其中，则，
令，解得，当变化时，、的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以，的增区间为，减区间为.
故函数在处取得极大值，无极小值.
（2）构造辅助函数，，
则，
当时，，，则，则，
所以，在上单调递增，当时，，
故当时，，（*）
由，，
因为函数的增区间为，减区间为，
可设，将代入（*）式可得，
又，所以，．
又，，而在上单调递增，
所以，，即．
3．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)的取值范围为；证明见解析.
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）利用定义及导数的计算法则计算即可；
（2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明.
【详解】（1）是，理由如下：
根据条件易知，
又，可得，
显然，符合“双中值函数”定义，
即函数是上的“双中值函数”；
（2）①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，且时，,时，，
所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，可证，即证．
设，
则．
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．
【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
方法二：比值法换元
典型例题
例题1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的零点个数；
(3)若有两个极值点，证明：当时，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程；（2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数；（3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明.
【详解】（1）当时，，所以，
所以，所以曲线在点处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，定义域为，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，
又，
所以存在唯一的，使得.
又在上单调递减，所以当时，的零点个数为1.
（3）的定义域为，
因为有两个极值点，有两个极值点，意味着有两个不同正根.
设，其导数.
若，，在递增，不会有两个正根.
当，令，得.在，递增；在，递减.
要使有两个正根，需，即，解得.
所以当时，有两个极值点.
所以，且，
所以，所以，
所以，当时，
，
令，即证当时，对恒成立.
令，则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以当时，恒成立.
例题2．（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)不存在，理由见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.
【详解】（1）由题可得
因为，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨设，则，
记
所以，所以在上是增函数，所以，
所以方程无解，则满足条件的两点不存在.
例题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数
【分析】（1）由题意知有两个不相等的实根，转化为两个函数有两个交点问题，根据单调性画出函数图象，由此得到的取值范围.
（2）将不等式取自然对数化简整理，构造函数，求导分析，即可求正数的取值范围
【详解】（1）由题，定义域为．
则，由题可得有两个不等实数根，，
于是有两个不同的实数根，等价于函数与图象在有两个不同的交点，
，由，由，
所以在递增，在递减，
又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图（如图所示）．

所以，要使函数与图象在有两个不同的交点，当且仅当．
即实数的取值范围为
（2）由（1）可知：，是方程的两个实数根，且．
则 ．
由于，两边取自然对数得，
即，
令，则在恒成立．
所以在恒成立
令，则．
①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意．
②当时，在递增，在递减，所以，当时，，
因此，在不能恒成立，不满足题意．
综上所述，，即的取值范围是．
精练高频考点
1．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）关于函数
①是的极小值点；②在处的切线垂直于直线.
(1)从条件①，②中选一个，求a的值
(2)在（1）的结果下，若对任意两个正实数 ，且，有，求证:
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求出函数的导函数，若选①则，即可求出，再检验即可；若选②则，即可求出；
（2）不妨设，令，由，即可得到，所以，则，设，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）因为，则，
若选①是的极小值点，则，解得，经检验符合题意；
若选②在处的切线垂直于直线，即在处的切线的斜率为，
则，解得.
（2）由（1）知，
不妨设，令，由，即，
得，即，
即，则，所以，
要证，
设，则，
则在上单调递减，，故成立.
2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）分和两种情况讨论，即可求得函数的单调性；
（2）将转化为，再根据，即证，构造函数，证明其小于0即可.
【详解】（1）因为函数，定义域为，
所以，
当时，在上恒成立，所以在单调递增；
当时，令，即，解得，
令，解得或，
所以在单调递增，在单调递减；
（2）由题可知，，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，
则，
所以
，
所以，要证，
即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
所以，在上单调递增，则，
即，
所以原不等式成立．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（23-24高三上·山东德州·期中）已知函数.
(1)求在的最小值；
(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.
【答案】(1)答案见解析；
(2)正，理由见解析
【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）由导数法求最值，对、、分类讨论即可；
（2）由（1）得只有时方程有两个不同的解且可设设 ，则由列等式整理得，
结合等差中项性质可变形整理得，令 ，由导数法讨论最值得，即可进一步证明
【详解】（1）.
当 时， 在 单调递减， ；
当 时， 在 单调递减， ；
当 时， 时， 时， ， 所以 在 单调递减， 在 单调递增，
综上，当 时， ；当 时， .
（2）值的符号为正，理由如下：
由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合题意.
当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.
不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，
则 ， 整理得
.
令 ， 则 ，令 ，
在 单调递增， .故 得证
方法三：借助根与系数关系化双变量为单变量
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）求导后参变分离，将问题转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的图象与性质求解；
（2）要证，转化要证，即证.再构造函数，证明，令，运用导数研究单调性，进而得到最值.再构造函数，同理得到最值，进而得到即可；
（3）先借助导数，运用方程实数根个数，求出的大致范围，化简，进而将要证的不等式进行转化， 即证，再转化为证明，最后换元，令，即证.构造函数，借助导数进行证明即可.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
在上恒成立，即在上恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数的取值范围是.
（2）当时，，，
所以要证，即证，即证.
构造函数，证明，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
再构造函数，证明，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
综上所得，所以，
又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是）
所以，即.
（3）先求出的大致范围，.
由题意知是方程的两个不同的根.
设，则方程有两个不同的正实数根，
所以，解得.
再化简，
，则，
所以.
由，得，
所以要证，即证，即证，即证，
即证，即证.
令，即证.
令，
则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以不等式成立.
【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的条件，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；
二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.
例题2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点，且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）（i）根据极值点的概念可得是方程的两个正根，结合计算即可求解；
（ii）由（i）得，化简计算可得，令，利用导数求出即可.
【详解】（1）当时，，
则，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）（i），
又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根
则，解得，
经检验，当时，符合题意.
所以实数的取值范围为.
（ii）由（i）知，则，，
，
令，
则，
当时，，则单调递减
当时，，则单调递增
故当时，取得最小值，
所以，即的最小值为.
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
精练高频考点
1．（2024·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若；求证：；
(3)设，是函数的两个极值点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）由题意得恒成立，参变分类求最值即可；
（2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证；
（3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
（2）证明：若，，所以，
令，解得，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
令，，所以，
令，解得，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，又等号不同时成立，
所以.
（3）证明：由题意可知，
因为有两个极值点，，
所以，是方程的两个不同的根，
则且
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证.
令，则证明，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数．
(1)若函数的最大值为0，求实数a的值；
(2)证明：．
(3)若函数存在两个极值点，证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、裂项相消法求和、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）利用定义的运算得到的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于的方程，解方程得解.
（2）借助（1）问中的结论，，得到，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，从而得证.
（3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出，将所证转化为，通过消元，然后构造函数，借助导数证明即可.
【详解】（1）由题意知：，，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，令，求导得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此，．
（2）由（1）知，，即，
当时， ．
．
．
（3）
“函数存在两个极值点”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”
故，解得，

要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
【点睛】关键点点睛：第（1）小问关键在于读懂新定义运算，得到解析式，然后借助导数求最大值，第（2）小问关键，借助（1）中得到的结论，，得到，其中的放缩很关键；第（3）问的关键是将极值点个数问题等价为导函数零点个数问题，从而得出的结论，最后双元变单元，再一次构造函数从而得解.
方法四：借助对数平均不等式解决双变量问题
对数平均不等式：对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且若，，即：调和平均数<几何平均数<对数平均数<算术平均数<平方平均数，简记为：调几对算方．
证明：
证法1（比值代换）令，则，构造函数可证．
证法2（主元法）不妨设，，记，，则，得在上单调递淢，有，左边得证，右边同理可证．
证法3（构造函数法）先证：
要证，只需证，令，只需证，，设，，则，可得在上单调递减，∴．
再证：
要证，只需证，令，只需证，∴，．设，，则，故在上单调递减，∴，∴．
★常见等价变形：；
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
【答案】证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题
【分析】法一：消参转化成无参数问题，由，是方程的两根，则是的两根，设，，则，从而，令，可得，利用导数的单调性证明可得；
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数，不妨设，可得，欲证明，即证.即证，即证：，令，构造，利用导数的单调性证明可得；
法三：直接换元构造新函数，由已知可得，设，则，故，即证，令，利用导数的单调性证明可得.
【详解】法一：消参转化成无参数问题：
，
是方程的两根，也是方程的两根，
则是的两根，
设，，则，
从而，
由，，
得，化简的，
设，令，则，
所以，则，则，
故要证，即证，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以，则，
所以，即，
所以
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，
令，构造，
则，
所以在上单调递增，又，
，
，即
法三：直接换元构造新函数：
由已知，得，
设，
则，
则，
故，
要证，即证，
令，
则，
所以在上单调递增，又，
，所以，
所以
例题2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数.
(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；
(2)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】根据极值求参数、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）根据极小值的定义计算即可；
（2）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可.
【详解】（1）定义域均为，
，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在取极小值，且；
又，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在取极小值，且
所以，解得：.
（2）令，因为，所以，
由可得：，
（1）—（2）得：，所以，
要证：，只要证：，
只要证：，
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只需证：，
令，
所以在上单调递增，所以，
即有成立，所以成立.
【点睛】方法点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有：
1.构造对称函数；
2.比值换元；
3.对数平均不等式.
本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称为的对数平均数.
精练高频考点
1．（2024·湖南益阳·一模）若函数.
(1)若，且曲线的切线过点，求直线的方程；
(2)证明：若，则；
(3)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题、求过一点的切线方程、利用导数证明不等式
【分析】（1）对函数求导得，设所求切线的切点为，写出直线的方程，将点代入直线的方程中化简得一个关于的方程，构造函数，利用函数导数与单调性求出即可；
（2）根据，得出相应的方程，然后利用分析法结合函数导数证明即可；
（3）解法一：由题意将代入不等式得出的表达式，利用导数求出的最大值，在根据恒成立即可求出的值（或取值范围）；解法二：由题意将代入不等式得出的表达式，由恒成立，利用函数导数分析求出的最大值，再结合题意分析求解即可.
【详解】（1）由题意得，
设所求切线的切点为，
则直线的方程为，
即，又，
.
即，
令，
可知在上单调递增.
又，所以方程有唯一解.
所以直线的方程是或.
（2）证明：，
，
即，要证，
由（1）知只要证，
即证，
又因为，即证，（*）
令，则，欲证（*）式成立，
等价于证明，
设函数，
则，
所以函数是上的增函数，
所以，即成立，
所以.
（3）解法一：由题意得.
则，
令，得或（舍去），
在上，，
在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
当且仅当时，取得最大值，
即.
已知恒成立.
.
又，所以，
所以，解得.
所以的取值的集合为.
解法二：由题意得恒成立，
令，
得，
，，
方程有两个不相等的实数根，，
则，不妨设，
在上单调递增，在上单调递减，
.
由，得（**），
恒成立.
令，
则，
则，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即，
当且仅当时取等号，又恒成立，
所以，且，将代入（**）式得，
所以的取值的集合为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，求过点（在点）处切线方程；或者已知切线方程求参数；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题；
（4）利用导数证明不等式，其中涉及极值偏移问题较难．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式
【分析】（1）利用导数求出函数的最小值，解不等式即可求解；
（2）由零点的定义可得，只需证，令，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）的定义域为，
令，即，等价于，
设，则（），
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为，，
要使得存在零点，则，
即，得．
（2）由为的零点，得，
即，即
两式相减得，即.
要证当时，，
只需证，只需证，，
，．
令，，只需证，
，则在上单调递增，
∴，即可得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略
形如的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
方法五：值域法解决双变量函数相等问题
典型例题
例题1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，.
(1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可；
（2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可.
【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立，
所以即对任意恒成立，
则，解得，
故的取值范围为；
（2）设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B，
因为对任意，存在，使得，所以，
当时，，即函数在区间的值域为，
函数的对称轴为，
，则在上单调递增，故，
而不是的子集，不符合；
当时，则在上单调递减，故，
要使，则，解得，
综上，的取值范围是.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知，利用上述性质，求函数的最值；
(2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值．
【答案】(1)最小值为，最大值为；
(2)．
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据值域求参数的值或者范围、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义
【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干所给函数的性质求解即可；
（2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解即可．
【详解】（1），
设
则．
由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
即的最小值为，最大值为；
（2）因为在上为减函数，故，
由题意，使得成立，
故的值域是的值域的子集，
所以，即，
解得.
例题3．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)用定义证明在区间上的单调性；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数对称性求函数值或参数
【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心.
（2）根据单调性定义证明即可.
（3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围.
【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
于是，解得，
所以的对称中心为.
（2）任取，且，则
，
所以且，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）由题意得：的值域是值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
于是原问题转化为在上的值域，
①当即时，在上单调递增，
同时的图象恒过对称中心，
可知在上也单调递增，故在上单调递增，
又，，故，
，，解得，又，故此时；
②当即时，在上单调递减，上单调递增，
又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减，
故此时，
欲使，只需，且，
解不等式得：，又，故此时；
③当即时，在上单调递减，在上也单调递减，
由对称性知在上单调递减，于是，
，故，解得，又，故此时，
综上，实数的取值范围是.
精练高频考点
1．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；
（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
当时，此时；
当时，，
因为，故，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
故；
综合得：；
（2）记，，
因为对，，使得，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，在上单调递增，
所以，
故，
因为，
所以，即，
又，
故.
2．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数基本性质的综合应用、函数新定义
【分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解；
（2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围.
【详解】（1）依题意，
，
设，，则.
令，.
由已知性质得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
又∵，，，
∴.
∴的值域为.
（2）为减函数，
故，.
由题意得，当时，的值域是的值域的子集，
∴解得.
【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.
①函数在定义域为上为偶函数;
②函数在区间上的值域为.
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数,证明见解析;
(2)
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题
【分析】(1) 选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于轴对称,求出,
选②时,根据单调性,代入函数值可求出,
根据两种情况下所求出的的值,代入中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;
(2)由(1)结论求出在R上的值域,再求出在的值域,因为,,使得成立,只需值域是值域的子集即可,进而求出的取值范围.
【详解】（1）解:当选①时:因为在定义域为上为偶函数,
所以,所以,
且为偶函数,所以
故
所以,;
当选②时:因为单调递增,
在区间上的值域为,
所以
即 ,
解得,
综上:.
因为,
所以,
所以,
故,
所以是奇函数;
（2）解:由(1)知,,
当时,,当且仅当时成立,
所以,
即时,,
当,,
因为是奇函数,
所以即时,,
综上:,
记值域为集合,
,
,
记值域为集合,,
,,使得成立,
,
,
.
方法六：最值法解决双变量不等式问题
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若函数对，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数求解最值得解.
【详解】“对，使成立”等价于“当时，”．
因为在上单调递增，
所以，
而，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，由，得，
所以实数a的取值范围为．
例题2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，.
(1)若在单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】（1）求出函数及其导数，再利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解.
（2）求出函数在区间上的最大值，再借助建立不等式求解.
【详解】（1）函数，
求导得，由在单调递增，
得在上恒成立，即在上恒成立，因此，
设，，则在上单调递增，
于是，即，
所以的取值范围为.
（2）若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
当时，，即在上单调递增，，
函数，求导得，
由，得，函数在上单调递减，
则，因此，解得，
所以的取值范围为.
例题3．（2025·江西宜春·一模）已知函数.
(1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解.
(2)若函数，，，，求m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导可得，将问题转化为在内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点存在定理即可证明；
（2）根据题意，将问题转化为，结合导数分别求得函数与的最值，即可得到结果.
【详解】（1）证明：的定义域为.
.
由可知，等价于.
设函数，，因为，在内单调递增，
所以在内单调递增.
因为，，
所以在内存在唯一零点，
所以有唯一实数解.
（2）由（1）知，当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以.
因为，所以，，.
，即.
，
令，得，令，得，令，得，
所以.
因为，，，所以，
所以，解得，所以m的取值范围为.
精练高频考点
1．（2025·宁夏石嘴山·一模）设函数，且在处有极值，．
(1)求实数a的值；
(2)求函数的极值；
(3)若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)极小值0，极大值32
(3)
【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、求已知函数的极值
【分析】（1）先计算导函数，再代入1得出函数值为0计算求参；
（2）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出函数极值；
（3）先把恒成立问题转化为最值，再结合基本不等式求出最小值即可得出参数范围.
【详解】（1），由已知得，解得．
（2）由（1）得，则，
令，解得，
当，当，
当，可得当时，函数取极小值．
当时，取得极大值.
（3）存在，使得，都有成立
等价于，
又由（1）（2）可知，当时，．
故，，即成立．
又因为，当且仅当，即时等号成立．
故，即的取值范围为．
2．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最值；
(3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)最小值为，最大值为1；
(3).
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程.
（2）利用导数求出函数在指定区间上的最值.
（3）由（2）的结论，将问题转化为成立，再分离参数构造函数求出最大值即可得解.
【详解】（1）数，求导得，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增，
所以.
（3）由（2）知，，，
由对，不等式恒成立，
得，而函数在上单调递减，
当时，，因此，
所以实数的取值范围为.
3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）先求出，再求出其导数，讨论其符号后可得的单调区间.
（2）原不等式等价于，利用导数可求，利用二次函数的性质可得，从而得到的取值范围.
【详解】（1），
令，则，故
且.
当时，，故在为增函数；
当时，，故在为减函数.
故的单调增区间为，单调减区间为.
（2）
，
因为，故，
所以在上为增函数，故，
图像的对称轴为，
故当时，.
因为存在，对任意的，总有成立，
故，即，故专题3.6 利用导数研究双变量问题
目录
方法一：分离双参数，构造函数 1
方法二：比值法换元 4
方法三：借助根与系数关系化双变量为单变量 7
方法四：借助对数平均不等式解决双变量问题 9
方法五：值域法解决双变量函数相等问题 13
方法六：最值法解决双变量不等式问题 16
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方法一：分离双参数，构造函数
典型例题
例题1．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)假设存在正实数，满足．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；
(3)如果，且，证明：．
例题3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)当时，试讨论的单调性；
(2)若函数有两个不相等的零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
精练高频考点
1．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
2．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，且，求证：．
3．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
方法二：比值法换元
典型例题
例题1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的零点个数；
(3)若有两个极值点，证明：当时，.
例题2．（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
例题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
精练高频考点
1．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）关于函数
①是的极小值点；②在处的切线垂直于直线.
(1)从条件①，②中选一个，求a的值
(2)在（1）的结果下，若对任意两个正实数 ，且，有，求证:
2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.
3．（23-24高三上·山东德州·期中）已知函数.
(1)求在的最小值；
(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.
方法三：借助根与系数关系化双变量为单变量
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，证明：.
例题2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点，且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求的最小值．
精练高频考点
1．（2024·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若；求证：；
(3)设，是函数的两个极值点，求证：.
2．（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数．
(1)若函数的最大值为0，求实数a的值；
(2)证明：．
(3)若函数存在两个极值点，证明：．
方法四：借助对数平均不等式解决双变量问题
对数平均不等式：对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且若，，即：调和平均数<几何平均数<对数平均数<算术平均数<平方平均数，简记为：调几对算方．
证明：
证法1（比值代换）令，则，构造函数可证．
证法2（主元法）不妨设，，记，，则，得在上单调递淢，有，左边得证，右边同理可证．
证法3（构造函数法）先证：
要证，只需证，令，只需证，，设，，则，可得在上单调递减，∴．
再证：
要证，只需证，令，只需证，∴，．设，，则，故在上单调递减，∴，∴．
★常见等价变形：；
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
例题2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数.
(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；
(2)若，求证：.
精练高频考点
1．（2024·湖南益阳·一模）若函数.
(1)若，且曲线的切线过点，求直线的方程；
(2)证明：若，则；
(3)若恒成立，求的取值范围.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
方法五：值域法解决双变量函数相等问题
典型例题
例题1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，.
(1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知，利用上述性质，求函数的最值；
(2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值．
例题3．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)用定义证明在区间上的单调性；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．
精练高频考点
1．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
2．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.
①函数在定义域为上为偶函数;
②函数在区间上的值域为.
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
方法六：最值法解决双变量不等式问题
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若函数对，使成立，求实数a的取值范围．
例题2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，.
(1)若在单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
例题3．（2025·江西宜春·一模）已知函数.
(1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解.
(2)若函数，，，，求m的取值范围.
精练高频考点
1．（2025·宁夏石嘴山·一模）设函数，且在处有极值，．
(1)求实数a的值；
(2)求函数的极值；
(3)若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围．
2．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最值；
(3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

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